李莉莉，金翠麗，苑春波

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

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帶有輸入加性時(shí)滯的切換系統(tǒng)的異步H∞控制

李莉莉，金翠麗，苑春波

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

摘要：研究一類輸入中帶有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯的切換系統(tǒng)的異步H∞控制問題?？刂破髑袚Q信號(hào)的時(shí)變延時(shí)導(dǎo)致子系統(tǒng)和控制器切換不同步。針對(duì)兩類延時(shí),基于平均駐留時(shí)間(ATD)方法和合并切換信號(hào)技術(shù),構(gòu)造僅在系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)匹配時(shí)下降的Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函。結(jié)合兩種積分不等式,充分利用加性時(shí)滯信息的基礎(chǔ)上引入較少的松弛矩陣,避免耦合線性矩陣不等式計(jì)算復(fù)雜,得到一種保守性較低的狀態(tài)反饋控制器。系統(tǒng)在相應(yīng)的平均駐留時(shí)間內(nèi)的任意切換信號(hào)下異步H∞問題可解。最后數(shù)值例子驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

關(guān)鍵詞：異步切換；輸入加性時(shí)滯；H∞控制；平均駐留時(shí)間(ADT)

時(shí)滯是實(shí)際系統(tǒng)中一種無法避免的現(xiàn)象,時(shí)滯的存在會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定,因此切換時(shí)滯系統(tǒng)的研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。在切換時(shí)滯系統(tǒng)的研究中,ADT方法因切換規(guī)則設(shè)計(jì)的靈活性倍受青睞[1-4]?，F(xiàn)有文獻(xiàn)較少考慮系統(tǒng)接收切換信號(hào)至實(shí)施切換動(dòng)作過程中的延時(shí)。文獻(xiàn)[5]討論了一類狀態(tài)中含有常時(shí)滯的Lipschitz非線性切換系統(tǒng)的異步魯棒控制問題,當(dāng)切換信號(hào)存在有界常時(shí)延時(shí),使用駐留時(shí)間方法得到系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[3]基于ADT方法和半正定規(guī)劃方法得到切換信號(hào)發(fā)生常延時(shí)的一類輸入時(shí)滯系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件。與文獻(xiàn)[3,5]得到兩組耦合的矩陣不等式不同,文獻(xiàn)[4]研究一類切換信號(hào)帶有時(shí)變延時(shí)的輸入常時(shí)滯切換系統(tǒng)的異步H∞控制問題,構(gòu)造含有一重積分的新L-K泛函,所得穩(wěn)定性條件中非耦合的線性矩陣不等式降低了計(jì)算的復(fù)雜度。加性時(shí)滯有著廣泛的實(shí)際背景,如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的信號(hào)傳遞過程。從傳感器到控制器的延時(shí)同控制器到執(zhí)行器的延時(shí)性質(zhì)不同,將兩種延時(shí)直接加和處理是不合理的,因此加性時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析應(yīng)該充分考慮兩種延時(shí)的時(shí)滯信息[6]。文獻(xiàn)[7-10]采用幾種不同形式的Jensen積分不等式的變形形式討論了幾類加性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]引進(jìn)自由權(quán)矩陣方法構(gòu)造新L-K泛函,得到低保守性的穩(wěn)定條件;文獻(xiàn)[9]和[10]通過分解時(shí)滯增加穩(wěn)定性條件中的時(shí)滯信息,降低結(jié)論的保守性;文獻(xiàn)[11]將加性時(shí)滯引入切換系統(tǒng),討論一類加性時(shí)滯切換系統(tǒng)的加權(quán)H∞濾波問題。

