侯汝臣

[摘要] 本文對不定積分的分部積分部分的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了再整理，利用分層次教學(xué)法進(jìn)行講授。這種教學(xué)方法，層層遞進(jìn)，一層建立在另一層的基礎(chǔ)上，既利于學(xué)生理解教材內(nèi)容，又利于他們對教材內(nèi)容的靈活應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]不定積分；分部積分；分層教學(xué)法

[基金項(xiàng)目]山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度“高等教育數(shù)學(xué)教學(xué)專項(xiàng)”一般資助課題， 高校代數(shù)系列課程一體化建設(shè)，YBS15018。

我在高等數(shù)學(xué)的長期執(zhí)教過程中，在講授不定積分的分部積分方法這一部分內(nèi)容的時(shí)候，總感覺教材[1]沒有把這一部分的關(guān)鍵說透。因此，根據(jù)我自己的心得，對這一部分內(nèi)容進(jìn)行重新梳理，分成三個(gè)層次講解。

我們回憶一下，分部積分方法是指：∫uv′dx=uv-∫u′vdx。在此，注意求兩個(gè)函數(shù)乘積的不定積分，重點(diǎn)轉(zhuǎn)換為求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)（求v′的原函數(shù)v），求另一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求u的導(dǎo)數(shù)u′）。

第一層次。首先要找原函數(shù)。 如果一個(gè)乘法因子的原函數(shù)不容易求得，而另一個(gè)乘法因子的原函數(shù)易得，那么沒有其他選擇，只能找易得的那個(gè)原函數(shù)，對另一個(gè)因子求導(dǎo)。

例1 求 ∫arcsinxdx。

分析 注意arcsinx其實(shí)等于1arcsinx。1的原函數(shù)易得，為x，而arcsinx的原函數(shù)不易得，所以只能求1的原函數(shù)，對arcsinx求導(dǎo)。所以本題的解法為：

∫arcsinxdx=xarcsinx-∫x（arcsinx）′dx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx+12∫11-x2d（1-x2）

=xarcsinx+1-x2+C。

第二層次。 如果兩個(gè)乘法因子的原函數(shù)都易得，那么就需要對它們分別求導(dǎo)，進(jìn)行比較。哪一個(gè)的導(dǎo)數(shù)比自身簡化的厲害，就對哪一個(gè)求導(dǎo)，而求另一個(gè)因子的原函數(shù)。

例2 求 ∫xcosxdx。

分析 首先注意x和cosx的原函數(shù)都易得。那么就嘗試對它們求導(dǎo)。x的導(dǎo)數(shù)為1，cosx的導(dǎo)數(shù)為-sinx。x的導(dǎo)數(shù)比x簡化了很多，而cosx的導(dǎo)數(shù)比cosx沒有簡化。所以我們就可以求cosx的原函數(shù)，而對x求導(dǎo)。所以本題的解法為：

∫xcosxdx=xsinx-∫x′sinxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C。

第三層次。 如果兩個(gè)乘法因子的原函數(shù)都易得，并且對它們分別求導(dǎo)，進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)比原函數(shù)都沒有簡化，那么這時(shí)就需求兩次不定積分，嘗試?yán)媒夥匠痰姆椒ㄇ蟛欢ǚe分。注意，這里對一個(gè)因子求原函數(shù)時(shí)，在下一次求不定積分時(shí)還要求它的原函數(shù)。

例3 求 ∫excosxdx=excosx+exsinx-∫ex（sinx）′dx=excosx+exsinx-∫excosxdx。

分析 首先注意ex和cosx的原函數(shù)都易得。那么就嘗試對它們求導(dǎo)。ex的導(dǎo)數(shù)為ex，cosx的導(dǎo)數(shù)為-sinx。它們的導(dǎo)函數(shù)比它們本身并沒有簡化。所以我們就嘗試?yán)们髢纱畏植糠e分，解方程的方法來求∫excosxdx。所以本題的解法為：

∫excosxdx=excosx-∫ex（cosx）′dx=excosx+∫exsinxdx。

這樣我們就得到關(guān)于∫excosxdx的方程，解之得：

∫excosxdx=12ex（cosx+sinx）+C。

總結(jié)：通過這三個(gè)層次的教學(xué)，學(xué)生就能夠徹底的掌握分部積分方法的細(xì)微之處，能夠懂得在不同的情況下，給出不同的處理方法。

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編。高等數(shù)學(xué)，第七版上冊。北京： 高等教育出版社，2014。208-212。