向 宇, 蔣紅華, 袁麗蕓, 陸 靜

(1.廣西科技大學(xué)汽車與交通學(xué)院， 廣西 柳州 545006；2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(廣西科技大學(xué))， 廣西 柳州 545006)

多孔介質(zhì)矩形薄板的精細(xì)積分模型①

向 宇1,2, 蔣紅華1,2, 袁麗蕓1,2, 陸 靜1,2

(1.廣西科技大學(xué)汽車與交通學(xué)院， 廣西 柳州 545006；2.廣西汽車零部件與整車技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(廣西科技大學(xué))， 廣西 柳州 545006)

基于三維Biot理論和彈性薄板理論，考慮多孔介質(zhì)薄板骨架與流體的耦合作用，導(dǎo)出了多孔介質(zhì)矩形薄板在諧激勵(lì)作用下的一階常微分矩陣方程。利用齊次擴(kuò)容精細(xì)積分方法，對(duì)兩對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板在均布荷載和集中荷載兩種情況下的彎曲振動(dòng)問題進(jìn)行了求解，對(duì)比經(jīng)典算例，驗(yàn)證了所建模型的可行性和有效性。相對(duì)于數(shù)值方法，本文提出的方法適用于中高頻段的分析計(jì)算。

多孔介質(zhì)矩形薄板; 吸聲; Biot理論; 齊次擴(kuò)容精細(xì)積分法

引 言

由于多孔介質(zhì)材料具有出色的吸聲、吸能特性，廣泛應(yīng)用于交通運(yùn)輸、土木工程等工程領(lǐng)域。因此，對(duì)其進(jìn)行聲振性能研究，尤其是對(duì)多孔介質(zhì)板殼結(jié)構(gòu)的聲振特性分析具有重要意義。1956年，Biot提出飽和含流多孔介質(zhì)振動(dòng)和聲傳播理論，創(chuàng)建了多孔介質(zhì)材料動(dòng)力學(xué)分析的經(jīng)典理論[1]。由于涉及的材料參數(shù)太復(fù)雜且含義抽象，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)經(jīng)典Biot理論進(jìn)行了簡(jiǎn)化和修改，提出了更易理解和實(shí)際應(yīng)用的修正Biot理論[2]，并建立了相應(yīng)的多孔介質(zhì)板殼結(jié)構(gòu)的解析模型。Theodorakooulos等采用Fourier級(jí)數(shù)展開的方法求解了四邊簡(jiǎn)支多孔介質(zhì)薄板的彎曲振動(dòng)問題[3]，并分析了慣性、孔隙率等對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響。在此基礎(chǔ)上，Leclaire建立了一種求解四邊簡(jiǎn)支和固支多孔介質(zhì)薄板更為簡(jiǎn)單的模型[4-5]。但是，由于僅考慮了流體相對(duì)于固體骨架的法向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，他們的模型只適用于含輕質(zhì)流體多孔介質(zhì)薄板的低頻聲振分析?；谛拚腂iot理論，陳衛(wèi)松[6]和寧景鋒等[7]研究了含多孔材料層合板的隔聲性能和吸聲性能，討論了厚度、孔隙率等參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性的影響。目前，多孔介質(zhì)薄板的理論模型中均忽略或部分忽略了多孔骨架與流體的相互作用，且解析求解方法僅能處理形狀規(guī)則和有限的簡(jiǎn)單邊界條件。為克服這一困難，數(shù)值解法在多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)的聲振特性分析中得到了較大發(fā)展。Atalla等人通過用聲壓來描述流體位移，建立了一種基于混合位移-聲壓方程的多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)有限元模型[8]，相對(duì)于文獻(xiàn)[9]中基于經(jīng)典Biot理論建立的位移-流體模型，該模型的節(jié)點(diǎn)自由度從6個(gè)減少為4個(gè)，大大降低了計(jì)算規(guī)模。Batifol等在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)了Comsol軟件環(huán)境下多孔介質(zhì)混合位移-聲壓方程的表達(dá)式，建立了壓電/多孔介質(zhì)彈性夾芯板的多物理場(chǎng)混合有限元模型[10]。2011年，胡瑩等采用Batifol的方法對(duì)含多孔材料多層板的聲學(xué)性能進(jìn)行了研究[11]。然而，由于低階形函數(shù)的單元離散和插值，使有限元等數(shù)值方法僅適用于中低頻問題的求解。

