劉志華， 蔡晨光， 于 梅， 夏 巖， 李京勝

(中國計量科學研究院， 北京 100029)

多點激勵正弦振動的實數(shù)域控制算法研究①

劉志華， 蔡晨光， 于 梅， 夏 巖， 李京勝

(中國計量科學研究院， 北京 100029)

多點激勵正弦振動系統(tǒng)能更加真實地模擬實際振動環(huán)境，更利于掌握產(chǎn)品的實際振動特性。針對傳統(tǒng)頻域迭代算法中復數(shù)計算的求解復雜性，對實數(shù)域控制算法進行研究。建立多點激勵正弦振動控制的實數(shù)域數(shù)學模型，采用Broyden算法構(gòu)建實數(shù)形式的阻抗矩陣，并對迭代步長進行優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上提出實數(shù)域迭代算法的控制流程。最后對算法的可行性進行仿真分析和實驗驗證，結(jié)果表明：實數(shù)域控制算法的收斂速度快、響應(yīng)精度高，且可以有效避免振蕩過沖現(xiàn)象。

振動控制； 多點激勵； 擬牛頓算法； 實數(shù)域

引 言

傳統(tǒng)的振動環(huán)境試驗廣泛采用單點激勵振動系統(tǒng)，但隨著產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的復雜化和多樣化，人們逐漸開始關(guān)注多點激勵振動系統(tǒng)，其優(yōu)勢在于不僅能夠提供足夠的推力而且能更加真實地模擬實際振動環(huán)境，更利于掌握產(chǎn)品的實際振動特性[1-2]。正弦振動試驗是一類重要的振動環(huán)境試驗，有助于暴露零部件或設(shè)備在特定激勵頻率下的故障缺陷[3]。相比于單點正弦激勵控制，多點激勵正弦振動控制除了要控制激勵點幅值大小，還需考慮各激勵點之間的互耦補償以及相位差修正[4-5]。因此，多點激勵正弦振動控制具有一定的難度與挑戰(zhàn)性。

多點激勵正弦振動控制的研究始于1973年，F(xiàn)isher論述了互耦補償方式的多點激勵數(shù)字控制的理論與實踐，為多點激勵振動控制提供了理論依據(jù)[6]。Hamma和Smith提出了線性控制算法，采用誤差頻譜和當前驅(qū)動頻譜之和來修正命令驅(qū)動頻譜，算法簡單但穩(wěn)定性較差[7]。Chen和Wilson采用迭代增益來控制誤差頻譜補償量，提高了正弦振動控制的穩(wěn)定性但卻減慢了收斂速度[8]。目前廣泛應(yīng)用的控制方法為提前激勵系統(tǒng)來測量估計系統(tǒng)頻響函數(shù)，進一步計算阻抗矩陣，完成對驅(qū)動信號的迭代修正[9-10]。但此類方法采用固定的迭代增益和阻抗矩陣，初始的阻抗矩陣誤差會對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精度產(chǎn)生持續(xù)性影響[11]。Underwood提出多點激勵正弦試驗的自適應(yīng)控制方法，通過可變增益來控制迭代步長，并在迭代中不斷更新系統(tǒng)阻抗矩陣，補償系統(tǒng)的非線性和時變性影響[12-13]。國內(nèi)學者陳家焱提出多點激勵正弦振動的最優(yōu)控制策略，以響應(yīng)譜和參考譜的誤差矢量范數(shù)為目標函數(shù)，采用“雙步控制閉環(huán)”方法來確定并優(yōu)化控制系統(tǒng)的迭代步長和驅(qū)動信號[14]。然而現(xiàn)存控制方法均為頻域迭代算法，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為復數(shù)矩陣，需要在復數(shù)域空間確定迭代步長和阻抗矩陣，增加了控制算法復雜度。

本文針對傳統(tǒng)頻域迭代算法的不足，提出多點激勵正弦振動控制的實數(shù)域控制算法。首先，建立正弦振動的實數(shù)域控制數(shù)學模型，根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)構(gòu)建阻抗矩陣，并對迭代步長進行優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上給出實數(shù)域迭代算法的控制流程。最后，對實數(shù)域迭代算法進行仿真分析，并通過實驗進行驗證。

1 實數(shù)域控制算法

1.1 數(shù)學模型

傳統(tǒng)的多點激勵正弦振動控制方法為頻域迭代算法，如圖1所示，需要提前激勵系統(tǒng)來獲取頻響函數(shù)估計并計算阻抗矩陣，控制目標為使測量的響應(yīng)頻譜達到理想的參考頻譜，通過反復迭代修正驅(qū)動信號，使系統(tǒng)輸出的響應(yīng)信號不斷趨近設(shè)定的參考信號，驅(qū)動頻譜的修正方程可以描述為

