陳茜

摘 要： 就高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性而言，提出了數(shù)學(xué)方法論下的教學(xué)理念。本文通過三種常見的數(shù)學(xué)方法論中的教學(xué)方法，討論了高等數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)方法的改進及數(shù)學(xué)方法論在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中具有的數(shù)學(xué)文化教育功能。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)課程 教學(xué)創(chuàng)新 數(shù)學(xué)方法論 教學(xué)方法

一、引言

高等數(shù)學(xué)課程是高等理工科院校普遍開設(shè)的一門基礎(chǔ)課程。以微積分為主體的高等數(shù)學(xué)知識點在抽象的思維能力、邏輯推理能力、歸納總結(jié)能力、創(chuàng)新能力和解析計算能力等方面都比初等數(shù)學(xué)有所延伸，是眾多專業(yè)的學(xué)生進一步學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程的基礎(chǔ)。同時，隨著國家教育方針的提出，研究生培養(yǎng)機制異軍突起。作為研究生考試全國聯(lián)考的三大課程之一，數(shù)學(xué)試卷至少包含三門數(shù)學(xué)課程，往往能把學(xué)生“烤糊”，而高等數(shù)學(xué)的考點可以占到整個卷面的50%。由此可見學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要性。

二、高等數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)的創(chuàng)新研究

1.什么是數(shù)學(xué)方法論

方法論是把某種共同發(fā)展規(guī)律和研究方法作為研究對象的一門學(xué)問。各門科學(xué)都有自己的方法論，數(shù)學(xué)也不例外。在國內(nèi)，“數(shù)學(xué)方法論”是徐利治教授首先提出的，在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中有這樣的定義：“數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門科學(xué)?！?/p>

從某種意義上說，數(shù)學(xué)方法論是哲學(xué)、方法論與數(shù)學(xué)史等多門學(xué)科的交叉科學(xué)，其著眼點在于數(shù)學(xué)的創(chuàng)新。它是研究數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明等的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的核心和靈魂，它不僅是數(shù)學(xué)的重要組成部分，而且是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉和動力。J.S布魯納提出：“掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和更易于記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想和方法是通往遷移大道的‘光明之路?！?/p>

2.數(shù)學(xué)方法論思想下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新分析

（1）數(shù)形結(jié)合法使抽象理論直觀化，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

華羅庚教授說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微?！睆木唧w到抽象是人類認(rèn)知的規(guī)律，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)遵循的規(guī)律。講授高等數(shù)學(xué)課程時通過直觀的圖形輔助抽象概念的講解，能將枯燥深奧的定義、定理形象直觀化。數(shù)與形的和諧結(jié)合，能觸發(fā)學(xué)生感官，有助于學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)和理解較抽象或復(fù)雜的內(nèi)容，進而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

我們在引入極限概念時，通過劉徽“割圓術(shù)”的圖形展示了極限概念中的逐步逼近思想；導(dǎo)數(shù)的幾何意義同樣體現(xiàn)了數(shù)與圖形的結(jié)合。在講述定積分概念時，通常借助多媒體展示曲邊梯形圖形“分割，求和，近似代替，取極限”的黎曼積分思想；更不用提多重積分、曲線、曲面積分完全離不開圖形在教學(xué)中的輔助作用了?？梢哉f數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法貫穿了高等數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。

將抽象深奧的數(shù)學(xué)理論直觀化后，在視覺上能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，調(diào)動學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)活動，能保持?jǐn)?shù)學(xué)思維的活躍性，自然能使課堂教學(xué)達到事半功倍的效果，必然能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樂于學(xué)習(xí)。

（2）聯(lián)想與類比的思想方法，注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)貫穿了整個微積分教學(xué)體系。這些知識點往往不是孤立的，而是有異曲同工之處。通過引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，由已掌握的熟知的知識點將思維引向更深層次的概念體系，最后將二者進行類比，理清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，既能促進新概念的教學(xué)，又有助于接近已學(xué)過概念的本質(zhì)及整個概念教學(xué)體系的建立。聯(lián)想與類比引發(fā)的直觀與猜想是使學(xué)生由已知邁向未知的發(fā)散思維過程，是學(xué)生產(chǎn)生探索動力的源泉。

如有限性與無限項概念教學(xué)的聯(lián)想與類比。在泰勒公式教學(xué)中，引導(dǎo)同學(xué)們聯(lián)想如果項數(shù)趨于無窮時項數(shù)與余項的變化趨勢，由此引出無窮項下的泰勒級數(shù)的概念。這種聯(lián)想與類比的講解既增強了泰勒公式的教學(xué)效果，又為泰勒級數(shù)的教學(xué)埋下了伏筆。又如在講解“有限個無窮小的和也是無窮小”定理時，讓學(xué)生考慮把有限變無限下定理的真?zhèn)涡?。在直觀思維的影響下，學(xué)生通常認(rèn)為無限多個無窮小仍為無窮小。在這種情況下教師可以給出一個反例，讓學(xué)生從本質(zhì)上比較有限與無限的區(qū)別。

我們在講授二元函數(shù)極值教學(xué)時自然會聯(lián)想到一元函數(shù)極值的教學(xué)，尤其是討論極值取得的必要條件時，可以先利用一元函數(shù)“可導(dǎo)的極值點必是駐點”的結(jié)論得到多元函數(shù)情形下的結(jié)果，隨后再比較一元函數(shù)與二元函數(shù)駐點的區(qū)別。

（3）化歸法提高學(xué)生解決問題的能力，激發(fā)創(chuàng)造力。

化歸法是數(shù)學(xué)方法論中一種重要的解題方法。它往往通過尋找所需解決問題的突破口，從難到易、從繁到簡地化歸達到解決問題的目的，其方法有很多，如多元到一元的化歸，高次到低次的化歸，空間到平面的化歸，等等。

多元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的過程充分體現(xiàn)了化歸法的運用。在對二元函數(shù)z=f（x，y）求偏導(dǎo)數(shù)時，從定義出發(fā)，對其中一個變量x求導(dǎo)數(shù)，就將變量y看成常數(shù)，此時多元函數(shù)回歸到一元函數(shù)，其借助一元函數(shù)求導(dǎo)法就可以得到二元函數(shù)下的偏導(dǎo)數(shù)。顯然運用化歸法教學(xué)使多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)輕松，易懂，還顯現(xiàn)了一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。

化歸的方法著眼于揭示問題之間的聯(lián)系，以已知的、簡單直觀的基本知識為支架，將未知的、抽象復(fù)雜的問題進行，從而達到解決問題的目的。它的“運動—轉(zhuǎn)化—解決矛盾”的思想教學(xué)過程中有著重要作用。教師在授課過程中應(yīng)根據(jù)教學(xué)的需要，適時地運用化歸法，注重培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力。這樣不僅能幫助他們理解和掌握新知識，提高他們解決問題的能力，還能進一步激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

數(shù)學(xué)方法論中除了以上三種常見的教學(xué)方法外，還有關(guān)系映射演變方法、構(gòu)造法、逐步逼近和優(yōu)化決策等教學(xué)方法，這些方法在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中常常相輔相成，相得益彰。一方面，它們豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容，強化了教學(xué)效果，提高了質(zhì)量，另一方面，對于受教者而言，它不但具有使其受到良好數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，形成良好數(shù)學(xué)文化素質(zhì)的功能，而且具有使其提高社會文化修養(yǎng)和科學(xué)文化修養(yǎng)的功能。

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基金項目：湖南省教育廳科學(xué)研究項目（15c1413）。