魯智鋒

摘 要：放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn). 由于其靈活多變，讓許多學(xué)生覺(jué)得沒(méi)有規(guī)律、無(wú)從著手. 為突破這個(gè)難點(diǎn)，我們可以在思維策略上加以點(diǎn)撥，提升其能力. 要能明確放縮目標(biāo)，放縮成“等比型”與“裂項(xiàng)相消型”，放縮法的難點(diǎn)在于減小放縮的誤差，可以采用延后放縮，但如果前面留下的項(xiàng)過(guò)多，計(jì)算量就會(huì)大. 縮小誤差的另一種方法是構(gòu)造變量，目標(biāo)驅(qū)動(dòng)，引入?yún)?shù)，用待定系數(shù)處理. 有些“數(shù)列型不等式”需通過(guò)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行分析，采用構(gòu)造函數(shù)、比較法等方法處理，在思維上降低了難度. 這些都是放縮法處理“數(shù)列型不等式”常見(jiàn)策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)列型不等式；放縮法；策略

證明數(shù)列型不等式最重要的方法為放縮法. 放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運(yùn)算，利用不等式的傳遞性，對(duì)照著目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放縮. 但放縮程度很難把握，裂項(xiàng)技巧性又太強(qiáng)，常常因找不到放縮、裂項(xiàng)的途徑而導(dǎo)致證明的失敗. 如何找到放縮、裂項(xiàng)的一般途徑呢？放縮過(guò)程中最難處理的是減小放縮的誤差，這又如何處理呢？

對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，先求和再放縮

例1 已知數(shù)列an=，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<.

分析：對(duì)于這道題，思考的問(wèn)題是先放縮還是先求和，看看條件中{an}的通項(xiàng)公式，分母中有遞推式：n2，（n+2）2，那么，就可以改寫(xiě)成“遞推相減”的形式，所以，此題應(yīng)采用先求和后放縮.

這里的變量r、i與q稱為控制變量，作為誤差調(diào)整的手段，還要兼顧從第幾項(xiàng)開(kāi)始實(shí)施放縮. 對(duì)于前三種的處理方法，顯然第三種處理方法要煩一點(diǎn)，從前面的分析中，我們要學(xué)會(huì)如果來(lái)選擇變量控制誤差，以及變量取什么值. 從目標(biāo)入手，目標(biāo)驅(qū)動(dòng)想法，這種分析問(wèn)題的意識(shí)很重要.

想法二：放縮成“裂項(xiàng)相消型”，如何恰到好處地放縮成“裂項(xiàng)相消型”，思維著力點(diǎn)：把原式放縮成一個(gè)具有遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)，通常是將分式結(jié)構(gòu)中的分母放縮成遞推式，然后裂成“遞推相減”的形式.

在問(wèn)題研究的過(guò)程中，放縮的方向就是朝著“可求和”數(shù)列進(jìn)行放縮，在“裂項(xiàng)相消型”的放縮中，問(wèn)題的關(guān)鍵是將分母朝著“遞推式”進(jìn)行放縮. 在控制誤差方面，一方面可以考慮延后放縮，另一方面可以考慮待定系數(shù)引入?yún)?shù)控制誤差，而引入?yún)?shù)的方法不唯一，所以此類問(wèn)題處理也比較靈活.

構(gòu)造遞推不等式（等差型，等比型）

我們前面研究的“數(shù)列和”不等式的題型，條件中的通項(xiàng)都是給出的. 如果條件給出的是遞推公式，研究“數(shù)列和”不等式，那么我們首先要考慮的是，能否將數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，如果通項(xiàng)公式求不出，那么我們常見(jiàn)的想法就是從目標(biāo)入手，對(duì)題目中的目標(biāo)進(jìn)行研究，將遞推公式朝著等差數(shù)列進(jìn)行放縮，或者朝著等比數(shù)列進(jìn)行放縮，總之，也是朝著“可求和”的數(shù)列進(jìn)行放縮. 如果是朝著等差數(shù)列進(jìn)行放縮，通過(guò)對(duì)目標(biāo)的研究，得到放縮的公差是多少，假設(shè)公差為d，也就是說(shuō)，我們放縮成類似于：an+1≥an+d形式，那么，由遞推關(guān)系，便得到：an≥a1+（n-1）d，且Sn≥na1+d. 如果是朝著等比數(shù)列進(jìn)行放縮，也是通過(guò)對(duì)目標(biāo)的研究，得到放縮的公比是多少，假設(shè)公比為q（q>0），也就是說(shuō)，將遞推公式放縮成類似于：an+1≥an·q形式，那么，同樣由遞推關(guān)系，我們便得到：an≥a1·qn-1，且Sn≥（1-qn）. 下面舉例說(shuō)明.

從上述例題，看出遞推放縮的數(shù)列與不等式的綜合題，解決的關(guān)鍵在于放縮，放縮是一種不等變形，沒(méi)有目標(biāo)的指向，很難有效放縮，如果我們將其放縮成等差數(shù)列、等比數(shù)列，再?gòu)哪繕?biāo)研究，放縮的公差、公比是多少，那么放縮的指向性明顯加強(qiáng)，從而降低了此類問(wèn)題的解決難度. 此外，根據(jù)對(duì)目標(biāo)的分析，確定放縮的目標(biāo)，可以利用比較法（作差或作商）來(lái)解決，在思維上也降低了難度.

本文對(duì)數(shù)列與不等式的綜合題的處理方法作了分析與研究，數(shù)列型不等式，它不但可以考查證明不等式和數(shù)列的各種方法，而且還可以綜合考查其他多種數(shù)學(xué)思想方法. 處理數(shù)列型不等式最重要的方法就是放縮法. 放縮過(guò)程中，我們需要考慮是先求和還是先放縮，如果通項(xiàng)能求和，這樣問(wèn)題還是容易處理，如果通項(xiàng)不能求和，就需要先放縮再求和，朝著“可求和”的數(shù)列進(jìn)行放縮，常見(jiàn)的是朝“等比型”和“裂項(xiàng)相消型”進(jìn)行放縮，在放縮過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)放縮過(guò)大，那么需要減少誤差，在兩種減小誤差的方法中，相對(duì)而言引入恰當(dāng)參數(shù)控制誤差方便一些. 當(dāng)然，我們也可以根據(jù)數(shù)列的特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性等方法進(jìn)行放縮. 對(duì)于條件給出的是遞推公式的數(shù)列不等式，我們應(yīng)該朝著等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行放縮，但如果我們能對(duì)目標(biāo)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯业叫枰趴s的目標(biāo)，直接采用比較法將問(wèn)題解決，相當(dāng)方便一些. 只有正確把握了放縮法的方法思路和規(guī)律特征，我們?cè)谧C明數(shù)列型不等式的壓軸題時(shí)，就會(huì)豁然開(kāi)朗，快速找到突破口.