李云濤

[摘 要] 變式訓(xùn)練在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中是最為常見(jiàn)的一種教學(xué)形式，變式的過(guò)程中不僅僅是改變題目呈現(xiàn)的形式、變換題目中的條件、更改問(wèn)題的答案，更多的是通過(guò)“變”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思維的多角度轉(zhuǎn)變，以此引導(dǎo)學(xué)生以不變的思維習(xí)慣和思維方法來(lái)解決千變?nèi)f化的問(wèn)題，分析“變”的本質(zhì)，剖析“變”的目的，吃透“變”的價(jià)值，最終提升應(yīng)“變”能力.

[關(guān)鍵詞] 變式；思維；資源；規(guī)律；初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是靈活的，這個(gè)特點(diǎn)在初中階段的知識(shí)內(nèi)容當(dāng)中就已經(jīng)初露端倪了. 從某種程度上來(lái)講，靈活多變的特點(diǎn)為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增加了不小的難度，與此同時(shí)，也為數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新完善開(kāi)辟了一個(gè)全新的方向. 如果說(shuō)，一味向教學(xué)過(guò)程當(dāng)中增加知識(shí)數(shù)量，是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的橫向擴(kuò)展的話，那么，立足于當(dāng)前的知識(shí)范圍，通過(guò)對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活變化的方式挖掘深度、豐富內(nèi)涵，則是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的縱向探尋. 這既是本文將要討論的變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)，更是優(yōu)質(zhì)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)所必不可少的開(kāi)展角度.

一題多解，激發(fā)靈活思維

一題多解是變式教學(xué)當(dāng)中一個(gè)十分重要的表現(xiàn)形式. 在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，題目所對(duì)應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容雖然是固定的，但解答題目的思想方法卻并不是絕對(duì)唯一的. 為同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題找到多種解答思路，雖然對(duì)學(xué)生的思維提出了不小的挑戰(zhàn)，卻能有效激活學(xué)生的頭腦，讓他們?cè)陂_(kāi)展多角度思考的過(guò)程當(dāng)中，調(diào)動(dòng)多重知識(shí)方法. 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)講，這既是鞏固，也是創(chuàng)新.

例如，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)方程組的解法時(shí)，筆者請(qǐng)大家嘗試由三元一次方程組13x+5y+9z=9.25，2x+4y+3z=3.20 求得x+y+z的值. 未知數(shù)有三個(gè)，條件卻只有兩個(gè)，顯然無(wú)法通過(guò)常規(guī)方法將x，y，z逐個(gè)解出. 既然兩個(gè)方程只能求解兩個(gè)未知數(shù)，同學(xué)們首先會(huì)提出，可以采用主元法，將其中的兩個(gè)字母視為主元，將另一個(gè)字母視為常數(shù)，對(duì)兩個(gè)主元分別表示并進(jìn)行計(jì)算，作為常數(shù)的字母則可自然消去. 筆者又進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，能否將x+y+z作為一個(gè)整體來(lái)湊整？大家發(fā)現(xiàn)，將方程組中的兩式相加再除以3后可得5x+3y+4z=4.15，將之與第二個(gè)式子相加便可以湊出7（x+y+z）=7.35，順利求解. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生又逐漸探討總結(jié)出了參數(shù)法，即設(shè)x+y+z=k加入方程組，最后將參數(shù)k消去. 不斷尋找新解法的同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也靈活起來(lái)了.

起初，學(xué)生并不習(xí)慣一題多解的思維模式，甚至很多學(xué)生將之視為一種負(fù)擔(dān). 明明很容易就把問(wèn)題解出來(lái)了，為什么還要停下來(lái)繼續(xù)找出其他方法呢？但是，在教師的一再引導(dǎo)與堅(jiān)持啟發(fā)之下，學(xué)生會(huì)逐漸感受到，如果能夠運(yùn)用多種方法來(lái)解答同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往能產(chǎn)生一種充實(shí)的體驗(yàn)，好像借助一道題目的解答就能喚醒多個(gè)內(nèi)容的記憶，加倍提升學(xué)習(xí)效率. 一段時(shí)間后，一題多解已成為學(xué)生的思考習(xí)慣，學(xué)習(xí)效果也在多角度思維的過(guò)程中得到顯著提升，而且學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中也會(huì)站在多個(gè)角度去分析哪種解法更簡(jiǎn)單、更便捷，久而久之，學(xué)生的思維廣度和深度都會(huì)得到有效的訓(xùn)練和提升.

