張 昱， 朱 彤， 周 晶

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 大連 116024)

對(duì)功率譜密度傳遞率作用原理的探究①

張 昱， 朱 彤， 周 晶

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 大連 116024)

功率譜密度傳遞率(Power Spectrum Density Transmissibility，PSDT)是一種描述系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜之間關(guān)系的(復(fù))頻域函數(shù)，主要被用于作為運(yùn)行模態(tài)分析的初始數(shù)據(jù)。與傳統(tǒng)的方法不同，基于PSDT的運(yùn)行模態(tài)分析具有不受激勵(lì)中有色成分影響的特點(diǎn)，因此具有廣闊的發(fā)展和應(yīng)用前景。然而，現(xiàn)有的對(duì)PSDT的研究基本上集中于應(yīng)用層面，關(guān)于PSDT的概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)問題的討論非常少見。從系統(tǒng)的角度出發(fā)，深入地討論了PSDT與模態(tài)參數(shù)和激勵(lì)中有色成分的關(guān)系，分析了不同荷載條件下能夠?qū)SDT產(chǎn)生影響的因素，探究了PSDT作為運(yùn)行模態(tài)分析的初始數(shù)據(jù)的作用原理。數(shù)值和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果證明了所得到的結(jié)論的正確性。

傳遞率； 隨機(jī)激勵(lì); 功率譜密度傳遞率； 運(yùn)行模態(tài)分析； 基于傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析

引 言

傳遞率是一類描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中關(guān)于不同(時(shí)間、空間等)位置處相同類型的量之間傳遞關(guān)系的函數(shù)，廣泛存在于數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析問題中，依據(jù)所描述的量的類型可以將傳遞率分為力傳遞率和運(yùn)動(dòng)傳遞率；而依據(jù)系統(tǒng)類型則可以將傳遞率分為單自由度系統(tǒng)傳遞率和多自由度系統(tǒng)傳遞率。

現(xiàn)有的定義于多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)傳遞率主要有三種，分別是多參考傳遞率(Multi-/poly- reference Transmissibility Function，MTF/PTF)[1-3]，單參考傳遞率(Single reference Transmissibility Function，STF)[4-6]和功率譜密度傳遞率[7]。其中，MTF由單自由度系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)傳遞率的概念延伸而來，描述了多自由度系統(tǒng)中兩組不相交的自由度集合的響應(yīng)之間的關(guān)系；STF的概念由單激勵(lì)條件下的MTF演化得到，描述了多自由度系統(tǒng)中兩個(gè)自由度的響應(yīng)之間的關(guān)系；PSDT則是由Yan和Ren[7]于2012年在STF概念的基礎(chǔ)上引申得到的，描述了多自由度系統(tǒng)中兩個(gè)響應(yīng)功率譜密度(Power Spectrum Density，PSD)之間的關(guān)系。上述的三類傳遞率中，MTF被應(yīng)用于響應(yīng)預(yù)測(cè)(估計(jì))[8-9]、損傷識(shí)別[10]、運(yùn)行模態(tài)分析(Operational Modal Analysis，OMA)[11-12]等問題中，相對(duì)廣泛的應(yīng)用也使這類傳遞率得到了更為系統(tǒng)的研究； STF和PSDT目前則主要被用作為OMA的初始數(shù)據(jù)[6,13-15]，相關(guān)的研究尚處于起步階段。一般，將基于MTF，STF和PSDT實(shí)現(xiàn)的OMA統(tǒng)稱為基于傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析(Transmissibility-based OMA，TOMA)，將基于這三種傳遞率的TOMA分別稱作基于多參考傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析(PTM-based TOMA，pTOMA)，基于單參考傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析(STF-based TOMA，sTOMA)和基于功率譜密度傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析(PSDT-based TOMA，PSDTOMA)。實(shí)際的應(yīng)用結(jié)果表明[4, 14]，TOMA技術(shù)普遍具有不受激勵(lì)中有色成分干擾的特點(diǎn)，這也是其相對(duì)于傳統(tǒng)OMA技術(shù)最主要的優(yōu)勢(shì)。