綜上所述，現(xiàn)有多孔介質(zhì)板殼結(jié)構(gòu)在模型建立中常對(duì)流體位移作簡(jiǎn)化假設(shè)，且解析法和數(shù)值解法均存在一定的局限性。本文從Biot理論和薄板理論出發(fā)，充分考慮多孔介質(zhì)薄板固體骨架與內(nèi)部流體間的相互作用，建立了一種求解多孔介質(zhì)薄板聲振問題的新模型，并結(jié)合高精度的齊次擴(kuò)容精細(xì)積分法和精細(xì)元法[12]，提出一種在中高頻段均具有較高計(jì)算精度的半解析、半數(shù)值求解方法。

1 多孔介質(zhì)薄板控制方程的建立

圖1為一多孔介質(zhì)矩形薄板，薄板長(zhǎng)、寬、厚分別為a，l，h；上下表面聲壓荷載分別為p1，p2；qi(i=x,y,z)為中面作用力。

圖1 多孔介質(zhì)薄板示意圖Fig.1 The schematic of thin rectangular porous plate

1.1 多孔介質(zhì)薄板的本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)Biot三維理論，多孔介質(zhì)材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下[1]：

(1a)

(1b)

(1c)

式中e，ε分別為固體骨架和流體的體積應(yīng)變；σi(i=x,y,z)為固體骨架沿三個(gè)坐標(biāo)方向的正應(yīng)力分量；τij,γij(i,j=x,y,z)分別為固體骨架上的三個(gè)切向應(yīng)力和應(yīng)變分量；Q表示微元體中固體骨架和流體體積應(yīng)變之間的耦合系數(shù)；R表示維持一定數(shù)量的流體在微元體內(nèi)所需的壓力系數(shù)。p表示介質(zhì)中的流體壓力，φ為孔隙率；N，A類似于均勻各向同性彈性體中的拉美系數(shù)，N為剪切模量。式(1a)和(1b)為固體本構(gòu)關(guān)系，式(1c)為流體本構(gòu)關(guān)系。

由式(1c)中的第1式，可得

(2)

將之代入式(1a)得

(3)

根據(jù)薄板的直法線假設(shè)有：γxz=0，γyz=0，σz-φp=0，代入式(3)中的第3式可得

(4)

式中

1.2 多孔介質(zhì)薄板固體骨架的內(nèi)力-位移關(guān)系

(6)

將式(6)代入固體骨架的應(yīng)變-位移關(guān)系式，應(yīng)變分量為

(7a)

內(nèi)部流體的應(yīng)變-位移關(guān)系

(7b)

將式(7a)代入本構(gòu)關(guān)系式(5)，可得固體骨架的內(nèi)力-位移關(guān)系

(8)

1.3 多孔介質(zhì)薄板骨架的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于多孔介質(zhì)薄板骨架進(jìn)行受力分析，可得運(yùn)動(dòng)方程如下[1]

(9)

在諧激勵(lì)外力作用下，運(yùn)動(dòng)方程(9)變?yōu)?/p>

(10)

1.4 多孔介質(zhì)薄板內(nèi)部流體的運(yùn)動(dòng)方程和本構(gòu)方程

對(duì)于多孔介質(zhì)薄板內(nèi)部流體，根據(jù)Biot理論，其運(yùn)動(dòng)方程[1]為

(11)

式中ρ22=φρf+φρf(α∞-1)為流體介質(zhì)的相對(duì)密度。

諧激勵(lì)作用下，由式(11)可解出內(nèi)部流體的位移幅值

(12)

結(jié)合固體骨架的位移模式式(6)，將式(12)沿薄板厚度方向積分，可得流體在中面任一點(diǎn)的位移幅值分量(平均值)

(13)

將式(12)的第3式代入流體z方向應(yīng)變式(7b)的第3式，有

(14)

結(jié)合式(5)的第4式和式(7b)，頻域內(nèi)流體的本構(gòu)關(guān)系簡(jiǎn)化為

(15)

將式(12)代入式(15)，同時(shí)結(jié)合式(7a)和(13)，沿厚度方向積分可得

(16)

同理，將式(15)乘以z后，再沿厚度方向進(jìn)行積分可得

(17)

式(16)和(17)為流體的運(yùn)動(dòng)控制方程。文獻(xiàn)[5]中忽略了面內(nèi)流體相對(duì)于固體的運(yùn)動(dòng)，假設(shè)除z坐標(biāo)方向外其余兩坐標(biāo)方向的流體位移近似等于固體位移，即:us?uf,vs?vf,ws≠wf。不同于該文獻(xiàn)，在式(16)和(17)的推導(dǎo)中，考慮了固體骨架和內(nèi)部流體的相互作用，未對(duì)流體的位移引入任何假設(shè)，因而更加嚴(yán)謹(jǐn)精確，適用范圍更廣。