一題多變，挖掘既有資源

一題多解是從思維的縱向拓展角度提出的，一題多變則是從橫向角度進(jìn)行的教學(xué)變式. 對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不僅可以從解答環(huán)節(jié)進(jìn)行多變思考，還可以將這個(gè)變式入口提前，從問(wèn)題的提出環(huán)節(jié)就開(kāi)始. 一題多變的適用，讓同樣的知識(shí)內(nèi)容產(chǎn)生了多種形式的提問(wèn)方法，能無(wú)形中引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方向深入知識(shí)內(nèi)核，完成對(duì)既有知識(shí)內(nèi)容的深入、完整的探索，從縱向方面將知識(shí)的體系進(jìn)行完善.

例如，在對(duì)多項(xiàng)式內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，出現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：多項(xiàng)式2x2y3-3x3y+4xy-5的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)分別是多少？為了加深學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式基本概念的理解，筆者又將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了如下變化：（1）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式2xm-1y3-3x3y+4xy-5是五次四項(xiàng)式，求正整數(shù)m的值；（2）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式2xm-1y3-3x3y+4xy-5是四次四項(xiàng)式，求正整數(shù)m的值；（3）已知關(guān)于x，y的多項(xiàng)式xy3-kxm-1y+4xy-5是四次三項(xiàng)式，求k和m的值.

一題多變，就像是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中變了一個(gè)魔術(shù)，讓一個(gè)問(wèn)題瞬間演變成多個(gè)更有意思的問(wèn)題. 雖然數(shù)學(xué)教學(xué)需要觸發(fā)學(xué)生的靈動(dòng)思維，但是，教師們需要意識(shí)到，靈動(dòng)的思維并不一定需要大量的教學(xué)資料來(lái)支撐. 從上述示例當(dāng)中不難發(fā)現(xiàn)，既有的教學(xué)資源并不在多，而是通過(guò)不斷的變式拓展實(shí)現(xiàn)了資源的深入挖掘，以一個(gè)問(wèn)題為中心，引發(fā)出了多個(gè)相關(guān)問(wèn)題. 也正是這些問(wèn)題，帶領(lǐng)著學(xué)生的思維走向更深的地方. 不過(guò)，教師在課堂教學(xué)過(guò)程中的變式也不能變得太廣，一題多變的深度和廣度一定要建立在學(xué)生能夠達(dá)到的思維高度和深度，按需施教、以學(xué)定“變”.

一題多導(dǎo)，打開(kāi)思考維度

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸出現(xiàn)了越來(lái)越多的疑難問(wèn)題，這些問(wèn)題對(duì)于學(xué)生的知識(shí)能力水平要求較高，對(duì)于接觸新知識(shí)不久的學(xué)生來(lái)講，一下子達(dá)到這種高度比較困難. 為此，教師們就需要想辦法為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維搭建階梯，層層鋪墊，讓他們能夠更加順利地完成預(yù)期的問(wèn)題解答. 這時(shí)，變式教學(xué)的思維就會(huì)派上用場(chǎng). 將既有的待探究問(wèn)題變化為多個(gè)難度弱化的小問(wèn)題，分別導(dǎo)入啟發(fā)，往往能夠取得更為理想的教學(xué)效果，即我們?cè)谶@里所提到的“一題多導(dǎo)”.

解答復(fù)雜問(wèn)題就像在爬山. 如果坡度過(guò)大，難于行進(jìn)，便可以多拐幾個(gè)彎，多搭幾級(jí)臺(tái)階，雖然會(huì)延長(zhǎng)一些路程，卻可以讓爬山的過(guò)程更加輕松，也更有把握到達(dá)頂峰. 面對(duì)難度較大的數(shù)學(xué)問(wèn)題也是一樣，通過(guò)對(duì)最終問(wèn)題進(jìn)行靈活變式與拆分，能為學(xué)生提供一個(gè)順暢的思維梯度. 在這個(gè)逐級(jí)引導(dǎo)的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生的思維維度得到了拓寬與延展，從直接面向一個(gè)點(diǎn)開(kāi)展思考，轉(zhuǎn)化成以一條線的形式逐步深入，在完成問(wèn)題探究的同時(shí)，也實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的全面掌握. 這種一題多導(dǎo)的方式在啟迪學(xué)生智慧、幫助學(xué)生解決問(wèn)題的同時(shí)，還教會(huì)了學(xué)生如何分析問(wèn)題、思考問(wèn)題，最終幫助學(xué)生提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，達(dá)成“授之以漁”的效果.