為了能夠更好地通過TOMA技術(shù)解決實(shí)際問題，系統(tǒng)而深入地了解各類傳遞率的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法等顯然是必要的。遵循這樣的思路，筆者近年來陸續(xù)針對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行了一些研究[16-17]。本文作為這一系列研究的重要組成部分，試圖從系統(tǒng)的角度探究通過PSDT識(shí)別模態(tài)參數(shù)的原理，內(nèi)容由如下的部分組成：首先，給出一般多輸入多輸出系統(tǒng)的模型和兩種等效模型，以及PSDT關(guān)于這些模型的表達(dá)式；之后，以前述模型和表達(dá)式為基礎(chǔ)，討論P(yáng)SDT與模態(tài)參數(shù)和激勵(lì)中有色成分在不同的荷載條件下的關(guān)系，分析在各種條件下能夠?qū)SDT產(chǎn)生影響的因素，探究PSDT作為TOMA的初始數(shù)據(jù)的作用原理；在第3節(jié)中，分別基于一個(gè)6自由度質(zhì)量-彈簧數(shù)值模型和一個(gè)實(shí)際的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證；最后，對(duì)文中的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。

1 功率譜密度傳遞率

功率譜密度傳遞率(PSDT)定義為如下的復(fù)頻域功率譜密度函數(shù)的比值[15]

(1)

分別稱自由度i，j和p為原點(diǎn)(local)、參考(reference)和傳遞輸出(transferring output)自由度；Syiyp(s)和Syjyp(s)分別是i和j的響應(yīng)與p的響應(yīng)間的互功率譜密度。

圖1 Ni輸入No輸出系統(tǒng)Fig.1 Ni-input No-output system

Ni輸入No輸出系統(tǒng)可以一般地表示為如圖 1所示的形式，其中F1(s),F2(s),…,FNi(s)是Ni個(gè)激勵(lì)(力)的Laplace變換；Y1(s),Y2(s),…,YNo(s)是Ni個(gè)響應(yīng)(位移)的Laplace變換；H(s)是作為研究對(duì)象的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，規(guī)模為No×Ni，可以表示為如下的有理分式和部分分式的形式[18]

(2)

式中N(s)是規(guī)模為No×Ni的分子矩陣多項(xiàng)式；Nm是系統(tǒng)模態(tài)的數(shù)量；λm是第m階模態(tài)的極點(diǎn)，Rm，ψm和lT分別是與之對(duì)應(yīng)的留數(shù)矩陣，振型向量和模態(tài)參與向量。根據(jù)留數(shù)定理，有如下關(guān)系

(3)

根據(jù)Wiener-Khintchine定理[19]，容易證明全部響應(yīng)的功率譜矩陣Syy(s)可以表示為如下的形式

Syy(s)=H(s)Sff(s)H(-s)T

(4)

式中Sff(s)是規(guī)模為Ni×Ni的激勵(lì)功率譜密度矩陣。結(jié)合式(1)和(4)，得到如下的PSDT關(guān)于傳遞函數(shù)和輸入信息的表達(dá)式

(5)

式中Hi(s)，Hj(s)和Hp(s)分別是由H(s)中與響應(yīng)自由度i，j和p對(duì)應(yīng)的行中的元素組成的行向量。

在經(jīng)典控制理論中[20]，任意信號(hào)F(s)均可以看作是理想白噪聲通過某一系統(tǒng)(輸入濾波器)后的輸出，因此圖 1中作用于自由度k(k=1,2,…,No)的輸入Fk(s)可以表示為

Fk(s)=Gk(s)·E,k=1,2,…,No

(6)

式中E為一個(gè)反映白噪聲強(qiáng)度的復(fù)值常數(shù)；Gk(s)為對(duì)應(yīng)于Fk(s)的輸入濾波器的傳遞函數(shù)。與式(2)類似，將Gk(s)的極點(diǎn)數(shù)量記作Nk,r，則Gk(s)可以表示為

(7)

式中μk,r為輸入濾波器Gk(s)的極點(diǎn)；Bk(s)為關(guān)于s的多項(xiàng)式；留數(shù)χk,r的表達(dá)式為

(8)

顯然，在式(6)中Fk(s)的特征完全由Gk(s)決定，F(xiàn)k(s)中的有色成分與Gk(s)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)。

圖2 基于輸入濾波器的Ni輸入No輸出系統(tǒng)等效模型Fig.2 Input filter-based equivalent model of Ni-input No-output system