本文針對(duì)一類輸入中帶有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯的切換系統(tǒng),考慮控制器的切換滯后導(dǎo)致的子系統(tǒng)和控制器的不同步,研究異步H∞控制問題。首先,針對(duì)加性時(shí)滯和切換信號(hào)的延時(shí),基于ADT方法和合并切換信號(hào)技術(shù),構(gòu)造新的L-K泛函。新泛函只要求在系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)匹配時(shí)是下降的,同時(shí)一重積分項(xiàng)和二重積分項(xiàng)的使用增加了系統(tǒng)時(shí)滯信息。然后,結(jié)合兩種積分不等式處理泛函沿系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)中的交叉項(xiàng),充分利用加性時(shí)滯信息并引入較少的松弛矩陣,得到系統(tǒng)在一種保守性較低的異步控制器及相應(yīng)的平均駐留時(shí)間內(nèi)的任意切換信號(hào)下指數(shù)穩(wěn)定且具有L2增益的充分條件。導(dǎo)出的不等式在不同切換狀態(tài)下是非耦合的,這對(duì)降低計(jì)算的復(fù)雜性有積極作用。最后數(shù)值例子檢驗(yàn)了文中結(jié)果的有效性。

1系統(tǒng)描述及引理

考慮如下形式的一類切換系統(tǒng)

(1)

u(t)=Kσ(t-ds(t))x(t-d1(t)-d2(t)),

(2)

(3)

注1在實(shí)際系統(tǒng)中,信號(hào)從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)可能經(jīng)歷幾段網(wǎng)絡(luò),產(chǎn)生不同屬性的延時(shí)。將這些時(shí)滯的和作為一個(gè)時(shí)變時(shí)滯處理顯然不合理;即便是具有相同屬性的時(shí)滯,它們和也不一定在每個(gè)時(shí)滯取最大值時(shí)達(dá)到最大。因此,式(2)中的加性時(shí)滯具有更廣泛、更合理的應(yīng)用背景。

下面給出本文證明過程中將用到的定義及引理。

定義2系統(tǒng)(1)的異步H∞控制問題可解,若存在形如(2)的控制器和滿足ADT的異步切換規(guī)則使得

(i)當(dāng)w(t)=0時(shí),系統(tǒng)(3)是指數(shù)穩(wěn)定的;

定義3[4]對(duì)任意的t2>t1≥0,令Nσ(t1,t2)為系統(tǒng)在區(qū)間(t1,t2)上的切換次數(shù),若對(duì)于N0≥0,τα>0,有Nσ(t1,t2)≤N0+(t2-t1)/τα成立,則稱τα為平均駐留時(shí)間。Save[τα,N0]表示由τα和N0確定的切換信號(hào)集合。

引理1[12]對(duì)取定的σ1(t)∈Save[τα,N0]和σ2(t)=σ1(t-ds(t))(0≤ds(t)≤ds)有

(i)σ2(t)∈Save[τα,N0+(ds/τα)];

引理4[14]設(shè)0≤d(t)≤b2,其中d(t):R+→R+,對(duì)任意的Z=ZT>0,如下不等式成立:

引理5[15]假設(shè)γ1≤γ(t)≤γ2,式中γ(·):R+→R+,對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣Ξ1，Ξ2和Ξ,Ξ+(γ(t)-γ1)Ξ1+(γ2-γ(t))Ξ2<0當(dāng)且僅當(dāng)Ξ+(γ2-γ1)Ξ1<0,Ξ+(γ2-γ1)Ξ2<0。

2主要結(jié)果

本節(jié)給出系統(tǒng)(1)在控制器(2)下的異步H∞控制問題可解的充分條件。

(4)

則存在形如(2)的狀態(tài)反饋控制器確保系統(tǒng)(1)在平均駐留時(shí)間τα滿足

(5)

證明由于控制器中存在切換信號(hào)時(shí)滯ds(t),當(dāng)系統(tǒng)從第j個(gè)子系統(tǒng)切換到第i個(gè)子系統(tǒng)時(shí),控制器Kj仍處于激活狀態(tài)。此時(shí)將切換系統(tǒng)(1)可改寫成如下形式：

(6)

(7)

由引理5可知，Σii<0當(dāng)且僅當(dāng)

(8)

(9)

(10)

同理可知

(11)

同時(shí)考慮(4)和(7),可以得到

(12)

(13)

使用(12)對(duì)(13)進(jìn)行迭代可以得到

(14)

(15)

由(5)知存在λ使得2lnμ/τα+(λs+λu)d/τα<λ<λs-(λs+λu)ds/τα,即

(λs+λu)ds<(λs-λu)τα,λ[2lnμ+(λs+λu)d]/τα。

(16)