Dn+1(f)=Dn(f)+αZ(f)(R(f)-Cn(f))

(1)

式中Dn(f)為第n次迭代驅(qū)動譜；Dn+1(f)為所求的第n+1次迭代驅(qū)動譜；Z(f)為系統(tǒng)阻抗矩陣，通常取為系統(tǒng)頻響函數(shù)估計值A(chǔ)(f)的逆矩陣A-1(f)；α為迭代增益，由于估計的頻響函數(shù)與真實的頻響函數(shù)難免存在一定誤差，因此通常選取迭代增益0<α<1以提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖1 頻域迭代算法Fig．1 Iterative method in the frequency domain

傳統(tǒng)頻域迭代算法所開展的提前激勵增加了振動控制過程的額外工作量，多點激勵振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)識別往往耗時較長，明顯增加了振動試驗時間，而且還可能會對一些精密或易碎的試驗樣本造成不必要的損壞[15]。除此之外，傳統(tǒng)頻域迭代算法基于系統(tǒng)頻響函數(shù)，多點激勵振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)為復數(shù)域矩陣，限制了一些較為有效的實數(shù)域算法在振動控制領(lǐng)域的應(yīng)用。因此，為了避免頻域迭代算法的提前激勵，將采用實數(shù)域控制算法來解決多點激勵正弦振動控制問題。

系統(tǒng)的頻響函數(shù)h(f)是一個包含幅值α和相位β的復指數(shù)

h(f)=αejβ

(2)

系統(tǒng)在頻率ω、幅值C和相位φC的正弦信號x(t)激勵下，將輸出同頻率的正弦信號y(t)：

x(t)=Csin(ωt+φC)

(3)

y(t)=αCsin(ωt+φC+β)

(4)

任意的正弦輸入信號都可以變換成如下形式

(5)

其中，w1和w2為輸入系數(shù)

w1=Ccos(φC),w2=Csin(φC)

(6)

同樣，任意的正弦輸出信號也可以變換為

(7)

其中，u1和u2為輸出系數(shù)

(8)

通過式(5)和(7)的變換，系統(tǒng)的輸入和輸出均被表示成相互正交的正余弦函數(shù)之和的形式，如圖2(a)所示，而輸入和輸出信號的幅值和相位由正余弦函數(shù)的系數(shù)決定。由于輸入和輸出均為標準正弦信號，振動控制中往往僅關(guān)心其幅值和相位，因此可將系統(tǒng)進行簡化，如圖2(b)所示，其中輸入為u(t)，輸出為w(t)，傳遞特性為h(t)，則由式(8)可以得到

u(t)=h(t)w(t)

(9)

其中：

(10)

圖2 系統(tǒng)模型化簡Fig．2 Simplified system model

式(9)所描述的系統(tǒng)傳遞模型采用兩個實系數(shù)來代替原本的一維正弦信號，雖然增加了系統(tǒng)的維度，但沒有添加任何額外信息，因為正弦信號包含了幅值和相位。若不增加維度就要采用包含實部和虛部的復數(shù)表示，由此提出的復數(shù)域控制算法往往較為復雜。式(9)通過增加維度將復數(shù)域問題轉(zhuǎn)換成實數(shù)域問題，便于實數(shù)域控制算法的提出。

同理，可以建立多點激勵正弦振動系統(tǒng)的實數(shù)域數(shù)學模型

C(t)=H(t)D(t)

(11)

式中D(t)為系統(tǒng)驅(qū)動系數(shù)，C(t)為系統(tǒng)響應(yīng)系數(shù)，H(t)為系統(tǒng)傳遞特性。

(12)

式中ui(t)為激勵點i的響應(yīng)系數(shù)，wi(t)為激勵點i的驅(qū)動系數(shù)，hij(t)為激勵點j和激勵點i之間的傳遞特性，m為激勵點的總個數(shù)。

1.2 阻抗矩陣

假設(shè)系統(tǒng)的參考系數(shù)為R(t)，系統(tǒng)的響應(yīng)系數(shù)為C(t)，可以定義系統(tǒng)的誤差系數(shù)如下

F(D(t))=R(t)-C(t)=

R(t)-H(t)D(t)

(13)