基于上述理論，圖 1中的Ni輸入No輸出系統(tǒng)可以等效地表示為如圖 2所示的包含輸入濾波器的模型。其中，E1,E2,…,ENi是Ni個(gè)不全為零的復(fù)常數(shù)；G1(s),G2(s),…,GNi(s)分別是與F1(s),F2(s),…,FNi(s)對(duì)應(yīng)的輸入濾波器的傳遞函數(shù)。圖 2中等效模型的輸入-輸出關(guān)系可以公式化地表述為

Y(s)=H(s)F(s)=H(s)G(s)·E

(9)

其中，G(s)是以G1(s),G2(s),…,GNi(s)為對(duì)角元素的復(fù)對(duì)角矩陣，即

G(s) =diag(G1(s),G2(s),…,GNi(s))

(10)

E是由E1,E2,…,ENi組成的復(fù)常向量，定義為

(11)

圖3 白噪聲驅(qū)動(dòng)的Ni輸入No輸出系統(tǒng)等效模型Fig.3 White noise-driven equivalent model of Ni-input No-output system

圖2中的等效系統(tǒng)由兩部分組成，一部分由Ni個(gè)濾波器G1,G2,…,GNi組成，另一部分是作為研究對(duì)象的系統(tǒng)H(s)。如果將這兩部分看作一個(gè)整體，將實(shí)際的外激勵(lì)F1(s),F2(s),…,FNi(s)看作是受到理想白噪聲激勵(lì)的系統(tǒng)內(nèi)部不同部分之間的內(nèi)力，則整個(gè)系統(tǒng)可以進(jìn)一步等效為如圖 3所示的白噪聲驅(qū)動(dòng)的模型，其輸入-輸出關(guān)系為

(12)

(13)

基于圖 3中的等效模型，可以將式(5)改寫為如下的的形式

(14)

至此，已經(jīng)得到了PSDT的三種形式的表述，分別是基于響應(yīng)信息的表述(式(1))，基于實(shí)際的系統(tǒng)和輸入信息的表述(式(5))，和基于白噪聲激勵(lì)的等效系統(tǒng)信息的表述(式(14))。下面將以這些表達(dá)式為基礎(chǔ)，探究PSDT在運(yùn)行模態(tài)參數(shù)分析問題中的作用原理。

2 功率譜密度傳遞率的作用原理

2．1 單激勵(lì)的情況

如果在圖 1的系統(tǒng)H(s)中僅作用于自由度u的激勵(lì)Fu(s)不為零，則相當(dāng)于圖 2的等效系統(tǒng)中除Gu(s)外的Ni-1個(gè)輸入濾波器的傳遞函數(shù)恒為零，即

(15)

(16)

直接將式(16)及其關(guān)于自由度j和p的版本代入式(14)中，得到

(17)

式中SEuEu是白噪聲Eu的自功率譜。式(17)表明，在有效激勵(lì)頻段內(nèi)，如果系統(tǒng)中僅受到單個(gè)激勵(lì)的作用，則自由度i，j之間的PSDT的值僅與激勵(lì)作用的位置u有關(guān)，與激勵(lì)的強(qiáng)度、在復(fù)頻域中的分布特征、以及傳遞輸出自由度p的選取方式無關(guān)。

根據(jù)式(17)和(3)，在s→λm時(shí)有

(18)

2．2 多激勵(lì)，激勵(lì)完全相關(guān)的情況

在多激勵(lì)條件下，如果圖 1中的外激勵(lì)F1(s),F2(s),…,FNi(s)完全相關(guān)，則相當(dāng)于圖 2中的Ni個(gè)輸入濾波器完全相同，即

G1(s)=G2(s)=GNi(s)=G(s)

(19)

此時(shí)式(10)中的矩陣G(s)擁有完全相等的對(duì)角元素相等，因此有

G(s) =diag(G(s),G(s),…,G(s)) =G(s)·INi

(20)

(21)

直接將式(21)及其關(guān)于自由度j和p的版本代入式(14)中，得到

(22)

考慮到理想白噪聲的功率譜矩陣SEE是一個(gè)秩一的正定常對(duì)稱矩陣，可以分解為某個(gè)元素非負(fù)的常向量(這里記作σ)與其自身外積的形式，所以式(22)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(23)

式(23)表明在有效激勵(lì)頻段內(nèi)，如果系統(tǒng)受到多個(gè)激勵(lì)并且激勵(lì)完全相關(guān)，自由度i，j之間的PSDT的值僅與激勵(lì)作用的位置和這些激勵(lì)的相對(duì)強(qiáng)度有關(guān)，與參考輸出自由度p的選取，以及激勵(lì)在復(fù)頻域中的分布特征無關(guān)。另外，可以證明[17]如果用隨機(jī)序列近似理想白噪聲，則σ中的元素實(shí)際上是各隨機(jī)激勵(lì)的標(biāo)準(zhǔn)差。

