●蔡衛(wèi)兵　(鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)　浙江寧波　315100)

?

順勢(shì)而導(dǎo)自然生成*——一次教研活動(dòng)的點(diǎn)滴心得

●蔡衛(wèi)兵(鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)浙江寧波315100)

摘要:數(shù)學(xué)概念教學(xué)立足本源創(chuàng)設(shè)最近發(fā)展區(qū)，借助有效提問揭示聯(lián)系，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，實(shí)現(xiàn)概念自然的、水到渠成的形成過程，才能使課堂具有生命力，使學(xué)生收獲有益于一生的能力和經(jīng)驗(yàn)．

關(guān)鍵詞:概念教學(xué);知識(shí)重組;關(guān)注過程;有效提問;自然生成

2015年10月12日，浙江省“鄭瑄名師網(wǎng)絡(luò)工作室”在寧波市江北區(qū)育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校舉行了工作室開班儀式，并進(jìn)行了第1次教研活動(dòng)．筆者有幸成為工作室的學(xué)科帶頭人，聆聽了3位浙江省特級(jí)教師自然流暢的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，這3節(jié)課分別是鄭瑄老師執(zhí)教的“三角函數(shù)”(9年級(jí))，俞界岳老師執(zhí)教“多邊形”(8年級(jí))和徐丹陽老師執(zhí)教的“二元一次方程”(7年級(jí))，感覺每節(jié)課都?xì)忭嵣鷦?dòng)，精彩流轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)概念自然的、水到渠成的形成過程．

1　關(guān)于概念形成的3個(gè)案例

鄭老師上課伊始出示直角三角形，并復(fù)習(xí)回顧了直角三角形的角之間的關(guān)系和邊之間的關(guān)系，提出了“角和邊之間有何關(guān)系”的問題．然后請(qǐng)學(xué)生拿出含有45°角的三角板，說說3條邊之間有何關(guān)系．鄭老師指出雖然大家三角板的大小不一，但只要是含有45°角，它的3條邊之比為繼續(xù)研究含有30°角的三角板的3條邊之間的關(guān)系和含有15°角的直角三角形的3條邊的關(guān)系，由此讓學(xué)生感知直角三角形3條邊之比與角度有關(guān)，隨著角度的變化，3條邊之比也變化，巧妙地解決了變與不變的辯證關(guān)系．對(duì)照函數(shù)概念，可以得到3條邊之比是關(guān)于角的函數(shù)．緊接著鄭老師由老子《道德經(jīng)》中的大道至簡(jiǎn)過渡，引導(dǎo)學(xué)生要學(xué)會(huì)把復(fù)雜變成簡(jiǎn)單，用智慧創(chuàng)造“簡(jiǎn)單”，提問:需要研究3條邊之比嗎(根據(jù)勾股定理，只需確定其中2邊的比值，必能求出與第3條邊的關(guān)系)?其中2條邊的比值有幾種情況?是否都有必要研究呢(a∶c，b∶c，a∶b;c∶a，c∶b，b∶a共6種，后3種與前3種分別是倒數(shù)關(guān)系，因此知其三必知另三)?邊的比值關(guān)于角的函數(shù)不能像前面所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式的形式進(jìn)行表示，數(shù)學(xué)家們用符號(hào)表示，得到3個(gè)比值是角的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)，分別叫做正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)．這樣水到渠成地得到銳角三角函數(shù)的概念:一是三角函數(shù)是比值;二是三角函數(shù)的值與角度有關(guān)……

俞老師上課伊始給出浙教版《數(shù)學(xué)》8年級(jí)上冊(cè)目錄，引導(dǎo)學(xué)生梳理三角形問題的研究順序、研究?jī)?nèi)容，接著瀏覽《數(shù)學(xué)》8年級(jí)下冊(cè)目錄，指出四邊形問題同樣是按照先一般后特殊的順序進(jìn)行研究，要研究四邊形的定義、性質(zhì)、應(yīng)用，這是幾何圖形研究的一般順序和主要內(nèi)容．幾何中常常將“圖形特征”與“數(shù)量關(guān)系”對(duì)應(yīng)起來研究，用類比得到新知的思想也是教材設(shè)計(jì)的一條暗線．由三角形的定義類比到四邊形的定義，由三角形的內(nèi)角和定理的操作、猜想、驗(yàn)證的研究方法類比到四邊形的內(nèi)角和研究的策略與路徑．類比教學(xué)，源于相似性，更要關(guān)注差異性，突出隨著邊數(shù)增加而出現(xiàn)的空間四邊形與平面四邊形、凸四邊形與凹四邊形，俞老師都給予了充分細(xì)致地關(guān)注．類比教學(xué)，關(guān)注結(jié)構(gòu)性，更要關(guān)注本質(zhì)性，突出內(nèi)角和的證明是將4個(gè)內(nèi)角集中起來，轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的平角180°、周角360°、三角形內(nèi)角和180°、2條平行線截得的同旁內(nèi)角互補(bǔ)等等．俞老師除了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握方法外，更讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想:有連接對(duì)角線轉(zhuǎn)化為2個(gè)三角形的內(nèi)角和，有內(nèi)部任取一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為4個(gè)三角形的內(nèi)角和減去1個(gè)周角，由邊上取一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為3個(gè)三角形的內(nèi)角和減去1個(gè)平角，由外部取一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為3個(gè)三角形的內(nèi)角和減去1個(gè)三角形的內(nèi)角和，由過1個(gè)頂點(diǎn)分別作另2條邊的平行線進(jìn)行等角代換轉(zhuǎn)化為1個(gè)周角，由分類討論延長(zhǎng)2條邊相交轉(zhuǎn)化為1個(gè)三角形的內(nèi)角和加2個(gè)平角減去1個(gè)三角形的內(nèi)角和，由分類討論過1個(gè)頂點(diǎn)作1條邊的平行線轉(zhuǎn)化為1個(gè)三角形的內(nèi)角和加2對(duì)同旁內(nèi)角和減去1個(gè)平角……