多點激勵正弦振動控制的目標為求解合理的驅(qū)動系數(shù)D(t)，使得響應(yīng)系數(shù)C(t)盡量接近參考系數(shù)R(t)，即求解方程F(D(t))=0。若不進行提前激勵，無法獲得系統(tǒng)的傳遞特性H(t)，因此將無法直接求解方程F(D(t))=0的導數(shù)值，只能獲得方程函數(shù)值，此時可采用如下擬牛頓方法進行求解[16]

(14)

其中：

sn+1(t)=Dn+1(t)-Dn(t)，

yn+1(t)=F(Dn+1(t))-F(Dn(t))

(15)

式(14)中An+1(t)是對方程導數(shù)矩陣F′(D(t))的近似，通過修正矩陣ΔAn(t)迭代求得。但式(14)必須在增加適當條件下才能完全確定An+1(t)。Broyden算法要求An+1(t)和An(t)在向量sn+1(t)的正交補上二者無任何差別，即

(16)

假定u(t)為待定向量，則由式(16)可以得到

(17)

由式(14)中的方程二可以得到

(An+1(t)-An(t))sn+1(t)=

yn+1(t)-An(t)sn+1(t)

(18)

將式(17)的兩邊右乘sn+1(t)，并聯(lián)立式(18)可得到

(19)

將式(19)得到的u(t)代入式(17)便可得到An+1(t)的修正方程

(20)

根據(jù)式(20)對An+1(t)進行修正后，還需要通過求解線性方程組才能獲得驅(qū)動系數(shù)Dn+1(t)。為了求解方便，根據(jù)Sherman-Morrison定理[16]可對An+1(t)的逆矩陣Zn+1(t)進行更新

(21)

通常將Zn+1(t)稱為系統(tǒng)的阻抗矩陣，它是一個有別于傳統(tǒng)頻域迭代算法中的阻抗矩陣的實數(shù)矩陣。于是可以獲得驅(qū)動系數(shù)的修正方程如下

Dn+1(t)=Dn(t)-Zn(t)(R(t)-Cn(t))

(22)

式(21)和(22)即為求解實數(shù)域非線性方程組的Broyden算法，在多點激勵正弦振動控制應(yīng)用中不需要進行系統(tǒng)辨識，從而避免了提前激勵。

1.3 迭代步長

理論上按照式(22)的迭代公式便能夠求解得出滿足系統(tǒng)響應(yīng)要求的驅(qū)動系數(shù)Dn+1(t)，而阻抗矩陣Zn(t)在迭代過程中將逐漸趨近于傳遞特性H(t)的逆矩陣。由于迭代開始階段的阻抗矩陣往往與H(t)的逆矩陣偏差較大，因此采用失真的阻抗矩陣修正的驅(qū)動系數(shù)會造成系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩，而在實際控制中應(yīng)該盡量避免這種情況的出現(xiàn)。為此將式(22)的驅(qū)動系數(shù)迭代公式修改如下

Dn+1(t)=Dn(t)-λZn(t)(R(t)-Cn(t))

(23)

式中λ為迭代步長，用以合理控制驅(qū)動系數(shù)的修正量。如圖3所示，阻抗矩陣Zn(t)決定了驅(qū)動系數(shù)的修正方向，而迭代步長λ則決定了驅(qū)動系數(shù)的修正量，事實上任意修正方向上均存在一個最接近目標值的局部極點，此局部極點可通過尋優(yōu)迭代步長求得，以本局部極點為起點沿更新的阻抗矩陣方向，通過尋優(yōu)迭代步長便可求得下一個局部極點，隨著迭代過程局部極點將逐漸靠近目標值。所求得的局部極點是當前修正方向下最接近目標值的驅(qū)動系數(shù)，從而有效避免了控制過程的振蕩現(xiàn)象。

將誤差系數(shù)的矢量范數(shù)作為目標函數(shù)，用以衡量響應(yīng)系數(shù)C(t)與參考系數(shù)R(t)的接近程度

f(Dn+1(t))=(R(t)-Cn+1(t))T(R(t)-Cn+1(t))

(24)

λ=-{H(t)Zn(t)(R(t)-Cn(t))]T(R(t)-Cn(t))}/

{H(t)Zn(t)(R(t)-Cn(t))]T[H(t)Zn(t)(R(t)-Cn(t))}

(25)

式(25)的迭代步長求解表達式中包含有未知的系統(tǒng)傳遞特性H(t)，因此需要根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)系數(shù)對系統(tǒng)的傳遞特性進行估計。為準確估計當前狀態(tài)系統(tǒng)傳遞特性，驅(qū)動系數(shù)的變化量應(yīng)盡可能小，采用取值很小的迭代步長ρ(通常為0.1)修正驅(qū)動系數(shù)