如果G(s)的極點(diǎn)與H(s)的極點(diǎn)不重合，即μr≠λm，則根據(jù)式(21)和式(3)，在s→λm時(shí)有

(24)

將式(24)及其關(guān)于自由度j的版本代入式(14)中，得到

(25)

當(dāng)s→μr時(shí)，根據(jù)式(21)和(8)有

(26)

將式(26)及其關(guān)于自由度j和p的版本代入式(14)中，得到

(27)

式(27)在一般情況下難以再進(jìn)行簡(jiǎn)化了，因此在s=μr處關(guān)于不同傳遞輸出自由度p的PSDT一般不會(huì)有相同的值。

如果G(s)具有與H(s)的極點(diǎn)重合的極點(diǎn)，即λm=μr，則當(dāng)s→λm,μr時(shí)有

(28)

將式(28)及其關(guān)于自由度j的版本代入式(14)中，得到

(29)

式(29)和(25)的結(jié)果是一致的，這表明在多激勵(lì)，但激勵(lì)完全相關(guān)的情況下，PSDT在系統(tǒng)極點(diǎn)λm處的值等于系統(tǒng)H(s)的振型在自由度i，j處分量的比值，且這一性質(zhì)與圖 1中系統(tǒng)的激勵(lì)的復(fù)頻域分布特征無關(guān)。

2．3 多激勵(lì)，激勵(lì)不完全相關(guān)的情況

(30)

如果Gk(s)的極點(diǎn)與H(s)的極點(diǎn)不重合，即μk,r≠λm，則根據(jù)式(30)和(3)，在s→λm時(shí)有

(31)

ψm,i〈lm,1G1(λm)lm,2G2(λm) …lm,NiGNi(λm)〉

(32)

將式(32)及其關(guān)于自由度j的版本代入式(14)中，得到

(33)

當(dāng)s→μk,r時(shí)，根據(jù)式(30)和(8)有

〈Hi,1(μk,r)G1(μk,r) …Hi,2(μk,r)·χk,r…

Hi,Ni(μk,r)GNi(μk,r)〉

(34)

將式(34)及其關(guān)于自由度j的版本代入式(14)中，得到

(35)

式中 矩陣χ是對(duì)角元素為G1(μk,r),…,χk,r,…,GNi(μk,r)的對(duì)角矩陣。式(35)一般難以進(jìn)一步簡(jiǎn)化了，所以在輸入濾波器Gk(s)的極點(diǎn)，即實(shí)際激勵(lì)Fk(s)的有色成分的位置，關(guān)于不同傳遞輸出自由度p的PSDT的值一般不擁有相同的值。

如果Gk(s)具有與H(s)的極點(diǎn)重合的極點(diǎn)，即λm=μk,r，則當(dāng)s→λm,μr時(shí)有

(36)

將式(36)及其關(guān)于自由度j的版本代入式(14)中，得到

(37)

式(37)和(33)中再次出現(xiàn)了一致的結(jié)果。因此，在一般多激勵(lì)條件下，PSDT在系統(tǒng)極點(diǎn)λm處的值等于系統(tǒng)H(s)的振型在自由度i,j處分量的比值，這一性質(zhì)與圖 1中系統(tǒng)的激勵(lì)的復(fù)頻域分布特征無關(guān)。

綜上所述，可以得到如下結(jié)論：

(1) 如果系統(tǒng)僅受到單個(gè)激勵(lì)的作用，PSDT的值與傳遞輸出自由度的選擇、激勵(lì)的強(qiáng)度和在有效激勵(lì)區(qū)域內(nèi)的復(fù)頻域分布特征無關(guān)，僅受到激勵(lì)作用位置的影響。

(2) 在有效激勵(lì)頻段內(nèi)，如果系統(tǒng)受到多個(gè)激勵(lì)的作用，但激勵(lì)完全相關(guān)，PSDT的值會(huì)同時(shí)受到激勵(lì)的作用位置和作用于不同自由度的激勵(lì)之間的相對(duì)強(qiáng)度的影響，與傳遞輸出自由度的選擇，以及激勵(lì)在有效激勵(lì)區(qū)域內(nèi)的復(fù)頻域分布特征無關(guān)。

