韓愛紅， 胡偉鵬, 鄧子辰

(1. 華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450008；2. 西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710072；3. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116023)

偏心沖擊下阻尼薄圓板動力學(xué)響應(yīng)的廣義多辛分析①

韓愛紅1， 胡偉鵬2,3, 鄧子辰2,3

(1. 華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450008；2. 西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710072；3. 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116023)

對稱破缺是復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，決定著系統(tǒng)諸多非線性性質(zhì)。關(guān)注荷載不對稱性和結(jié)構(gòu)耗散這兩類引起對稱破缺的因素，采用廣義多辛分析方法研究了偏心沖擊荷載作用下阻尼薄圓板振動問題。在哈密頓體系下，建立偏心沖擊荷載作用下阻尼薄圓板振動問題的動力學(xué)控制方程，構(gòu)造其廣義多辛近似對稱形式，研究由于以上因素引起的守恒律誤差。隨后采用顯式中點差分離散方法構(gòu)造其廣義多辛格式，并用于研究圓板阻尼和沖擊荷載偏心對振動過程的影響。研究思路為進一步探索動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與耗散效應(yīng)之間的內(nèi)在聯(lián)系奠定基礎(chǔ)。

薄圓板；偏心沖擊荷載；哈密爾頓；廣義多辛；對稱性

引 言

1918年，德國女科學(xué)家Emmy Noether教授全面闡述了力學(xué)體系的連續(xù)對稱變換與守恒量一一對應(yīng)關(guān)系，即著名的諾特定理[1]。這一命題的創(chuàng)立一方面可以從力學(xué)系統(tǒng)的對稱性研究過程中探索系統(tǒng)的守恒律[2]；另一方面，如果系統(tǒng)某種對稱性被破壞，那么與之對應(yīng)的守恒量也就不復(fù)存在。

在對粒子物理理論研究過程中，美籍科學(xué)家Yoichiro Nambu教授提出了對稱破缺的概念，創(chuàng)立了著名的南部-戈德斯通定理[3]，由于這一創(chuàng)新性成果，Yoichiro Nambu教授同Makoto Kobayashi教授和Toshihide Maskawa教授一道分享了2008年諾貝爾物理學(xué)獎[4]。對稱破缺是指物理學(xué)中，在具有某種對稱性的物理系統(tǒng)之臨界點附近發(fā)生的微小振蕩，通過選擇所有可能分岔中的一個分岔，打破了這物理系統(tǒng)的對稱性，并且決定了這物理系統(tǒng)的命運。例如當(dāng)水溫降至接近冰點時，水中各處看起來皆相同，因此水系統(tǒng)具有空間上的對稱性，此時若某處的溫度振蕩至低于冰點，便破壞了對稱性，且決定了所凝固之冰的結(jié)構(gòu)。動力學(xué)對稱破缺是指描述動力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange量或Hamilton量的某種對稱性遭到破壞，Lagrange量或Hamilton量的破壞是耗散動力學(xué)系統(tǒng)耗散效應(yīng)的內(nèi)在動力，也是保結(jié)構(gòu)算法需要保持的耗散動力學(xué)系統(tǒng)的本質(zhì)屬性。

薄板沖擊動力學(xué)問題是飛機機身、裝甲車車身等裝備抗沖擊設(shè)計中最基本的力學(xué)問題之一，在長期研究過程中，針對這一動力學(xué)問題，逐漸形成了兩大類求解方法[5]：一類是吸收解析法結(jié)果準(zhǔn)確和數(shù)值方法(主要是有限元法)處理邊界靈活的優(yōu)點而形成的半解析解法；另一類是在處理復(fù)雜的邊界形狀沒有原則上的困難的數(shù)值方法。在已有工作中，已經(jīng)采用保結(jié)構(gòu)分析方法研究了薄圓板中心受沖擊荷載作用下的振動問題[6]，本文將進一步考慮荷載偏心和結(jié)構(gòu)阻尼對圓板振動的影響，采用保結(jié)構(gòu)分析方法研究偏心沖擊作用下阻尼薄圓板的振動問題[7]。

馮康先生在1984年雙微國際會議上全面闡述了保結(jié)構(gòu)算法的基本思想：數(shù)值分析過程與原連續(xù)系統(tǒng)應(yīng)該在同一理論框架體系下進行，以此保證數(shù)值離散過程能夠盡可能多地保持原連續(xù)系統(tǒng)的固有幾何性質(zhì)[8]，這一開創(chuàng)性的學(xué)術(shù)思想一直影響著保結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展：20世紀(jì)90年代，鐘院士等針對Hamilton動力學(xué)系統(tǒng)建立了一套辛幾何方法及時程精細積分理論[9]；Bridges教授等將針對有限維Hamilton系統(tǒng)的辛幾何算法推廣至針對無限維Hamilton系統(tǒng)的多辛算法，使得動力學(xué)系統(tǒng)局部性質(zhì)的保結(jié)構(gòu)分析成為可能，完善了保結(jié)構(gòu)理論體系[10]；關(guān)注實際無限維動力學(xué)系統(tǒng)中廣泛存在的耗散問題，鄧子辰教授等將針對保守動力學(xué)系統(tǒng)的多辛算法推廣至用于處理弱耗散動力學(xué)問題的廣義多辛算法，進一步拓展了保結(jié)構(gòu)思想的應(yīng)用領(lǐng)域[11]。