(26)

由式(27)可以進一步推導得出

H(t)Zn(t)(R(t)-Cn(t))=

(28)

將式(28)代入式(25)可以消去方程中的未知量，得到最優(yōu)步長的求解公式如下

(29)

圖3 步長尋優(yōu)Fig．3 Step optimization

1.4 控制流程

綜合上述分析，給出多點激勵正弦振動實數(shù)域控制算法的實現(xiàn)流程如圖4所示，具體步驟如下：

第一步：根據(jù)各激勵點的幅值和相位要求設(shè)定參考系數(shù)R(t)，初始化迭代條件：D0(t)=0m，C0(t)=0m，Z0(t)=Im。

第四步：判斷迭代次數(shù)是否超過規(guī)定最大次數(shù)限制，若超過結(jié)束特定頻率的閉環(huán)控制，否則返回第二步，進入下一循環(huán)。

2 仿真與實驗研究

2.1 仿真分析

下面利用Matlab軟件對本文所提出的實數(shù)域控制算法的性能進行仿真分析。假設(shè)4點激勵振動系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣為

正弦振動控制目標為：激勵點1的參考幅值4.0 m/s2，參考相位60°；激勵點2的參考幅值2.0 m/s2，參考相位120°；激勵點3的參考幅值5.0 m/s2，參考相位30°；激勵點4的參考幅值3.0 m/s2，參考相位90°。

采用Broyden算法按照式(22)修正驅(qū)動系數(shù)時，仿真得到多點激勵振動系統(tǒng)的幅值響應(yīng)如圖5所示，相位響應(yīng)如圖6所示?？梢钥闯觯?jīng)過16次控制迭代后，激勵點1的幅值和相位便分別趨近于4.0 m/s2和60°；激勵點2的幅值和相位分別趨近于2.0 m/s2和120°，激勵點3的幅值和相位便分別趨近于5.0 m/s2和30°；激勵點4的幅值和相位分別趨近于3.0 m/s2和90°。仿真結(jié)果說明Broyden算法能夠高效迭代得出滿足系統(tǒng)響應(yīng)要求的驅(qū)動系數(shù)。但圖5中各激勵點的幅值響應(yīng)在迭代初始階段出現(xiàn)了嚴重的過沖，激勵點1的峰值達到70 m/s2，激勵點2的峰值達到60 m/s2，激勵點3的峰值達到85 m/s2，激勵點4的峰值也已超過55 m/s2，在實際振動控制中容易造成系統(tǒng)的損壞。因此Broyden算法雖然理論效果明顯，卻并不適用于實際的振動控制。

圖5 Broyden算法的幅值響應(yīng)Fig．5 Amplitude response of the Broyden method

圖6 Broyden算法的相位響應(yīng)Fig．6 Phase response of the Broyden method

圖7 步長尋優(yōu)算法的幅值響應(yīng)Fig．7 Amplitude response of the step optimization method

采用圖4所示的包含步長尋優(yōu)的實數(shù)域迭代算法進行控制時，仿真得到的幅值響應(yīng)和相位響應(yīng)分別如圖7和8所示?？梢钥闯觯骷铧c的幅值響應(yīng)迭代初始階段的過沖得到了明顯改善，激勵點1的過沖小于0.15 m/s2，激勵點2的過沖小于0.70 m/s2，激勵點3的過沖小于0.07 m/s2，激勵點4的過沖小于0.25 m/s2。

圖8 步長尋優(yōu)算法的相位響應(yīng)Fig．8 Phase response of the step optimization method

誤差系數(shù)的范數(shù)變化如圖9所示，不斷減小的誤差系數(shù)范數(shù)說明驅(qū)動系數(shù)在迭代修正一直朝著目標方向進行，不存在振蕩現(xiàn)象。如圖7和8所示，經(jīng)過20次迭代后，各激勵點的幅值和相位也均趨近于各自的參考幅值和相位。仿真結(jié)果說明本文提出的實數(shù)域控制算法能夠有效地完成多點激勵正弦振動控制。

圖9 步長尋優(yōu)算法的誤差范數(shù)Fig．9 Error norm of the step optimization method

2.2 實驗驗證

為了驗證實數(shù)域控制算法的可行性，搭建兩點激勵振動系統(tǒng)進行試驗研究，如圖10所示。通過兩個振動臺同時激振三角橫梁，橫梁激勵點附近安裝加速度計實時測量振動大小，經(jīng)電荷放大器轉(zhuǎn)換成電壓信號，振動控制器根據(jù)控制算法生成模擬電壓信號，通過功率放大器驅(qū)動兩振動臺產(chǎn)生振動。