(3) 在多激勵(lì)，且激勵(lì)不完全相關(guān)的情況下，PSDT的值同時(shí)由傳遞輸出自由度的選擇、激勵(lì)作用的位置、激勵(lì)的強(qiáng)度及復(fù)頻域分布特征決定。

(4) PSDT在系統(tǒng)極點(diǎn)處的值僅與原點(diǎn)和參考自由度有關(guān)，與荷載條件和傳遞輸出自由度的選擇無關(guān)。

在上述的結(jié)論中，結(jié)論(1)和(2)可以看做是結(jié)論(3)的特例，結(jié)論(4)則是基于功率譜密度傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析技術(shù)(PSDTOMA)的理論基礎(chǔ)。必須說明的是，本文中的分析基于Laplace域輸入-輸出關(guān)系(式(9))展開，所以隱含了系統(tǒng)初始速度、初始位移均為零的約束條件，前述的結(jié)論一般在零初始條件下有效。

由于在系統(tǒng)極點(diǎn)λm處PSDT的值總是等于對(duì)應(yīng)的振型分量的比值，而在激勵(lì)中的有色成分，即圖 2中的濾波器的極點(diǎn)μk,r處卻沒有相似的性質(zhì)，所以在有效激勵(lì)頻段內(nèi)無需對(duì)激勵(lì)的(復(fù))頻域分布特征和各態(tài)歷經(jīng)性加以約束，如果關(guān)于相同原點(diǎn)-參考自由度組合的PSDT不完全重合，就可以根據(jù)這些PSDT的交點(diǎn)確定系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，從而獲取系統(tǒng)的共振頻率和模態(tài)阻尼比信息。進(jìn)一步的，無論P(yáng)SDT是否重合，將系統(tǒng)極點(diǎn)處關(guān)于相同參考自由度j，不同原點(diǎn)自由度i的PSDT組成向量，并進(jìn)行歸一化即可得到系統(tǒng)的歸一化振型，這可以公式化地表述為

(38)

考慮到式(38)描述的關(guān)系與傳遞輸出自由度p無關(guān)，這里省略了PSDT的上角標(biāo)。因此，PSDT可以用作為運(yùn)行模態(tài)分析的初始數(shù)據(jù)，根據(jù)響應(yīng)信息識(shí)別模態(tài)參數(shù)。

圖4 6自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)Fig.4 6-DOF mass-spring system

3 對(duì)結(jié)論的驗(yàn)證

3．1 數(shù)值驗(yàn)證

下面首先通過圖4中的6自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)驗(yàn)證前面得到的結(jié)論。系統(tǒng)中各自由度的質(zhì)量(單位：kg)分別為m1=7，m2=7，m3=4，m4=3，m5=6，m6=8；彈簧的彈性模量(單位：105N/m)分別為k1=1，k2=1，k3=4，k4=2，k5=5，k6=7，k7=8，k8=3，k9=6，k10=3，k11=5；6個(gè)模態(tài)的特征頻率分別為11.734，47.971，64.332，84.993，120.538和131.621 Hz。

先后對(duì)系統(tǒng)施加如表 1所示的14組工況。其中，激勵(lì)E_1，E_2是兩個(gè)互不相關(guān)的0～200 Hz隨機(jī)信號(hào)，標(biāo)準(zhǔn)差均為1；E_3通過將E_1的幅值擴(kuò)大1倍而得到，因此與E_1完全相關(guān)；E_4和E_5分別通過在兩條標(biāo)準(zhǔn)差為1的0～200 Hz獨(dú)立隨機(jī)信號(hào)中添加幅值為0.05，頻率為64.3(近似為第3階特征頻率)和30 Hz的正弦信號(hào)而得到?？梢钥吹剑?1中的荷載條件涵蓋了前面討論中的所有情況。

