☉廣東省東莞市第七高級中學藍小軍

不同版本教科書“橢圓”內容設置的比較研究

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圓錐曲線是高中數學的核心內容之一，體現了解析方法和代數方法在刻畫平面曲線方面的強大作用，是體現數形結合的重要素材，它的許多幾何性質廣泛應用于生活、生產以及科學技術中．而橢圓內容的學習能夠為后續(xù)學習雙曲線和拋物線的內容提供基本模式和理論基礎，具有重要的作用．為了使教師能更好地把握教材，提高橢圓部分的教學效果，本文擬對由北京師范大學出版社、人民教育出版社（A版）、江蘇教育出版社、湖南教育出版社（以下分別簡稱北師大版、人教A版、蘇教版、湘教版）中橢圓的內容編排設置進行對比研究，希望能對一線老師能有所幫助．

一、橢圓內容的總體設計

對4套數學普通教科書橢圓內容的總體設計比較，具體見表1.

表14套教科書橢圓內容的總體設計

湘教版第二章圓錐曲線與方程§ 2 . 1橢圓2 . 1 . 1橢圓的定義與標準方程2 . 1 . 2橢圓的簡單幾何性質生活中的圓錐曲線→實驗→橢圓的定義→橢圓的標準方程→橢圓的幾何性質實驗→學而時習之→溫故而知新

4套教材分別在既遵循新課標設計理念，以新穎的角度和手法呈現教學內容的同時，又不失自己獨特的一面．

1.章節(jié)結構的比較

由表1可知，在文科數學中，4套教科書都將《橢圓》的內容安排在選修1-1中，在三個圓錐曲線中都是第一個講授，都注重聯(lián)系實際，注重對數學本質的認識探究，引導學生對概念的內涵、外延的討論以加深對橢圓概念的理解，而且都是把本節(jié)內容分成兩小節(jié)，前一小節(jié)主要是橢圓的定義及其標準方程，后一小節(jié)主要是學習橢圓的幾何性質．在各個版本的教科書上圓錐曲線這章的內容順序的編排上有所不同，蘇教版是先橢圓之前已經把橢圓、雙曲線、拋物線三個概念給出，再來具體研究橢圓，而其他版本教材則是直接由實驗得出橢圓的定義．雖然在章節(jié)結構的呈現上有所不同，但各個版本都將《課程標準》設計理念融于教材編寫之中，體現了新課程改革的要求．

2.教學內容的比較

（1）相同的地方有：

①4套教科書都推導了焦點在x軸上的橢圓的標準方程，然后再通過類比的方法得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程.

②在編寫橢圓的性質時，都遵循了“范圍→對稱性→頂點→離心率”這四個部分的編寫順序．

（2）不同的地方有：

①對于橢圓定義中焦距在北師大版中用了F1F2，而其他版本教材中都用了|F1F2|.

②對于橢圓定義中為什么常數要大于焦距在北師大版中用了“思考交流”；而其他版本教材中沒有這方面的介紹或設問，而是直接給出.

③在講到利用平面直角坐標系研究橢圓的標準方程時，人教A版提到“類比圓的對稱性建立圓的方程的過程，我們根據橢圓的幾何特征選擇適當的坐標系，建立它的方程”，而其他版本教材都沒有提及為什么要這樣建系，都是直接以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.

④較之其他版本教材，北師大版的教材提出了幾個“思考交流”的問題，如“如何用幾何圖形解釋b2=a2-c2？a，b，c在橢圓中分別表示哪些線段的長？”，湘教版亦在相應位置加入了旁白或注解等，這些都使得教材在內容設計上顯得更為豐富和完整.

⑤在借助離心率刻畫橢圓扁平程序時，北師大版只是作為“思考交流”觀察圖，當a為定值時，橢圓的形狀的變化與c有怎樣的關系？蘇教版則作為“探究”內容：固定焦點，經過改變繩子的長度，觀察橢圓的扁平程度來判斷；人教A版則是通過保持半長軸長不變，改變半焦距來刻畫橢圓的扁平程度；而湘教版則是在保持細繩長度不變的情況下，通過改變點F1，F2的位置，觀的變化情況來反映橢圓的扁平程度．

⑥湘教版在提出長軸及短軸后又相繼提出長半軸和短半軸的概念，它在每小節(jié)內容開始前都設置了一個數學小實驗，強調數學實驗的重要性，這是其他版本教材所沒有的．而且湘教版教材在橢圓這節(jié)內容的編寫中也是用了最多頁面的．

