孫宏麗，張少偉，譚天樂

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

0 引言

柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)典型的應(yīng)用是空間可展結(jié)構(gòu)，如伸展臂、太陽帆板、可展天線等。為完成特定任務(wù)，航天器在空間環(huán)境中越來越多地使用了各種柔性外伸結(jié)構(gòu)。為降低發(fā)射成本和增加有效載荷，這些柔性外伸結(jié)構(gòu)有太陽能帆板、熱輻射器、天線、柔性機(jī)械臂等，其共同特點(diǎn)是跨度大、結(jié)構(gòu)質(zhì)量輕、阻尼弱。空間環(huán)境振動輕則會影響航天器的正常工作，重則將導(dǎo)致整個航天器的失穩(wěn)，因此航天器柔性外伸結(jié)構(gòu)的振動控制歷來是航天器設(shè)計(jì)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)［1－3］。

航天器附件展開動力學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了從剛體模型到準(zhǔn)剛體模型，從剛－彈－液耦合模型的演變過程。考慮柔性影響的航天器附件建模方法主要有集中參數(shù)法、假設(shè)模態(tài)法和有限元法三類［4］。研究主要包括展開結(jié)構(gòu)的構(gòu)成機(jī)理、展開運(yùn)動特性、控制等。展開動力學(xué)分析是可展結(jié)構(gòu)研究的重要領(lǐng)域，它可判定機(jī)構(gòu)特性，并給出運(yùn)動力學(xué)特性，對航天器可展附件在軌展開進(jìn)行運(yùn)動分析和動力學(xué)分析的意義重要。太陽能帆板和天線等可展結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是尺寸大、質(zhì)量輕、剛度低，固有頻率很低且十分密集［5］。根據(jù)空間可展機(jī)構(gòu)展開的力學(xué)狀態(tài)，展開運(yùn)動可分為主動態(tài)和被動態(tài)兩種狀態(tài)。主動態(tài)是指可展機(jī)構(gòu)在馬達(dá)或彈簧的作用下展開；被動態(tài)是指可展機(jī)構(gòu)借助航天器的自旋實(shí)現(xiàn)展開。被動態(tài)使用較少，且運(yùn)動狀態(tài)有很大的不可控性，增加了其研究的復(fù)雜性，本文對航天器附件的主動態(tài)展開進(jìn)行了研究。

1 多剛體模型的附件展開動力學(xué)

一衛(wèi)星本體附帶3個太陽能帆板的結(jié)構(gòu)及簡化的鏈?zhǔn)蕉囿w系統(tǒng)模型如圖1所示。實(shí)踐證明太陽能帆板展開時間不長且與衛(wèi)星本體運(yùn)動相互影響小，故多剛體模型近似認(rèn)為在帆板展開過程中衛(wèi)星本體繞質(zhì)心作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，僅需考慮本體的姿態(tài)與帆板運(yùn)動的耦合［6－8］。

圖1 太陽能帆板和多體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Solar arrays structure and multibody system structure

因各剛體間為轉(zhuǎn)動關(guān)鉸或滑移鉸，早期的研究多用D－H參數(shù)法和4×4齊次坐標(biāo)變換理論進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析。文獻(xiàn)［6］用D－H參數(shù)法和4×4齊次坐標(biāo)變換理論對系統(tǒng)進(jìn)行描述，并用Kane方法建立太陽能帆板的展開和碰撞動力學(xué)方程。

定義衛(wèi)星本體的質(zhì)心C0坐標(biāo)系C0－xCyCzC與慣性參考系O－XYZ的齊次變換矩陣為AC，第i個剛體Bi上的連體基對O－XYZ系的齊次變換矩陣Ti＝ACA0A1…Ai，i＝1，2，…，n。此處：A0為衛(wèi)星本體質(zhì)心到本體坐標(biāo)間的變換矩陣；Ai為衛(wèi)星第i個附件至衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的變換矩陣。設(shè)Bi的質(zhì)心在本體坐標(biāo)系的坐標(biāo)列陣為rci＝［xciycizci1］T，是4×1列陣，最后一個數(shù)1表示該坐標(biāo)列陣的比例關(guān)系。則Bi體在慣性參考系中的位置、速度、加速度分別為