所以同時(shí)考慮(14)-(16)和引理2可得

(17)

注2所構(gòu)造的L-K泛函(7)只要求在系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)匹配時(shí)是下降的。此外(7)中引入了二重積分項(xiàng),充分利用了時(shí)滯信息,能夠有效地降低所得結(jié)果的保守性。

注3定理1使用了引理3和引理4中的兩種積分不等式來處理泛函沿系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)中的交叉項(xiàng),充分考慮時(shí)滯信息的同時(shí)引入了較少的松弛矩陣,降低了計(jì)算量。

注4一些文獻(xiàn)[8,10]得到的不等式是耦合的,求解過程復(fù)雜?；诒疚臉?gòu)造的L-K泛函,定理1中導(dǎo)出的不等式在不同切換狀態(tài)下是非耦合的,有效降低了計(jì)算的復(fù)雜性。

當(dāng)控制器(2)中切換信號(hào)延時(shí)ds(t)=0時(shí),有以下同步切換的結(jié)果。

3數(shù)值例子

本節(jié)將通過數(shù)值例子驗(yàn)證文中提出的結(jié)論的有效性。考慮含有兩個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)為:

式中，σ(t):[0,∞)→M={1,2},

取μ=1.51,λs=0.6,λu=0.5,d1=0.2,d2=0.3,h1=0.2,h2=0.3,使用MATLAB的LMI工具箱求解定理1中的線性矩陣不等式組，可知上述系統(tǒng)異步H∞控制問題可解，同時(shí)求得控制器增益

x0=[102]T時(shí),相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖2。

圖1　切換信號(hào)

圖2　狀態(tài)反饋

4結(jié)語

本文考慮了一類時(shí)滯切換系統(tǒng)的異步H∞控制問題。系統(tǒng)的控制輸入中帶有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯,并且控制器的切換信號(hào)中也存在時(shí)變延時(shí)。根據(jù)ADT方法和合并切換信號(hào)技術(shù),通過構(gòu)造包含更多時(shí)滯信息的L-K泛函,建立了系統(tǒng)在異步H∞控制器及相應(yīng)的切換規(guī)則下指數(shù)穩(wěn)定且具有L2增益的充分條件。新泛函不僅對(duì)系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)不匹配時(shí)沒有嚴(yán)格要求,能有效降低結(jié)論的保守性,還保證了導(dǎo)出的不等式在不同切換狀態(tài)下是非耦合的,從而降低了計(jì)算的復(fù)雜性。引理4的使用,在保留更多加性時(shí)滯信息的同時(shí)引入了較少的松弛矩陣,對(duì)降低計(jì)算的復(fù)雜度有積極作用。最后通過一個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了文中主要結(jié)果的有效性。

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(責(zé)任編輯王楠楠)

Asynchronous H∞Control for Switched Systems with Input Additive Delays

LI Li-li，JIN Cui-li，YUAN Chun-bo

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning 116029, China)

Abstract:The asynchronous H∞control is studied for a class of switched systems with two input additive time-varying delays. The time-varying delay in the switching signal of the controllers causes the asynchronous switching between the subsystems and the controllers. According to two types of delay, based on the modes of average dwell time (ADT) method and the merging switching signal technique, a Lyapunov-Krasovskii (L-K) function is constructed to descent only when the subsystems and the controllers are mode matching. By combining two kinds of the integral inequality, less slack matrices are introduced based on the full use of more additive delay information, avoiding coupled linear matrix inequalities technique calculation complexity, a less conservative state feedback controller is obtained. The asynchronous H∞control of the system is solved under arbitrary switching signal satisfying the corresponding ADT scheme. Finally, a numerical example verifies the effectiveness of the conclusion.

Key words:asynchronous switching；input additive delays；H∞control；average dwell time (ADT)

中圖分類號(hào)：TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-1383(2016)01-0078-06

作者簡(jiǎn)介：李莉莉(1982-)，女，遼寧大連人，副教授，博士，主要從事切換系統(tǒng)控制理論研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué) (61304056);遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(L2013409)。

收稿日期：2015-06-25；最后修回日期：2015-11-16