基于本課題組前期研究工作，本文進一步考慮沖擊荷載作用位置的偏心及其結(jié)構(gòu)阻尼的影響，利用廣義多辛算法研究偏心沖擊荷載作用下中心對稱阻尼薄圓板的動力學(xué)響應(yīng)問題。

1 偏心沖擊荷載作用下中心對稱阻尼薄圓板振動模型及其近似對稱形式

在已有工作基礎(chǔ)上[6]，進一步考慮沖擊荷載偏心和結(jié)構(gòu)阻尼的影響，分析中心對稱薄圓板動力學(xué)問題，如圖1。假定圓板的幾何尺寸是中心對稱的，材料參數(shù)是均勻的，并且厚度可以忽略不計，則薄圓板振動問題可以簡化為空間一維動力學(xué)問題，其振動控制方程可表述為

Aδ(0,τ) t≥0, 0≤r≤R, 0≤τ≤R

(1)

式中 ξ為圓板材料黏滯阻尼系數(shù)，ρ為薄圓板的面密度，D=Eh3/[12(1-ν2)]為薄圓板的抗彎剛度，E為圓板材料彈性模量，h為圓板厚度，ν為圓板材料泊松比，w=w(t,r)為撓度函數(shù)，R為圓板直徑，Aδ(0,τ)為圓板受到的沖擊荷載，A為沖擊荷載的幅值，δ(0,τ)為沖擊函數(shù)，表示在t=0時刻在r=τ的位置作用一個沖擊荷載。

為了描述沖擊荷載的偏心程度，定義相對偏心距

er=τ/R

(2)

圖1 計算模型Fig.1 Computational model

事實上，由于本文考慮的沖擊荷載只是單個脈沖，該脈沖作用的時刻是初始時刻，因此沖擊荷載的作用效果只反映在動力學(xué)問題的初值條件中，其偏心效應(yīng)也只體現(xiàn)在數(shù)值求解方法的初值條件中，為此，本文首先考慮中心對稱薄圓板的阻尼振動問題

t≥0, 0≤r≤R

(3)

薄圓板自由振動控制方程的多辛對稱形式在文獻[6]中已經(jīng)給出，在此基礎(chǔ)上，引入黏滯阻尼的影響，得到薄圓板阻尼振動的近似對稱形式

(4)

(1) 廣義多辛守恒律

ρ?t(du∧dw)+D?r(dφ∧dw+dp∧dq)=

-ξd(?tw)∧dw

(5)

式中 ∧為外積運算符，令右端項Δ=-ξd(?tw)∧dw即是由于阻尼耗散引起的多辛守恒律誤差。

(2) 近似局部能量守恒律

Dφ?rw+Dq?rp-Dp?rq+Dw?rφ)+

(6)

將Δel在時間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)對時間坐標(biāo)做定積分，即得該局部在時間區(qū)間[t1,t2]內(nèi)的能量耗散值；同理，將Δel在空間區(qū)間[r1,r2]內(nèi)對空間坐標(biāo)做定積分，也可以得該時刻在空間區(qū)間[r1,r2]內(nèi)的能量耗散值。

2 廣義多辛形式的多辛差分離散

出于計算效率考慮，本文采用顯式中點差分離散方法構(gòu)造廣義多辛形式(4)的顯式的廣義多辛格式。

(7)

展開上式，即：

(8)

與廣義多辛格式(8)相聯(lián)系的是離散的廣義多辛守恒律和離散的近似局部能量守恒律，即：

(9)

(10)

3 沖擊荷載的偏心及材料的黏滯阻尼對薄圓板振動能量影響的數(shù)值研究

假定沖擊荷載作用于r=τ這個圓周上的某一點，不失一般性，將該點所對應(yīng)的極角設(shè)定為θ=θ0，θ0為一常數(shù)，在以下數(shù)值實驗中，取θ0=π，這樣，沖擊荷載的初始條件可以列寫為：

w(0,r)=0,?tw(0,r)=0,

(11)

為簡便起見，考慮固支撐邊界條件

w(t,R)=0

(12)

選取薄圓板的幾何尺寸參數(shù)：h=0.01 m，R=1 m，薄圓板材料參數(shù)為：ρ=78 kg/m2，E=200 GPa，ν=0.3。取計算步長為Δt=0.01 s，Δr=0.02 m。在t∈[0,5]s時段內(nèi)，模擬不同相對偏心距和不同黏滯阻尼系數(shù)情形下，當(dāng)沖擊荷載幅值為A=1 kN時模擬薄圓板的振動情況，模擬不同相對偏心距和不同黏滯阻尼系數(shù)情形下圓板不同時刻的振動情況，結(jié)果如下(為了更好地表現(xiàn)荷載不對稱，即初始條件不對稱的影響，結(jié)果中只給出沖擊荷載作用點所在的直徑上的點的振動情況)：