徐老師沒有通過教材中的現(xiàn)實(shí)問題情境來建構(gòu)二元一次方程的概念，因?yàn)楦拍顚W(xué)習(xí)之前呈現(xiàn)應(yīng)用情境，學(xué)生根本想不到設(shè)2個(gè)未知數(shù)．于是徐老師對(duì)教材作了創(chuàng)造性的處理，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的師生年齡問題，通過生動(dòng)有趣地進(jìn)行故事性的描述:徐老師從溫州來寧波，今早在育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校的操場(chǎng)突然有人叫她徐老師，經(jīng)過辨認(rèn)后是多年前教過的學(xué)生已大學(xué)畢業(yè)后來寧波工作，學(xué)生說道:“徐老師比教我們時(shí)老了不少，請(qǐng)問徐老師幾歲了?”徐老師不告訴他而反問:“你幾歲了?”調(diào)皮的學(xué)生說:“我也不告訴你?當(dāng)時(shí)教我們時(shí)老師曾說過:老師比我大20歲?”老師笑著說:“我已知道你的年齡了!”學(xué)生也說:“我也知道老師的年齡了!”我知他知你不知，這是怎么回事呢?

接著，徐老師提問:雖然你們不知道徐老師和剛才那位學(xué)生的年齡，但知道的信息有嗎?徐老師和剛才那位學(xué)生的年齡是未知量，那可如何表示，能用方程來表示你所知道的信息嗎(從具體問題出發(fā)，讓學(xué)生感受到2個(gè)未知量可以通過代數(shù)式形成等量關(guān)系建立方程)?所得的方程是一元一次方程嗎?一元一次方程是如何定義的?方程xy=20應(yīng)怎么稱呼?顧名思義，二元一次方程你會(huì)定義嗎?方程xy=20是二元一次方程嗎?看看書本上是怎么定義的?這與我們大家所說的有何不同?(未知數(shù)的次數(shù)是1次與含有未知數(shù)的項(xiàng)是1次是不一樣的)?經(jīng)過一番認(rèn)知沖突后，師生共同總結(jié)出二元一次方程的定義，有了可靠的思考工具(二元一次方程的定義)之后進(jìn)一步進(jìn)行一定程度的正例強(qiáng)化和反例識(shí)別，真正建構(gòu)二元一次方程的概念．然后回歸情境，你能說說徐老師為什么知道剛才那個(gè)學(xué)生的年齡?學(xué)生又怎么知道老師的年齡?你能寫出二元一次方程3x+4y=24的1個(gè)解嗎?你是怎么寫出來的?你能寫出使個(gè)解的二元一次方程嗎?

拉長(zhǎng)、細(xì)化上述過程，一方面讓學(xué)生感受2個(gè)量之間的“相互作用”，認(rèn)識(shí)到這個(gè)等量關(guān)系使得其中一個(gè)量確定就可以確定另一個(gè)量，領(lǐng)會(huì)二元一次方程的解的本質(zhì)，真正理解二元一次方程的解是一組數(shù)對(duì);另一方面引導(dǎo)學(xué)生理解可以用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)代數(shù)式的目的是為了更快捷地求出一個(gè)未知數(shù)所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的取值，是突出二元一次方程的解的有效操作．這樣，學(xué)生自然能對(duì)二元一次方程及其解達(dá)到質(zhì)的理解與建構(gòu)．

2　關(guān)于概念教學(xué)的3個(gè)感悟

2．1知識(shí)重組，構(gòu)建概念自然的、水到渠成的整體意識(shí)

