彭長文 　黃華偉

[摘要]本文研究二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法。歸納了記憶特解公式的幾個原則，并提出求待定系數(shù)的簡化公式法，利用該方法可更為便捷地計算待定系數(shù)。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué)；常系數(shù)；微分方程；特解公式；待定系數(shù)

[中圖分類號]O175。1 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]B

[基金項目]貴州省科學(xué)技術(shù)基金項目（黔科合J字[2014]2125；2142）；貴州師范學(xué)院項目（13BS011）；貴州省教育廳自然科學(xué)研究項目（黔教合KY字[2015]422號）。

1。引 言

在《高等數(shù)學(xué)》課程中，常微分方程的基本解法是課程的重要部分，這部分內(nèi)容的難點集中在二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法[1，2]。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對這種方程的特解公式難以掌握，又由于計算量較大，許多學(xué)生即使掌握了求特解的公式，但在計算待定系數(shù)時錯誤仍然較多。例如求系數(shù)的代數(shù)方程列錯，或代數(shù)方程列對，但結(jié)果求錯。

本文介紹二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，歸納記憶特解公式的幾個原則，并提出求待定系數(shù)的簡化公式法。利用簡化公式法，更容易得到待定系數(shù)的代數(shù)方程。

2。特解公式及其記憶原則

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式為

y″+py′+qy=f（x）（2。1）

其中p，q為常數(shù)，f（x）為非齊次項，或稱為自由項，不恒等于0。下面介紹f（x）為多項式、指數(shù)函數(shù)（以e為底）、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。

其解法是先求對應(yīng)齊次方程y″+py′+qy=0的通解Y，再求方程（2。1）的一個特解y*，則（2。1）的通解為y=Y+y*。對于齊次方程的通解Y的求法，本文不作介紹。我們只介紹（2。1）的特解y*的求法。

對于f（x）=Pm（x）ekx的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2。1），可設(shè)特解為y*=xsQm（x）ekx，

其中Qm（x）是和Pm（x）同次（m次）的系數(shù)待定的多項式，s的取值為

s=0， k不是方程的特征根，1， k是方程的特征根，2， k是方程的二重特征根。

對于f（x）=eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]，同樣用待定系數(shù)法，可設(shè)（2。1）的一個特解為y*=xseαx[Ql（x）cosβx+Rl（x）sinβx]，

其中l(wèi)=max{m1，m2}，Ql（x），Rl（x）為l次系數(shù)待定的多項式，s的取值為

s=0， α±βi不是方程的特征根，1， α±βi是方程的特征根。

求特解y*的關(guān)鍵是如何正確設(shè)出y*的形式。初學(xué)者常常設(shè)錯，為此我們歸納設(shè)y*的幾個基本原則。

原則一：與自由項形式相同原則

該原則是指，當(dāng)k或α±βi不是方程的特征根，則所設(shè)特解y*與自由項f（x）的形式相同。

例如，若0不是方程的特征根且f（x）=x3+1，則設(shè)y*=Ax3+Bx2+Cx+D；

若5不是方程的特征根且f（x）=4e5x，則設(shè)y*=Ae5x；

若2不是方程的特征根且f（x）=e2x（x2-1），應(yīng)設(shè)y*=e2x（Ax2+Bx+C）；

若±4i不是方程的特征根且f（x）=sin4x，應(yīng)設(shè)y*=Acos4x+Bsin4x；等等。

原則二：乘以x或x2的原則

若k或α±βi為方程的單特征根，則所設(shè)的特解中除了包含與自由項形式相同的部分，還應(yīng)乘以x；若k或α±βi為方程的二重特征根，則所設(shè)的特解中除了包含與自由項形式相同的部分，還應(yīng)乘以x2。

原則三：疊加原理求特解原則

該原則是指：若自由項較為復(fù)雜，應(yīng)將自由項拆成若干Pm（x）ekx和eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]的形式和，從而將方程拆成若干個簡單（即自由項為以上兩種情況）的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，每個簡單方程分別求出特解，則原方程的特解即為這些簡單方程特解的和。

例如，若f（x）=f1（x）+f2（x）且f1（x），f2（x）都是Pm（x）ekx或eαx[Pm1（x）cosβx+Pm2（x）sinβx]的形式，則先分別對f1（x），f2（x）求出特解y*1，y*2。利用疊加原理，其和y*1+y*2為f（x）的特解。

原則一和原則二說明，方程（2。1）的一個特解的形式常從自由項f（x）的形式推出。從本質(zhì)上講，這整個工作只不過是作一種巧妙的猜測，其中包含足夠多的待定系數(shù)供調(diào)配，以適合各類函數(shù)的要求。

