□杜 煜

挖掘數(shù)學內在美，讓常規(guī)教學更有魅力
——“梯形的面積”異構課堂對比賞析

□杜 煜

數(shù)學美不僅僅蘊含在特殊數(shù)學內容中，還蘊含在數(shù)學學習的各個情境中。在數(shù)學常規(guī)教學中，捕捉隱藏的數(shù)學美，使以往平庸的課堂展現(xiàn)美的情境，進而啟迪學生用數(shù)學美思想去解決數(shù)學問題，這是提高學生學習效果的普遍性的教學策略。

數(shù)學美 審美規(guī)律 常規(guī)教學

如果我們問學生什么是美，得到的答案基本都是說“好看的就是美”。由此反映出我們教學中的一個誤區(qū)：以往在我們的數(shù)學常規(guī)教學中，更多關注數(shù)學外在形式美和一些特殊數(shù)學問題中的美，而忽視廣泛的數(shù)學美特別是數(shù)學內在隱藏的規(guī)律美，好像數(shù)學美思想滲透的載體只是美的形式，凸顯的是一部分特殊數(shù)學內容，大量的數(shù)學知識學習似乎與數(shù)學美無緣，學生數(shù)學學習絕大多數(shù)在枯燥與乏味中度過，而感受不到數(shù)學美的“滋味”。事實上，數(shù)學美不僅體現(xiàn)在特殊的數(shù)學內容和外在形式上，更普遍地體現(xiàn)在數(shù)學內涵的本質規(guī)律上。古代哲學家、數(shù)學家普羅科拉斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”數(shù)學教學中，注意挖掘數(shù)學知識背后隱藏的數(shù)學美的因素，讓數(shù)學美在普遍的常規(guī)課堂中都能得到體現(xiàn)，學生的數(shù)學學習才會感到有滋有味，我們的數(shù)學教學才更有生命力。下面筆者通過“梯形的面積”同課異構教學片段的對比賞析，來體驗常規(guī)教學中數(shù)學美的魅力，思考透過現(xiàn)象挖掘內在數(shù)學美和運用數(shù)學美的教學途徑。

一、以美引學，重啟數(shù)學美與常規(guī)教學的開端

在教學導入環(huán)節(jié)的情境創(chuàng)設中，教師更多關注的是學生的認知與興趣，而忽視數(shù)學美的情境效應，事實上，后者十分重要。我們看“梯形的面積”教學中兩種創(chuàng)設情境的對比。

【導入片段一】

教師出示問題：（1）計算圖中平行四邊形的面積；（2）平行四邊形面積和三角形面積的計算公式是怎么推導出來的？求三角形面積為什么要“除以2”？（3）受此啟發(fā)，你能不能求出圖中的梯形面積？

圖1

圖2

圖3

【導入片段二】

師：同學們，該圖案美不美？它主要由什么圖形構成？

生：美，是由平行四邊形構成的（這是對圖形形成感知，是感受后產生的美感，但還沒達到美的理性思考層面）。

圖4

圖5

師：平行四邊形對邊平行，對邊相等，對角相等，它的形狀美，因而人們常常應用它來設計圖案，但它的美不僅僅體現(xiàn)在形狀上，它這個家族還含有長方形、正方形和菱形。如圖5，它的邊長和高都已知時，它的周長和面積都可求……此時我們會感到它是一個完美的圖形。（學生在美感的激發(fā)和教師的啟迪下，美的理性思考初步產生）

師：我將該平行四邊形沿一條線剪開（如圖6），去掉一部分，剩下的是梯形，該圖形還有原來的圖形美嗎？

圖6

生：形狀沒有原來的美了，面積我們也不會求了。（學生產生了與美感相悖的失落感）

師：剩下的圖形和原圖相比，在大家心目中是個殘缺的圖形，因為在這里，形狀不好看了，周長和面積我們也不會求了。（學生回味完整圖形的形式美，甚至產生將圖形還原的念頭，滋生對美的理性思考，為以后環(huán)節(jié)的思考埋下伏筆）

【思考】導入方式一是我們熟悉并常用的，它通過復習相關的舊知來引出新知。該教學思路明確了學生探究的方向，但忽視了數(shù)學美的因素。導入方式二讓學生在課始就欣賞數(shù)學所帶來的外在形式美。這好像在做與本課主題無關的事，其實則不然，這是以學生的數(shù)學審美經驗為基礎，不斷引導學生主觀上對數(shù)學外在美進行捕捉、欣賞和體驗，為以下發(fā)現(xiàn)數(shù)學內在美及滋生相關數(shù)學美思想方法提供動力因素。相比較，導入方式二更發(fā)揮了數(shù)學美的效應，更能對準學生思維的活躍點，開啟了數(shù)學美與常規(guī)教學的結合點。