在荷載條件case_1～case_4，以及case_7～case_9作用下，以自由度2為原點(diǎn)自由度，自由度6為參考自由度所得到的部分PSDT的幅值分別如圖 5和 6所示?？梢钥吹?，在單激勵(lì)條件下傳遞輸出自由度p，激勵(lì)的強(qiáng)度和(復(fù))頻域分布特征未對(duì)PSDT的值造成影響，相同原點(diǎn)-參考自由度組合之間的PSDT的值完全一致；同樣的情況也出現(xiàn)在激勵(lì)完全相關(guān)且作用于不同自由度的激勵(lì)的相對(duì)強(qiáng)度不變的荷載條件下。但是，單激勵(lì)條件下如果改變激勵(lì)作用的位置，例如在case_1，case_5和case_6中的情況；或者在激勵(lì)完全相關(guān)的條件下改變作用于不同自由度的激勵(lì)之間的相對(duì)強(qiáng)度，例如在case_7，case_10和case_11中的情況，那么具有相同原點(diǎn)-參考-傳遞輸出自由度組合的PSDT將會(huì)發(fā)生顯著的變化，如圖 7和 8所示。觀察圖 7和 8還可以看到，雖然關(guān)于不同荷載條件的PSDT的值不再相同，但這些PSDT在系統(tǒng)特征頻率處仍然趨于相同的值。

表1 數(shù)值驗(yàn)證所用荷載條件

圖5 數(shù)值驗(yàn)證中case_1～case_4條件下的psdt2,6(ω)Fig.5 psdt2,6(ω) in case_1～case_4 for simulation

圖6 數(shù)值驗(yàn)證中case_7～case_9條件下的psdt2,6(ω)Fig.6 psdt2,6(ω) in case_7～case_9 for simulation

圖7 數(shù)值驗(yàn)證中case_1，case_5和case_6條件下的Fig.7

圖8 數(shù)值驗(yàn)證中case_7，case_10和case_11條件下的Fig.8

圖9 數(shù)值驗(yàn)證中case_12條件下的psdt2,6(ω)Fig.9 psdt2,6(ω) in case_12 for simulation

在case_12中，關(guān)于相同原點(diǎn)-參考自由度組合，不同傳遞輸出自由度的PSDT的幅值如圖 9所示?？梢钥吹?，雖然在case_12中只是將case_1中作用于自由度3的激勵(lì)替換為與E_1互不相關(guān)的E_2，其他條件均未發(fā)生變化，但是PSDT的值已經(jīng)不再與傳遞輸出自由度p的選擇無關(guān)了，關(guān)于不同的p的PSDT之間存在顯著的差異。與圖 7和 8中的情況相同，圖 9中的PSDT在系統(tǒng)特征頻率處也趨于相同的值，如圖 10中所示。在case_13中，將case_12中作用于自由度1的純隨機(jī)激勵(lì)替換E_1為帶有64.3 Hz(接近于第3階特征頻率)諧分量的激勵(lì)E_4，新加入的有色成分雖然使PSDT整體發(fā)生了變化，但未對(duì)PSDT在特征頻率處的值造成影響，如圖 11所示。在case_14中，將case_11中作用于自由度1的純隨機(jī)激勵(lì)E_1替換為帶有30 Hz諧分量的激勵(lì)E_5，所得到的PSDT在30 Hz附近的幅值如圖 12所示?？梢钥吹?，激勵(lì)中的諧分量雖然對(duì)PSDT產(chǎn)生了的影響，但是關(guān)于不同傳遞輸出自由度p的PSDT在諧分量頻率處未出現(xiàn)與在系統(tǒng)特征頻率處相似的趨于相同的值的情況。

圖10 數(shù)值驗(yàn)證中case_12條件下的psdt2,6(ω)Fig.10 psdt2,6(ω) in case_12 for simulation

圖11 數(shù)值驗(yàn)證中case_13條件下的psdt2,6(ω)Fig.11 psdt2,6(ω) in case_13 for simulation

圖12 數(shù)值驗(yàn)證中case_14條件下的psdt2,6(ω)Fig.12 psdt2,6(ω) in case_14 for simulation

進(jìn)一步的，定義函數(shù)Θi,j(ω)為

(39)

根據(jù)前面的討論，在多激勵(lì)且激勵(lì)不完全相關(guān)的情況下，由于關(guān)于相同原點(diǎn)-參考自由度組合，不同傳遞輸出自由度的PSDT在系統(tǒng)極點(diǎn)處趨于相同的值，所以Θi,j(ω)極大值出現(xiàn)的位置應(yīng)該與系統(tǒng)特征頻率相對(duì)應(yīng)。case_14條件下Θ2,6(ω)的圖像如圖 13所示，可以看到，Θ2,6(ω)的峰的位置與系統(tǒng)特征頻率完全一致，激勵(lì)中30 Hz的諧分量沒有對(duì)Θ2,6(ω)造成顯著的影響，這說明通過PSDT檢測(cè)系統(tǒng)極點(diǎn)的位置所得到的結(jié)果不會(huì)受到激勵(lì)中有色成分的影響。實(shí)際上，式(39)中的函數(shù)Θi,j(ω)與文獻(xiàn)[7]中所用的基于PSDT的峰值拾取法的思路在本質(zhì)上是相同的。