2 兩對(duì)邊簡(jiǎn)支多孔介質(zhì)矩形薄板的一階常微分矩陣控制方程

為了便于邊界條件的計(jì)算，引入薄板的Kelvin-Kirchhoff等效剪力

(18)

通過式(8)，(10)，(13)，(16)，(17)和(18)，經(jīng)消去中間變量，可得12個(gè)狀態(tài)向量的一階常微分矩陣方程

(19)

3 一階常微分矩陣控制方程的求解

利用高精度的齊次擴(kuò)容精細(xì)積分方法和精細(xì)元法[12]，可以方便地求解上節(jié)推導(dǎo)的一階常微分矩陣方程式(19)。

3.1 均布諧激勵(lì)作用下控制方程的求解

(20)

式中Zj，Zj-1分別為第j個(gè)單元前后兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處狀態(tài)向量，Tj為單元傳遞矩陣，Qj是由外激勵(lì)引起的轉(zhuǎn)移項(xiàng)。式(20)移項(xiàng)后有

(21)

對(duì)于M個(gè)單元可得到M個(gè)形如式(21)的式子，寫成矩陣形式如下

(22)

其中，未知狀態(tài)向量個(gè)數(shù)為12(M+1)，方程個(gè)數(shù)為12M。一般情況下，薄板在x=0和x=a處各有6個(gè)給定的邊界條件，將這些已知的邊界條件代入到矩陣方程式(22)，即在矩陣方程中再增加12個(gè)方程，整理后方程數(shù)為12(M+1)，求解該方程組即可求出全部12(M+1)個(gè)狀態(tài)向量。

3.2 集中諧激勵(lì)作用下控制方程的求解

考慮一個(gè)兩對(duì)邊簡(jiǎn)支、另外兩邊任意支撐的多孔介質(zhì)矩形薄板，在點(diǎn)(x=x0，y=y0)處有一個(gè)集中諧激勵(lì)，其他外力均為零。在集中力作用點(diǎn)上增加一個(gè)受集中力作用的微小單元，如圖2所示。

圖2 集中激勵(lì)單元示意圖Fig.2 The unit under concentrated excitation

(23)

(24)

(25)

4 算例分析

從圖3可以看出，本文模型與文獻(xiàn)[4]模型無論在低頻還是中高頻段，兩者的共振波峰頻率以及共振頻率處的峰值都吻合很好，說明了本文模型可行、有效。此外，與文獻(xiàn)[3]和[4]比較，本文模型不僅能夠計(jì)算四邊簡(jiǎn)支邊界條件，還可以靈活處理兩對(duì)邊簡(jiǎn)支、另兩對(duì)邊為任意邊界條件的多孔介質(zhì)薄板的振動(dòng)問題(如圖4所示)，適用范圍更廣，因此，本文模型具有較高的理論和應(yīng)用價(jià)值。

圖3 四邊簡(jiǎn)支多孔介質(zhì)薄板的頻率響應(yīng)曲線Fig.3 Plate amplitude response versus frequency for a simply supported porous plate

圖4 兩邊簡(jiǎn)支、另兩邊一邊固支一邊自由多孔介質(zhì)薄板的頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Plate amplitude response versus frequency for a porous plate with two opposite edges simply supported and the other two edges clamped and free

算例2：考慮一個(gè)兩對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形薄板[4]，尺寸為0.5m×0.5m×10.70mm，骨架密度ρs=1136kg/m3，流體密度ρf=1.213kg/m3，楊氏模量E=2.1×107Pa，泊松比μ=0.35，流體動(dòng)黏度υ=1×10-3N·s/m2，扭轉(zhuǎn)率α∞=1.2，達(dá)西滲透率q=2.7×10-10m2，孔隙率φ=0.69，其余參數(shù)處理同算例1。在板上表面x=0.15m，y=0.1m處施加幅值為1N的集中諧激勵(lì)，觀察板中點(diǎn)處的撓度。圖5為四邊簡(jiǎn)支情況下頻率響應(yīng)曲線與文獻(xiàn)[4]的比較圖；圖6為兩邊簡(jiǎn)支、另兩對(duì)邊自由情況下的頻率響應(yīng)曲線圖。

圖5 四邊簡(jiǎn)支多孔介質(zhì)薄板的頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Plate amplitude response versus frequency for a simply supported porous plate