3.1 荷載偏心的影響

為了研究沖擊荷載偏心的影響，本部分假定黏滯阻尼系數(shù)為ξ=0.1，模擬當(dāng)相對偏心距變化時薄圓板的振動情況，得到當(dāng)相對偏心距為er=0.1和er=0.5時沖擊荷載作用點所在直徑上的點的振動情況如圖2和3所示。

圖2 圓板上θ=π直徑上各點的撓度(er=0.1)Fig.2 Deflection of the grid point on the diameter in the θ=π direction with er=0.1

比較圖2和3的模擬結(jié)果可知，在振動的初始階段，隨著沖擊荷載偏心距的增大，圓板上沖擊荷載作用點所在直徑上的點的振幅減小，但是，隨著振動的進行，偏心距越大，該直徑上各點的振動隨著偏心距的增大而加強。此外，隨著偏心距的增大，振動波傳播過程中的波長減小。

圖3 圓板上θ=π直徑上各點的撓度(er=0.5)Fig.3 Deflection of the grid point on the diameter in the θ=π direction with er=0.5

3.2 材料阻尼系數(shù)的影響

為了研究材料阻尼系數(shù)對圓板振動特性的影響，本部分假定相對偏心距為er=0.1，模擬取不同材料阻尼系數(shù)時薄圓板的振動情況，得到當(dāng)阻尼系數(shù)為ξ=0.2和ξ=0.5時沖擊荷載作用點所在直徑上的點在t=5 s時的撓度分布情況如圖4所示。

圖4 圓板上θ=π直徑上各點的撓度(ξ=0.2和ξ=0.5)Fig.4 Deflection of the grid point on the diameter in the θ=π direction with ξ=0.2 and ξ=0.5

比較不同阻尼系數(shù)下圓板振動情況，不難發(fā)現(xiàn)：隨著圓板材料的阻尼系數(shù)增大，同一時刻圓板上各點的振動振幅減小，這正是能量耗散的結(jié)果。但是，振動波在圓板上傳播的波長并不受圓板阻尼系數(shù)的影響。這說明在計算步長一定的情況下，隨著圓板材料阻尼系數(shù)的增大，依據(jù)離散的多辛守恒律誤差和離散的局部能量誤差表達式，雖然多辛守恒律誤差和局部能量誤差有所增大，但是波在薄圓板中的傳播特性依然得到了較好的保持。

4 結(jié) 論

本文考慮了兩種影響動力學(xué)系統(tǒng)對稱性因素，包括荷載的不對稱性和阻尼耗散，其中，荷載不對稱性由沖擊荷載的偏心表現(xiàn)，這一因素在初始條件中體現(xiàn)；阻尼耗散效應(yīng)由材料阻尼系數(shù)體現(xiàn)，采用廣義多辛分析方法處理。詳細研究了這兩類因素對中心對稱薄圓板振動特性的影響。通過對存在不同相對偏心距的沖擊荷載作用下不同阻尼系數(shù)薄圓板振動特性的研究，發(fā)現(xiàn)：1) 隨著偏心距的增大，圓板上各點的振動衰減減慢，同時振動波在圓板上傳播的波長減??； 2) 隨著材料阻尼系數(shù)的增大，薄圓板振動的振幅明顯減小，而振動波的波長沒有明顯變化，即振動系統(tǒng)的幾何特性得到了較好地保持。

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Dynamic analyzing of thin damping circular plate under eccentric impact
load by generalized multi-symplectic method

HANAi-hong1,HUWei-peng2, 3,DENGZi-chen2, 3

(1.North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450008,China;2.Department of
Engineering Mechanics, Northwestern Polytechnic University, Xi′an 710072, China;3.State Key Laboratory of
Structural Analysis of Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Symmetry breaking is one of important properties of the complex dynamic system that affect the nonlinear characteristics of the dynamic systems. Focusing on the two typical symmetry case, including the asymmetry of the load as well as the dissipation effect, the vibration problem on the thin damping circular plate under the eccentric impact load is investigated by the generalized multi-symplectic method. Firstly, the control equation of the plate is established and the generalized multi-symplectic form is deduced for the control equation. And then, the errors of the conservation laws are given in the formwork of the generalized multi-symplectic theory. Finally, a generalized multi-symplectic scheme is constructed to simulate the vibration of the plate and the effects from the symmetry breaking are analyzed from the simulation results. The results obtained in this paper lay the foundation of the investigation on the relationship between the symmetry and the dissipation effect.

thin circular plate; eccentric impact load; Hamilton; generalized multi-symplectic; symmetry

2014-11-06；

2015-09-25

國家自然科學(xué)基金資助項目(11372252,11372253,11672241)；航空科學(xué)基金資助項目(2013ZB53020)；大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室開放基金資助項目(GZ1312)

TB122; O241.82

1004-4523(2016)06-0971-05

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.004

韓愛紅 (1982—),女,碩士，講師。電話:15838045656;E-mail:hanaihong@ncwu.edu.cn