圖13 數(shù)值驗(yàn)證中case_14條件下的Θ2,6(ω)Fig.13 Θ2,6(ω) in case_14 for simulation

3．2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

下面基于如圖 14所示的鋼質(zhì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)驗(yàn)證本文中的結(jié)論。結(jié)構(gòu)中存在兩個(gè)可能受到激振器激勵(lì)的點(diǎn)，分別記作EP_1和EP_2；結(jié)構(gòu)的響應(yīng)通過布設(shè)于梁下底面的5個(gè)加速度計(jì)測(cè)量得到，測(cè)點(diǎn)依次記作MP_1～MP_5。在正式實(shí)驗(yàn)之前，預(yù)先通過錘擊實(shí)驗(yàn)獲取了梁的模態(tài)參數(shù)，在0～500 Hz頻段共內(nèi)存在三階模態(tài)，各階模態(tài)的共振頻率分別為76，208和396.3 Hz。

依次對(duì)結(jié)構(gòu)施加如表 2所示的荷載條件。在表 2中， E_1和E_2是互不相關(guān)的隨機(jī)激勵(lì)，有效激勵(lì)頻段均為0～500 Hz；E_3和E_4是正弦激勵(lì)，頻率分別為76和120 Hz；隨機(jī)激勵(lì)的標(biāo)準(zhǔn)差均為1，正弦激勵(lì)的幅值均為0.2?？紤]到通過多個(gè)激振器輸入完全相關(guān)的隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，激振器輸出的不同步可能會(huì)對(duì)最終的結(jié)果造成影響，所以在本文的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中不涉及多輸入，且輸入完全相關(guān)的情況。多輸入，且輸入完全相關(guān)的荷載條件常出現(xiàn)于振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)中，PSDT在這類實(shí)驗(yàn)中的表現(xiàn)可見文獻(xiàn)[17]。

表2 實(shí)驗(yàn)所用荷載條件

圖15 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中case_1～case_3作用下的部分psdt2,4(ω)Fig.15 Some psdt2,4(ω) in case_1～case_3 for experiment

單激勵(lì)條件下(case_1～case_3)的部分PSDT如圖 15所示?？梢钥吹?，關(guān)于相同原點(diǎn)-參考自由度組合的PSDT的幅值未受到傳遞輸出自由度p的選取和激勵(lì)的頻域分布特征的影響，在大多數(shù)頻率處幾乎完全一致。在圖 15中的較低頻段處，PSDT出現(xiàn)了顯著的震蕩，與理論和數(shù)值驗(yàn)證的結(jié)果存在差異。這種現(xiàn)象應(yīng)該是由實(shí)測(cè)信號(hào)中存在的基線漂移、趨勢(shì)項(xiàng)和測(cè)量噪聲等干擾以及譜泄漏造成的，與PSDT自身無關(guān)。

不同荷載條件下MP_2和MP_4之間的部分PSDT如圖 16所示，所有的PSDT在結(jié)構(gòu)基頻(76 Hz)處都趨于相同的值，所以可以認(rèn)為case_2和case_6條件下激勵(lì)中的76 Hz諧分量未對(duì)PSDT在該頻率處的值造成影響。case_7作用下的psdt2,4的圖像如圖 17所示，可以看到存在于激勵(lì)中的120 Hz(非共振頻率)諧分量影響了PSDT在該頻率處的值，但是根據(jù)圖 18可知，這些有色成分未對(duì)在式(39)中定義的函數(shù)Θ產(chǎn)生顯著的影響，Θ在三個(gè)共振頻率處均出現(xiàn)了顯著的峰。

圖16 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中的部分psdt2,4(ω)(76 Hz附近)Fig.16 Some psdt2,4(ω) in simulation, adjacent to 76 Hz

圖17 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中case_7作用下的psdt2,4(ω)Fig.17 Psdt2,4(ω) in case_7 for experiment