3。求待定系數(shù)的簡化公式法

設(shè)非齊次方程的特解y*的形式掌握后，剩下的就是計算問題。但由于計算量較大，初學(xué)者錯誤較多，一般錯誤集中在求系數(shù)的代數(shù)方程列錯。下面我們提出求待定系數(shù)的簡化公式法，利用該方法，可更為便捷地計算待定系數(shù)。

假設(shè)方程（2。1）的自由項f（x）=G（x）ekx，其中G（x）是沒有指數(shù)形式的x的函數(shù)。設(shè)y*=H（x）ekx為方程（2。1）的一個特解，其中H（x）是x的待定函數(shù)。

將y*=H（x）ekx代入方程（2。1）進(jìn)行計算并消去ekx≠0，得

H″（x）+（2k+p）H′（x）+（k2+pk+q）H（x）=G（x）。（3。1）

要得到原方程的特解y*，即要求出H（x），而這只需比較（3。1）左右兩端的系數(shù)。

因此，當(dāng)我們設(shè)好了特解y*，無須把y*代入原方程，只要確定了y*中的H（x），將H（x）直接代入（3。1）式即可。用公式（3。1）的優(yōu)點在于，不需要把y*中的指數(shù)函數(shù)ekx代入原方程求導(dǎo)，這極大簡化了中間計算過程。而且當(dāng)k是方程的特征根，還可以更加簡單。在計算時，按照k可以分成三種情況：

（1）如果k是方程的二重特征根，那么k2+pk+q=0且2k+p=0，此時（3。1）式簡化為H″（x）=G（x）。

（2）如果k是方程的單重特征根，那么k2+pk+q=0，但2k+p≠0，此時（3。1）式簡化為H″（x）+（2k+p）H′（x）=G（x）。

（3）如果k不是方程的特征根，那么k2+pk+q≠0且2k+p≠0，此時（3。1）式不能簡化。

例3 求微分方程y″+4y′+3y=xe-3x的通解。

一般解法：

特征方程r2+4r+3=0，解得r1=-1，r2=-3，所以原方程對應(yīng)的齊次方程通解為Y=C1e-x+C2e-3x。再求原方程的一個特解y*。因為原方程自由項為f（x）=xe-3x，而-3是特征方程的單根，故可設(shè)特解形式為y*=xe-3x（Ax+B），其中A，B為待定系數(shù)。將y*=xe-3x（Ax+B）代入原方程。為此，需先計算

（y*） ′=[xe-3x（Ax+B）]′=[e-3x（Ax2+Bx）]′ =-3e-3x（Ax2+Bx）+e-3x（2Ax+B） =e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]。

（y*）″=[y*]′=[e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]]′ =-3e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]+e-3x（-6Ax+2A-3B） =e-3x[9Ax2+（9B-12A）x-6B+2A]。

再將（y*） ′和（y*）″代入原方程，得（y*） ″+4（y*） ′+3y*=xe-3x。

計算，得e-3x[9Ax2+（9B-12A）x-6B+2A]+4e-3x[-3Ax2+（2A-3B）x+B]+3xe-3x（Ax+B）=xe-3x。

化簡，得e-3x（-4Ax-2B+2A）=xe-3x，

亦即 -4Ax-2B+2A=x。

由2A-2B=0， -4A=1，得

A=-14， B=-14，

從而 y*=-14e-3x（x2+x）。

所以原方程的通解為y=Y+y*=C1e-x+C2e-3x-14e-3x（x2+x）。

可以看到，設(shè)好特解y*后，求（y*） ′和（y*）″的計算量很大。下面我們利用公式（3。1）的方法來進(jìn)行計算。

簡化公式法：求對應(yīng)齊次方程的通解Y和設(shè)原方程的一個特解y*=xe-3x（Ax+B）與一般解法一樣，我們此處不再贅述。下面我們來計算A和B。為利用公式（3。1），先找出G（x）=x， H（x）=Ax2+Bx， k=-3， p=4， q=3。因為k=-3是特征方程的單根，故公式（3。1）為H″（x）+（2k+p）H′（x）=G（x），

即2A+（-6+4）（2Ax+B）=x，

亦即-4Ax+2A-2B=x。

接下來的解法與一般方法一樣，通過比較系數(shù)求得A=-14，B=-14，從而 y*=-14e-3x（x2+x）。所以原方程的通解為y=Y+y*=C1e-x+C2e-3x-14e-3x（x2+x）。

4。結(jié) 論

從第3節(jié)例子可以看到，一般解法中將y*代入原方程的計算量往往非常大。大部分學(xué)生都只能設(shè)出特解，解不出待定系數(shù)或解出的結(jié)果有誤。

利用簡化公式法，可以避開求（y*） ′和（y*）″的過程，而是計算更簡單的H″（x），H′（x），這將使計算量大為減少。在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，采用簡化公式（3。1），大部分學(xué)生都能算正確結(jié)果。

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