圖10 兩點激勵振動系統(tǒng)Fig．10 Two exciters vibration system

首先，控制兩振動臺輸出頻率為320 Hz的正弦振動，其中激勵點1的幅值為1.2g、相位為60°，激勵點2的幅值為1.0g、相位為90°。采用圖4所示的實數(shù)域迭代算法進行控制，得到的幅值和相位響應(yīng)分別如圖11和12所示?？梢钥闯?，經(jīng)過15個迭代步長，激勵點1的幅值和相位便分別趨近于1.2g和60°，迭代初始階段沒有出現(xiàn)幅值響應(yīng)過沖；經(jīng)過15個迭代步長激勵點2的幅值和相位分別趨近于1.0g和90°，迭代初始階段幅值響應(yīng)的過沖小于0.2g。經(jīng)過30個迭代步長兩激勵點幅值和相位的穩(wěn)態(tài)誤差均小于0.001g和0.1°，實驗說明實數(shù)域迭代算法在320 Hz頻率點具有良好的精度和速度，能有效避免振蕩過沖現(xiàn)象。

圖11 320 Hz幅值響應(yīng)Fig．11 Amplitude response at 320 Hz

圖12 320 Hz相位響應(yīng)Fig．12 Phase response at 320 Hz

接下來，控制兩振動臺在40～2000 Hz的頻率范圍內(nèi)振動，激勵點1的參考幅值由上坡值(0.6～1.2g)和恒定加速度值(1.2g)組成，參考相位為60°，激勵點2的參考幅值由上坡值(0.4～1.0g)和恒定加速度值(1.0g)組成，參考相位為90°。實驗中經(jīng)過30個迭代步長兩激勵點的幅值響應(yīng)和相位響應(yīng)分別如圖13和14所示?？梢钥闯?，兩激勵點的幅值響應(yīng)在上坡段和恒定段與參考值很接近，整個頻率范圍內(nèi)幅值誤差均小于0.01g，頻率范圍內(nèi)兩激勵點的相位響應(yīng)分別接近參考值60°和90°，誤差小于1.5°。實驗結(jié)果說明實數(shù)域控制算法在整個頻率范圍內(nèi)具有良好的正弦振動控制能力。

圖13 頻帶范圍內(nèi)幅值響應(yīng)Fig．13 Amplitude response in the frequency range

圖14 頻帶范圍內(nèi)相位響應(yīng)Fig．14 Phase response in the frequency range

3 結(jié) 論

本文通過建立多點激勵正弦振動控制的實數(shù)域數(shù)學模型，推導出實數(shù)形式的阻抗矩陣更新公式，并確定了最優(yōu)的迭代步長，提出多點激勵正弦振動實數(shù)域控制算法的控制流程。仿真與實驗結(jié)果表明，實數(shù)域控制算法具有快速的收斂速度，能夠滿足高精度的幅值和相位響應(yīng)要求，且可以有效地避免控制過程中的振蕩過沖現(xiàn)象。

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Multi-exciter sine vibration control method in the real domain

LIUZhi-hua,CAIChen-guang,YUMei,XIAYan,LIJing-sheng

(National Institute of Mechology of China, Beijing 100029， China)

Multi-exciter sine vibration system has the ability to simulate more closely approximating real-world operating conditions which contributes to achieve the vibration characteristic of the test articles. The purpose of this paper is to present the real domain control method in order to avoid complex number operations in the traditional frequency domain iterative algorithm. The real domain mathematical model of multi-exciter sine vibration control is established. Broyden’s method is formulated to deduce the real-valued impedance matrix. The iterative step used to determine the updated driving signal is optimized. On this basis, control flow to implement the real domain control method is introduced. Simulation and experiment are carried out to verify the effectiveness of the proposed control method. The results demonstrate that the real domain control method has an advantage of efficient convergence, precise response and overshoot avoidance.

vibration control; multi-exciter; Quasi-Newton method; real domain

2016-01-23；

2016-04-25

國家自然科學基金青年基金資助項目(51605461)；中國博士后科學基金資助項目(2016M591229)；公益性行業(yè)科研專項項目(201410009)

TB535

1004-4523(2016)06-1003-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.008

劉志華(1987—),男,助理研究員。電話:15201284652；E-mail:liuzhihua@nim.ac.cn