圖18中Θ2,4(ω)的圖像在360 Hz附近出現(xiàn)了一個(gè)與共振無關(guān)的峰，這是因?yàn)殡m然系統(tǒng)極點(diǎn)是函數(shù)Θ的極點(diǎn)，但函數(shù)Θ的極點(diǎn)卻不一定是系統(tǒng)的極點(diǎn)，所以Θ2,4(ω)的峰并不都與結(jié)構(gòu)的模態(tài)相對(duì)應(yīng)，因此根據(jù)由式定義的函數(shù)Θ識(shí)別模態(tài)參數(shù)時(shí)可能得到虛假的模態(tài)。虛假模態(tài)問題是存在于基于傳遞率的運(yùn)行模態(tài)分析(TOMA)技術(shù)中的一個(gè)重要問題，定義更復(fù)雜的函數(shù)[21]或通過一些特殊的處理[22]可以不同程度地降低這類問題的影響。

圖18 數(shù)值驗(yàn)證中case_7條件下的Θ2,4(ω)Fig.18 Θ2,4(ω) in case_7 for experiment

4 結(jié) 論

本文首先給出了PSDT關(guān)于三種一般多輸入多輸出系統(tǒng)的模型的表達(dá)式，之后基于這些模型和表達(dá)式從系統(tǒng)的角度分析了能夠?qū)SDT的值產(chǎn)生影響的因素，得到的結(jié)果如表 3所示。通過多自由度質(zhì)量-彈簧模型數(shù)值實(shí)驗(yàn)和真實(shí)的簡(jiǎn)支梁實(shí)驗(yàn)得到了一致的結(jié)果，從而證明了本文中結(jié)論的正確性。

表3 功率譜密度傳遞率的影響因素

注：“√”表示該因素對(duì)對(duì)應(yīng)荷載條件下的PSDT有影響，“×”表示沒有影響。

基于前述的結(jié)論，本文中進(jìn)一步探究了功率譜密度傳遞率作為運(yùn)行模態(tài)分析過程的初始數(shù)據(jù)的作用原理。因?yàn)榧词箓鬟f輸出自由度的選擇和荷載條件發(fā)生了變化，在有效激勵(lì)頻段內(nèi)關(guān)于相同原點(diǎn)-參考自由度組合的PSDT在系統(tǒng)極點(diǎn)處的值也仍然會(huì)趨于確定的值，所以在不完全重合的情況下可以根據(jù)這些PSDT確定系統(tǒng)極點(diǎn)的位置。另外，由于 PSDT在系統(tǒng)極點(diǎn)處的值等于振型在原點(diǎn)自由度和參考自由度處的分量的比值，所以在確定系統(tǒng)極點(diǎn)的位置之后，可以直接通過關(guān)于相同原點(diǎn)自由度，不同參考自由度的PSDT得到對(duì)應(yīng)的振型分量，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)行模態(tài)分析。因?yàn)榧?lì)中可能存在的有色成分不會(huì)對(duì)上述過程產(chǎn)生影響，所以理論上將PSDT作為運(yùn)行模態(tài)分析方法的初始數(shù)據(jù)時(shí)，在有效激勵(lì)頻段內(nèi)無需對(duì)激勵(lì)的(復(fù))頻域分布特征和各態(tài)歷經(jīng)性進(jìn)行假設(shè)。

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A study for principle of power spectrum density transmissibility

ZHANGYu,ZHUTong,ZHOUJing

(State Key Lab of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024， China)

Power spectrum density transmissibility (PSDT) is a kind of (complex) frequency domain function proposed in recent years, describes the relationship between power spectra of system responses, and is mainly used as a primary data of operational modal analysis (OMA). Different from traditional OMA techniques, PSDT-based methods are not influenced by colored components in excitations, and that makes it has broad development and application prospects. However, the concept and properties of PSDT have not been discussed carefully and deeply yet. In this paper, the relationships between PSDT and modal parameters and between PSDT and colored components in excitations are discussed base on a couple of system models. Influence factors of PSDT under different load conditions are discussed. The reason and advantage of why PSDT can be used as primary data of operational modal analysis are explored. Finally, the correctness of conclusions is validated through a simulation and an experimental examples.

transmissibility; random excitation; power spectrum density transmissibility; operational modal analysis; transmissibility-based operational modal analysis

2015-09-23；

2016-03-18

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2011CB013702)

TB123; O324

1004-4523(2016)06-0992-11

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.007

張昱(1982—)，男，博士，工程師。電話：(0411)84707470；E-mail：eerd-zyu@dlut.edu.cn