3.設計意圖的比較

4種版本的教材基本上都是在學生已經學過圓錐曲線之一——圓的定義及圓的標準方程的推導基礎上，通過直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，操作確認，逐步上升到理性認識，進而形成正確的橢圓定義，然后再通過建系、設點、列式、化簡等推導出橢圓的標準方程，再通過類比的方法得到了焦點在另一個坐標軸上時的標準方程，為后續(xù)學習雙曲線、拋物線奠定的良好的基礎．

相較于其他版本教材，蘇教版設置了更為豐富的數學活動欄目，這些欄目既能開闊學生視野，激發(fā)學生的學習興趣，又能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探究能力．

二、橢圓內容的具體設置

1.概念的呈現方式

綜觀各種教科書，基本上都是通過創(chuàng)設情境，設置實例（或實驗），充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷“觀察—猜想—證明—應用”的過程，發(fā)現新的知識，又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高學生動手動腦的能力和增強研究探索的綜合素質．

表2各套教科書橢圓概念的呈現方式

4個版本的教材都是現實生活中形似的橢圓模型作為概念的準備階段，再通過實驗的形式畫出橢圓的圖像，提煉出橢圓的概念，遵循了“適度形式化”的課程理念，符合學生的認知規(guī)律，使得“形式化”有了感性的基礎，有利于培養(yǎng)學生的數學化能力，強化數學素養(yǎng)，深化了對數學本質的理解，到具體的環(huán)節(jié)又有一些不同的地方：

（1）北師大版教材在引言中用平面去截圓錐，由于截面與圓錐軸夾角的不同，引出了圓錐曲線的概念，并根據問題的難易情況和學生的認知水平，在正式章節(jié)中先畫了個圓的軌跡，再用固定繩子的兩端，用筆尖套住繩子畫橢圓，既能使學生把新知識與舊知識進行對比，經歷概念的形成過程，又能使其從整體上認識三種圓錐曲線的內在關系，有利于培養(yǎng)學生的數學化能力及強化數學素養(yǎng)．

（2）人教A版、蘇教版則是通過用固定繩子兩端，套上并移動筆尖，畫出軌跡，在這個過程中，細繩的長度保持不變的基礎上提出了橢圓的概念．

（3）湘教版在用筆尖套住繩子畫橢圓軌跡前先用6個不同實驗，觀察得出了圓、橢圓、雙曲線和拋物線的圖像，再在這個基礎上用筆尖套住細線畫出了橢圓．

2.例題設置的差異

4套教科書都在知識內容出現后編排了數道例題，以達到對知識內容的應用和鞏固、直到示范的作用．4套教科書例題的統(tǒng)計情況如表3所示（統(tǒng)計方法說明：按教材中有“例”的為準，凡有小題號的每個小題號按一題計算）．

表3各套教科書例題數量統(tǒng)計

從表3中可以看出，各版本教材的例題數量差異較大，如湘教版的例題數就是北師大版與蘇教版例題數量之和，比人教A版與蘇教版例題加在一起還多2道，教師在使用湘教版教材時需要處理好課時與進度之間的關系．從例題設置的類型特點來看：北師大教材中例題的編排以對新知識的練習鞏固為主，也有涉及到對新知識的說明和引入，遵循了“從生活到數學”、“從簡單到復雜”的規(guī)律；人教A版教材主要是對新知識的鞏固練習和應用；蘇教版的例題既注重新知識的引入，又注重練習的鞏固，對新知識的實際應用也有充分的體現，但其例1是直接以橢圓為背景的“應用題”命題內容涉及面廣，可能對于剛學橢圓知識的學生可能會產生一定的負面影響；而湘教版在例題形式相對比較單一、傳統(tǒng)，其中把橢圓標準方程的推導作為例1來證明的教材和在橢圓的簡單幾何性質中出現了一道通過討論直線與橢圓的位置關系來求參數取值范圍的題目，這都是其他三種教材所沒有的，但它的有些例題顯得有些過時，與當下多樣的高考試題尚有一定差距．

3.習題設置的差異

為敘述的方便，這里的“習題”是練習、習題的統(tǒng)稱．“習題”是數學教材不可或缺的部分，讓學生做相當數量的習題，對于學生更好地理解和掌握數學知識是必要的．表4從結構層次和數量兩個方面統(tǒng)計了4套教科書的習題編排情況（習題數量統(tǒng)計說明：以教科書中有明確題號的題目為準，有小題號的每道小題按1道題目來計算）．