二、順美導學，深化數(shù)學美與常規(guī)教學的融合

數(shù)學教學中的引導，第一個誤區(qū)是只關注學生情感的激發(fā)而忽視遵循認知規(guī)律；第二個誤區(qū)是只關注學生思維過程而忽視數(shù)學美感的激發(fā)。我們接著前面導入環(huán)節(jié)進入到推導梯形的面積公式環(huán)節(jié)來進行對比分析。

【探究片段一】（1）學生各小組拿出自己準備好的梯形紙片，剪一剪、拼一拼，推導梯形面積公式；（2）各組互相交流得出：兩個完全一樣的梯形能拼成一個平行四邊形；平行四邊形的底等于梯形的上、下底之和，高等于梯形的高；梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半，即梯形面積為（上底+下底）×高÷2。

圖7

圖8

【探究片段二】師：該圖原來是由小正方形拼成的類似平行四邊形，剪下一些后，剩下這殘缺圖形，圖形形狀好像梯形，你能算出這里小正方形的塊數(shù)嗎？

生：6+7+8+9+10=40。

師：同學們不感到這樣一行一行地加，運算煩瑣嗎？（學生在教師啟迪下思考簡潔算法，實際是在尋求內在的簡潔美）

師：該計算煩瑣的原因是各行小正方形個數(shù)不等，若各行的小正方形個數(shù)相等，我們就可用乘法計算了。該圖形是個殘缺的圖形，計算煩瑣是殘缺造成的吧？（教師的啟迪“一石激起千層浪”，學生在激情中思考將圖形復原，恢復整體美）

師生共同得到下面美麗的圖形，求得小正方形個數(shù)為（10+6）×5÷2=40。

圖9

圖10

師：一個不好計算的圖形，有可能是個殘缺的圖形，我們要學會將圖形整體復原，變?yōu)橥昝?。一個完美的圖形往往和很多數(shù)學知識相關，將不完美的圖形復原為完美的圖形，往往會從中發(fā)現(xiàn)解題思路。下面我們學習梯形面積公式。

師出示問題：如圖11，求該梯形面積（單位：厘米）。

（前面教學為學生創(chuàng)設了美的情境，積淀了數(shù)學美的思考。此時學生在數(shù)學美的感染下，萌發(fā)了學習激情，將殘缺圖形復原，占優(yōu)勢思維狀態(tài)，在自主探索中求得面積，如圖12）

師出示問題：求梯形面積（如圖13）。

（學生在數(shù)學美的感染中自主探索得到梯形面積公式，如圖14）

圖11

圖12

圖13

圖14

師：現(xiàn)在梯形已經有了面積計算公式，這樣就變得完美了吧？在數(shù)學中，有這樣一個規(guī)律：一個完美的圖形，往往是形狀好看、和很多數(shù)學知識有直接關聯(lián)的圖形。當遇到一個圖形不典型、很難求解的問題時，可想象它是個殘缺不完美的圖形，將其轉化為一個完美的圖形，有時能求得問題解答。

【思考】探究片段一設計時考慮的關鍵是學生經歷發(fā)現(xiàn)過程，引發(fā)他們的探究欲望，培養(yǎng)數(shù)學興趣。而探究片段二，正如王永春教授所說，“讓人看到了數(shù)學美的魅力和橋梁作用”。此時教師在“梯形面積公式直接推導”中并沒做多少講解工作，而將工作主要放在前面的美感激發(fā)上。此后由于前面數(shù)學美思想的感染，學生大腦中已經將轉化、類比等思考和數(shù)學美融為一體，學生的思路已經打開了。這些美感、激情和數(shù)學方法會有效遷移到后面的梯形面積公式的推導中。教師將梯形面積公式的推導這一重點內容放手交給學生，發(fā)揮了學生的主體作用，反而有效實現(xiàn)了重點內容的教學目標。

通過同課異構的對比，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學美情境效應的魅力，讓人想到“化腐朽為神奇”這句話。德國一位學者有過一句精辟的比喻：將 15克鹽放在你的面前，無論如何你難以下咽，但當將 15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就在享用佳肴的過程中不知不覺地將15克鹽全部吸收了。數(shù)學美對常規(guī)教學好比這湯與鹽，我們只有讓學生經歷數(shù)學美的感知、感受、感動過程，引導學生進行數(shù)學美的理性思考，才能促進學生形成穩(wěn)定的數(shù)學美的心理，從而喜愛數(shù)學這碗好喝的湯，我們的常規(guī)教學才能避免讓學生的數(shù)學學習產生味同嚼蠟之境，而對數(shù)學課有著回味無窮之感。

（浙江省衢州市衢江區(qū)橫路中心小學 324000）