圖6 兩邊簡(jiǎn)支、另兩對(duì)邊自由多孔介質(zhì)薄板的頻率響應(yīng)曲線Fig.6 Plate amplitude response versus frequency for a porous plate with two opposite edges simply supported and the other two edges free

由圖5可以看出，本文模型和文獻(xiàn)[4]模型的位移頻譜在低中頻段完全重合，但在高頻段2.5kHz之后，兩種方法的位移幅值有較大差別。文獻(xiàn)[4]模型的建立基于三個(gè)假設(shè)：1)板的厚度要遠(yuǎn)小于任何聲波波長(zhǎng)；2)板內(nèi)流體z向位移幅值變化很??；3)忽略了流體相對(duì)于固體的面內(nèi)位移。上述簡(jiǎn)化模型在低頻階段具有較高的精度，文獻(xiàn)[5]中Leclaire等也用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型在低頻段的有效性。但隨著頻率的增加，這種假設(shè)將很難滿足，模型精度將會(huì)下降。文獻(xiàn)[4]也指出了因?qū)Π搴裼猩鲜黾僭O(shè)，其模型在高頻段誤差增大。本文模型充分考慮了三個(gè)方向上流體和固體的相對(duì)位移，且未對(duì)板厚進(jìn)行任何假設(shè)，因此，從理論上講相對(duì)于文獻(xiàn)[4]中的簡(jiǎn)化模型，本文模型在中高頻段內(nèi)具有較高的精度。

5 結(jié) 論

本文從Biot理論和薄板理論出發(fā)，充分考慮多孔介質(zhì)薄板骨架與流體的耦合作用，在對(duì)流體位移不做任何簡(jiǎn)化假設(shè)的前提下，首次推導(dǎo)出了多孔介質(zhì)矩形薄板的一階常微分矩陣方程。該模型的狀態(tài)向量包含有內(nèi)力分量、位移分量以及與聲壓有關(guān)的合力分量，可直接應(yīng)用于各種邊界條件，克服了現(xiàn)有文獻(xiàn)中多孔介質(zhì)薄板建模方法過于簡(jiǎn)化、邊界條件處理困難等缺點(diǎn)，能很方便地求解兩對(duì)邊簡(jiǎn)支另兩對(duì)邊為任意邊界條件下多孔介質(zhì)薄板的聲振問題。此外，在求解方法上，利用齊次擴(kuò)容精細(xì)積分方法和精細(xì)元法，只要給定合適的精細(xì)積分步長(zhǎng)和積分單元數(shù)，就能保證在中高頻段的計(jì)算精度。因此，本文的多孔介質(zhì)薄板精細(xì)積分模型推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，精度高，適用范圍廣，該模型還可為研究其他邊界條件下多孔介質(zhì)矩形薄板聲振特性問題提供理論基礎(chǔ)。

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Cao Zhiyuan. Vibration Theory of Plates and Shells[M]. Beijing: China Railway Press, 1989.

附錄 系數(shù)矩陣A，B和非齊次向量F中的非零元素

1.系數(shù)矩陣A中的非零元素

2.系數(shù)矩陣B中的非零元素

3.非齊次向量F中的非零元素

A precise integration model of a thin rectangular porous plate

XIANGYu1,2,JIANGHong-hua1,2,YUANLi-yun1,2,LUJing1,2

(1.Automotive & Transportation Engineering Institute, Guangxi University of Science and Technology,
Liuzhou 545006, China; 2.Guangxi Key Laboratory of Automobile Components and
Vehicle Technology, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

Based on the three dimensional Biot theory and the elastic theory of thin plate, the first order differential equations of a thin rectangular porous plate under harmonic excitation were established by considering the coupling effect between the solid phase and the fluid phase. Employing the extended homogeneous capacity precision integration method, transverse vibrations problem of a thin rectangular porous plate was discussed with simply supported boundary condition in two opposite edges. In the numerical examples, both the uniform force and unit point force were taken into account. Comparisons with the classic example have verified the feasibility and effectiveness of the present model. The present model was high precision, which was derived rigorously and easy to conduct various boundary conditions. It can be applied in higher frequency range than the numerical method.

thin rectangular porous plate; absorption; Biot theory; extended homogeneous capacity high precision integration method

2015-08-05；

2016-04-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11162001,11502056);廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015GXNSFBA139007)

TH34; O422.8

：A

1004-4523(2016)06-1020-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.010

向宇(1963—)，男，教授。電話：(0772)2695662； E-mail：gxutxy@126.com