多題一解，巧妙尋找規(guī)律

為了實(shí)現(xiàn)變式教學(xué)的創(chuàng)新，教師們還可以選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)從逆向進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，多題一解的教學(xué)模式便是其中具有代表性的一種. 前文已經(jīng)論述過(guò)一題多解的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，如果教師們能夠?qū)⑦@個(gè)過(guò)程反過(guò)來(lái)，將多個(gè)不同的問(wèn)題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)解題思路的相同部分，進(jìn)而強(qiáng)化對(duì)該種解題思路的理解認(rèn)識(shí)，也不失為一種非常巧妙的教學(xué)方法. 為同一種解題思路尋找多個(gè)具體問(wèn)題，本身也是變式教學(xué)的一種呈現(xiàn)途徑.

例如，在對(duì)矩形內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者向?qū)W生提出了如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）如圖4，一塊銳角三角形鐵皮，BC長(zhǎng)80，高AD長(zhǎng)60，現(xiàn)要將其加工為長(zhǎng)、寬之比為2 ∶ 1的矩形零件，且矩形一邊在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，則矩形的長(zhǎng)與寬是多少？矩形的面積是多少？△APQ的面積是多少？（2）如圖5，要將∠A為直角的三角形鐵皮加工成矩形，使矩形一邊在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，則PS，BS，CR之間有何關(guān)系？多個(gè)不同問(wèn)題的解答，所需要的矩形思路有重合的部分，這也是筆者想讓學(xué)生掌握的內(nèi)容.

不難發(fā)現(xiàn)，多題一解的教學(xué)思路更加有利于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解答當(dāng)中的規(guī)律性. 初中數(shù)學(xué)中的問(wèn)題變化多種多樣，想要將其系統(tǒng)掌握，就必須從思想方法的層面進(jìn)行把握和理解. 這種思想方法的內(nèi)容比較抽象，僅靠教師的口頭表述很難讓學(xué)生真正理解其中的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，更不用說(shuō)實(shí)際應(yīng)用了. 引入多題一解的變式教學(xué)方法之后，效果便大大優(yōu)化了. 多題的形式，為學(xué)生提供了豐富的研究資料. 在實(shí)際解答這些看似不同的問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其中的思維規(guī)律并不困難，且多次運(yùn)用實(shí)現(xiàn)了對(duì)相應(yīng)思想方法的強(qiáng)調(diào). 幾個(gè)問(wèn)題解答下來(lái)，學(xué)生已經(jīng)在潛移默化中深化了對(duì)該思想方法的鞏固記憶和深化理解，無(wú)需教師多言，也可以完整而透徹地予以掌握，教學(xué)效果十分理想.

談到變式教學(xué)，師生們首先想到的大多是一題多解或是一題多變. 其實(shí)，變式教學(xué)的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)與表現(xiàn)形式是非常豐富的. 只要是將數(shù)學(xué)問(wèn)題的非本質(zhì)特征加以改變，圍繞原問(wèn)題形成新的角度、新的側(cè)面與新的背景，都是成功的數(shù)學(xué)變式. 變式教學(xué)的應(yīng)用，為初中數(shù)學(xué)呈現(xiàn)了多種樣式的面貌，使得學(xué)生看到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的多種色彩與可能性. 在這個(gè)變式的過(guò)程當(dāng)中，學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)了靈動(dòng)轉(zhuǎn)化，并對(duì)相應(yīng)的知識(shí)方法理解得更加深入、透徹了. 可以說(shuō)，變式教學(xué)對(duì)于烘托教學(xué)積極氛圍和深化學(xué)生知識(shí)感知來(lái)講，均達(dá)到了事半功倍的效果.