表4各套教科書習題統(tǒng)計表

每套教科書的習題編排特點如下：

（1）北師大版：習題數量共有27道題．從習題內容來看，每一個或兩個知識后安排一次練習，每道習題緊扣本知識點的內容及例題，注重學生的鞏固和練習；本節(jié)內容后安排的一次分為A、B組的梯度習題，其中A組題注重基礎知識的練習鞏固，是對練習題的加強的擴充，而B組題則注重加深推廣，重在考查學生對新知識的應用能力．

（2）人教A版：習題數量在4套教科書中最少的．習題的編排較例題難度有所加大，有些題型在前面例題中并未出現，注重鍛煉學生的思維能力；與北師大版一樣，也在本節(jié)內容后安排一次A、B組習題，題目由易到難．另外“思考”、在適當位置的旁白、“探究與發(fā)現”等注重啟發(fā)學生探索，有利于知識間的過渡，總體安排得當有序．

（3）蘇教版：習題數量是4套教科書中最多的，共有68道題，這與其將橢圓習題部分編排為“感受·理解、思考·運用、探究·拓展”三個部分有關．從習題內容來看，也是每一個或兩個知識點后安排一次練習，每道練習題都是緊扣本知識點的內容及例題，注重學生的鞏固和練習；每節(jié)安排一次習題，分為“感受·理解”、“思考·運用”、“探究·拓展”三個層次，其中“感受·理解”中的題目注重基礎，面向全體學生，“思考·運用”注重深化學生對新知識的理解，而“探究·拓展”則是對學有余力的學生提供富有挑戰(zhàn)性的問題，提高學生數學素養(yǎng)，這樣的編排既有利于教師對習題的把握，也有利于學生對自己的具體分層評價．但也因為其數量過多，所以教師在選取時必須要作適當的刪減．

（4）湘教版：習題數量不多，整體難度不高．習題設置為“學而時習之”和“溫故而知新”兩個層次，其中“學而時習之”為基礎知識回顧與鞏固，“溫故而知新”較之“學而時習之”題組難度有所增加，利于學生逐漸掌握知識，但其習題的探究性、開放性、操作性題型明顯不足，難以滿足實際教學的需要，勢必拉大平時作業(yè)難度與測試難度之間的差距，因此教師可以根據實際教學的需要進行適當的補充．

三、總結

通過比較可以看出，4套教科書都是按照《課程標準》的基本理念和基本要求來選擇和組織教學內容的，是對《課程標準》中的“內容標準”所涉及的基礎知識的全面體現，教材內容相似度較高，但各版教材又同中有異，各有特點．

北師大版教材設置欄目種類較多，形式多樣，難度適中，并且注重學生的運用實踐和自主探索能力，有利于培養(yǎng)學生的數學學習興趣和創(chuàng)新思維．

人教A版教材以本節(jié)開頭提出的實際問題貫穿橢圓內容的始終，強調橢圓在實際生活中的應用；在適當位置加入旁白來對課本內容進行適當的解釋和說明的做法，有利于學生更好地理解和學習．

蘇教版教材編排注重基礎，通俗易懂，題型廣泛，習題編排層次性較強，讓大部分同學都能“跳一下摘桃子”．

湘教版教材引用的例子涉及面較廣，既注重新知識引入，又注重練習鞏固，充分發(fā)揮其作用．

教材編寫的立意、呈現方式等都能體現教材編者對數學教學的一種理想追求，但對比現實教學的時候就難免出現一些與高中教學實際情況相脫節(jié)的地方．綜觀4套版本教材對“橢圓”部分內容的設置各有優(yōu)點，有許多相互借鑒的地方．教師在使用教材教學的同時也應該了解其他版本的教材的優(yōu)點，結合本地區(qū)、本學校、本班級，在教學過程中根據實際教學環(huán)境需要、參考其他教材的處理方式和例習題等內容，對教材內容進行適當的重組、完善和刪減，適當地，以期最大限度地發(fā)揮不同版本教材的優(yōu)勢，真正做到用教材而不是教教材．

1.中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（實驗）［M］．北京：人民教育出版社，2007.

2.李延林，汪香志．普通高中課程標準實驗教科書［M］．北京：北京師范大學出版社，2012.

3.鐘勁松．普通高中課程標準實驗教科書［M］．長沙：湖南教育出版社，2011.

4.蘇教版高中數學教材編寫組．普通高中課程標準實驗教科書［M］．南京：江蘇教育出版社，2013.

5.李英．高中不同版本教科書“指數函數”內容設置的比較研究［J］.數學教學研究，2011（10）.G