直角三角形是浙教版《數(shù)學(xué)》8年級(jí)上冊(cè)特殊三角形中的教學(xué)內(nèi)容，涉及角之間的關(guān)系和邊之間的關(guān)系;函數(shù)是浙教版《數(shù)學(xué)》8年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)函數(shù)中的教學(xué)內(nèi)容，涉及函數(shù)的概念和表示方法等;銳角三角函數(shù)是浙教版《數(shù)學(xué)》9年級(jí)上冊(cè)解直角三角形中的教學(xué)內(nèi)容，既是直角三角形中邊角關(guān)系的繼續(xù)，也是有別于一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的“另類”函數(shù)，但它們之間有著緊密的聯(lián)系．因?qū)W生的接受能力和便于教學(xué)等諸方面的因素，數(shù)學(xué)教材對(duì)有的數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)是不連貫的，以“點(diǎn)狀”形式出現(xiàn)，因而學(xué)生獲取的知識(shí)也呈“點(diǎn)狀”的形式，它不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和知識(shí)體系的建立．鄭老師發(fā)現(xiàn)和利用知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與相互關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行知識(shí)重組，將“點(diǎn)狀”知識(shí)系列化，這有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立和數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)能力的形成．同樣四邊形與三角形，二元一次方程與一元一次方程式都是不同年級(jí)不同章節(jié)獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容，但俞老師以“圖形”為紐帶，徐老師以“方程”為紐帶，不僅“在宏觀上理清思路”，而且“在微觀上推敲細(xì)節(jié)”，合理地利用教材并對(duì)其進(jìn)行適度地“二次開發(fā)”，讓學(xué)生更好地建立“圖形”、“方程”的整體觀念．

2．2創(chuàng)設(shè)最近發(fā)展區(qū)，促使概念自然的、水到渠成的形成過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出:概念教學(xué)要返璞歸真，努力揭示概念的發(fā)生發(fā)展過程及其本質(zhì)．因此，學(xué)生親身經(jīng)歷概念的自然形成過程是概念教學(xué)的必由之路．3位特級(jí)教師的教學(xué)都體現(xiàn)了“理解數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上遵循知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程．徐老師參照抽象數(shù)學(xué)知識(shí)在具體現(xiàn)實(shí)生活中自然“孕育”的過程，通過年齡問題的故事性描述讓學(xué)生感覺到引入二元一次方程的必要性和合理性，在具體與抽象的往返穿梭中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到2個(gè)未知量的相互作用，自然化解“二元一次方程的解是一組數(shù)對(duì)，且有無數(shù)對(duì)”的認(rèn)知困難，二元一次方程及其解的概念是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味．同樣銳角三角函數(shù)的形成教學(xué)和四邊形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)過程，都是引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納、抽象、概括等一系列思維活動(dòng)，由初步感悟到初步內(nèi)化，從而獲得概念．那種不經(jīng)過任何鋪墊就直接給出概念，不經(jīng)歷概念的形成過程，搞“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意”的概念教學(xué)是不行的．概念教學(xué)的自然和水到渠成包括2個(gè)方面:一是知識(shí)的邏輯順序自然;二是學(xué)生心理邏輯主要是思維過程的自然．

2．3有效互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)概念自然的、水到渠成的形成過程

數(shù)學(xué)課堂成為情感的課堂，可喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望;成為互動(dòng)的課堂，學(xué)生主動(dòng)參與，自主學(xué)習(xí)，師生共同探討．3位特級(jí)教師的有效提問和真誠交流，讓學(xué)生多了一分靈動(dòng)，讓學(xué)習(xí)更為主動(dòng);多了一分活潑，讓教學(xué)充滿活力;更多了一分趣味和尊重，營造了一種身心解放、思維開放、個(gè)性奔放的教學(xué)場(chǎng)景，建構(gòu)起一種互動(dòng)、體驗(yàn)、快樂的多元課堂，讓人領(lǐng)略“有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭”的意境，這些全憑教師的智慧運(yùn)籌帷幄．如俞老師借助有效提問的推波助瀾，四邊形的內(nèi)角和的證明你怎么想的?你是如何想到的?轉(zhuǎn)化與化歸成什么問題?還有哪些角是與180°，360°有聯(lián)系的?不妨試一試?在四邊形ABCD中，已知∠A+∠C= 180°，你能得到什么結(jié)論?要得到∠B=60°，還需添加什么條件?若∠A=∠C=90°，分別作∠ABC和∠ADC的角平分線BE，DF，則BE和DF有怎樣的位置關(guān)系?如何證明呢?你能用一句話給這個(gè)問題歸納一下嗎?要得到角平分線BE與DF互相平行，則至少要具備什么條件?等等．定義、性質(zhì)、應(yīng)用、問題串將整節(jié)課完美地串聯(lián)起來，學(xué)生完全參與了整個(gè)探究過程，預(yù)設(shè)與生成相映生輝．

總之，教師應(yīng)該熟悉課標(biāo)，洞察教材，合理創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在建構(gòu)中感悟，在辨析中發(fā)現(xiàn)，在匹配的練習(xí)中內(nèi)化．只有這樣，學(xué)生才能在自然的、水到渠成的概念形成過程中收獲有益于一生的能力和經(jīng)驗(yàn)．

作者簡(jiǎn)介:蔡衛(wèi)兵(1976－)，男，浙江象山人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-10-18;2015-11-26．

中圖分類號(hào):O12

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1003－6407(2016)04-34-03