侯永

摘 ? ?要：一組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征可分為兩大類：一類是刻畫該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);另一類是刻畫該組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，包括的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.具體解題時(shí)，必須明確有關(guān)概念和計(jì)算公式以及實(shí)際意義.請(qǐng)看以下歸類解析。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù);數(shù)字特征;解題技巧

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1992-7711（2015）24-001-01

1.直接利用公式進(jìn)行分析

數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的平均數(shù)計(jì)算公式為：x=，方差計(jì)算公式為：s2=[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為：s==

例1 ?對(duì)于一組數(shù)據(jù)zi（i=1，2，3，…n），如果將它們改變?yōu)閦i-c（i=1，2，3，…n）（其中c>0），那么下列結(jié)論正確的是 （ ? ?）.

A.平均數(shù)比原來的少 c，方差比原來的少c2

B.平均數(shù)比原來的少c， 方差與原來的一樣

C.平均數(shù)比原來的多c，方差比原來的多c2

D.平均數(shù)比原來的多 c，方差與原來的一樣

解析：設(shè)一組數(shù)據(jù)zi（i=1，2，3，…n）的平均數(shù)為Z，方差為s2，則一組數(shù)據(jù)zi-c的平均數(shù)為 =-c=z-c，

方差{[（z1-c）-（z-c）]2+[（z2-c）-（z-c）]2+…+[（zn-c）-（z-c）]2]}=[（z1-z）2+（z2-z）2+…（zn-z）2]=s2.

所以，平均數(shù)比原來的少c， 方差與原來的一樣.故選B.

評(píng)注：一般地，若x1，x2，…xn的平均數(shù)是x，方差是s2，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)是ax+b，方差是a2s2.

2. 結(jié)合所給圖形進(jìn)行分析

由于根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖、莖葉圖均可得到具體的數(shù)據(jù)，從而有利于分析數(shù)據(jù)的數(shù)字特征.因此，我們應(yīng)該熟練掌握條形統(tǒng)計(jì)圖和莖葉圖，為解題提供準(zhǔn)確的題設(shè)條件.

例2 ?甲、乙兩位學(xué)生參加省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取10次，并制作得到如下莖葉圖.請(qǐng)根據(jù)莖葉圖回答如下問題：

甲 ? ? ? ? ?乙

9 ? 8 ? 5 ? 7 ? 5 ? 9

8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 8 ? 0 ? 0 ? 3 ? 5

5 ? 5 ? 3 ? 9 ? 0 ? 1 ? 2 ? 5

（Ⅰ）指出甲成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)和極差;

（Ⅱ）從平均數(shù)與方差角度考慮，如果要從中選派一人參加省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，那么你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加比較合適？請(qǐng)說明理由。

解析：（Ⅰ）由莖葉圖可知甲的成績(jī)分別為75，78，79，81，82，84，88，93，95，95，所以甲成績(jī)的眾數(shù)為95，中位數(shù)為，極差為95-75=20.

（Ⅱ）派乙參賽比較合適.理由如下：

先分別計(jì)算甲、乙成績(jī)的平均值：

x甲=（3×70+4×80+3×90+5+8+9+1+2+4+8+3+5+5）=85，

x乙=（2×70+4×80+4×90+5+9+0+0+3+5+0+1+2+5）=85

再分別計(jì)算甲、乙成績(jī)的方差：

s2甲=（[（75-85）2+（78-85）2+（79-85）2+（81-85）2+（82-85）2+（84-85）2+（88-85）2+（93-85）2+（95-85）2+（95-85）2]=48.4

s2乙=（[（75-85）2+（79-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（91-85）2+（92-85）2+（95-85）2]=40

于是，有x甲=x乙，s2甲>s2乙.故乙的成績(jī)較穩(wěn)定，派乙參賽比較合適.

評(píng)注：一般地，給出兩組數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果往往是平均數(shù)相等，方差不等，由此即得較小方差對(duì)應(yīng)的人或物的穩(wěn)定性就較好，從而確定選取對(duì)象.本題第二問計(jì)算量較大，需要耐心一點(diǎn)，認(rèn)真一點(diǎn)，同時(shí)也要注意技巧的運(yùn)用（請(qǐng)認(rèn)真體會(huì)解析中關(guān)于“平均數(shù)”的計(jì)算）.

3. 利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略進(jìn)行分析

當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1，x2，…xn中的數(shù)據(jù)均較大時(shí)，先將每個(gè)數(shù)據(jù)都減去一個(gè)與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1'=x1-a，x2'=x2-a，…xn'=xn-a，則易知原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=a+x'，方差為s2=[（x1-x'）2+（x2'-x'）2+…+（xn'-x'）2].

例3 ? 一組數(shù)據(jù)98，103，99，104，100，97，102，105的平均數(shù)是________，方差是________.

解析：每個(gè)數(shù)據(jù)都減去100得到一組新數(shù)據(jù)：-2，3，-1，4，0，-3，2，5，可知其平均數(shù)為1.故易知所求平均數(shù)是100+1=101，方差是[（-2-1）2+（3-1）2+（-1-1）2+（4-1）2+（0-1）2+（-3-1）2+（2-1）2+（5-1）2]=7.5

評(píng)注：本題顯然可以直接利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式加以求解，但運(yùn)算較繁，這里運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略顯得特別簡(jiǎn)單，故值得品味、深思.

總之，關(guān)注解題技巧的探究，有利于積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.