式中：ωi為第i個體相對本體的角速度，且ωi＝A0A1…Ai；θj為第j個體關(guān)節(jié)角位移；Ωij＝?ωi／?θi；

此處：uijk＝?2ωi／（?θi·?θk）。Bi的角速度、角加速度矢量分別為

式中：nj－1為第j－1體連體基zj－1軸的單位方向矢量。

式中：i＝0，1，…，n；j＝1，2，…，n＋3。則對圖1的模型，定義

式中：i＝1，2，3。

則系統(tǒng)的Kane動力學(xué)方程為

式中：r＝1，2，…，n＋3；Fr，分別為廣義主動力和廣義慣性力，且

式中：X為廣義是（n＋3）×（n＋3）維的慣量陣；u為（n＋3）×1維的廣義速率陣；f為（n＋3）×1維的廣義力作用項(xiàng)及非線性項(xiàng)陣。

另須考慮展開終了時刻的碰撞。根據(jù)經(jīng)典碰撞理論，碰撞發(fā)生在極短時間間隔Δt內(nèi)物體位置不變，且有限值在Δt內(nèi)積分為0，式（13）在Δt內(nèi)積分為

式中：Kimpact為廣義沖量，且

根據(jù)R／W方法可以寫出圖1所示結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣和通路矩陣分別為

取衛(wèi)星本體質(zhì)心C0為虛鉸，則描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和位置的位形矩陣

式中：b1為本體質(zhì)心至本體外鉸點(diǎn)的位矢；b2，b3，b4分別為剛體1、2、3的內(nèi)鉸點(diǎn)至外鉸點(diǎn)位矢；c1，c2，c3，c4分別為剛體1、2、3、4內(nèi)鉸點(diǎn)至質(zhì)心的位矢。

各剛體Bi的連體基Ci－xiyizi的原點(diǎn)為質(zhì)心Ci，Cizi軸與各鉸的軸平行，各軸單位矢量如圖2所示。整個系統(tǒng)有自由度10個，衛(wèi)星本體的姿態(tài)用歐拉角描述，偏航角ψ，滾轉(zhuǎn)角θ和仰俯角φ；連接架和各帆板的相對位置為α1，α2，α3。衛(wèi)星本體的角速度

式中：p01，p02，p03為單位矢量，其與沿x、y、z方向的單位矢量i0，j0，k0的關(guān)系為

圖2 各坐標(biāo)系關(guān)系Fig.2 Relationship between each body

Bi體的角速度ωi，第1、2、3、4桿件局部坐標(biāo)系中的角速度用ω1，ω2，ω3，ω4可表示為

式中：i＝1，2，3，4。因k0＝k1＝k2＝k3＝k4，則

設(shè)系統(tǒng)角速度列陣、角速度對角陣和各轉(zhuǎn)軸單位矢量為元素的擬對角陣分別為

用廣義速度表示的角速度列陣

［pH］T為轉(zhuǎn)軸矩陣［p］與通路矩陣［T］的乘積，且［pH］T＝［p］［T］。引入對角陣

其元素是轉(zhuǎn)軸矩陣中各轉(zhuǎn)動單位矢量本身的角速度，因此有d［p］／dt＝［ωq］×［p］，則式（22）可表示為

式中：［H］為關(guān)聯(lián)矩陣的逆，且［H］＝［S］T。角加速度列陣

Bi體的外力主矢Fi和對質(zhì)心的主矩Mi都等于0。各鉸的扭簧力偶矩和摩擦力偶矩分別為

式中：Ci為Oi鉸中扭簧的剛度系數(shù)；φi為扭簧的初始扭角；i＝1，2，3，4?？偟膬?nèi)力偶矩Mi＝MCi－Mfi，鉸的內(nèi)力偶矩列陣

各剛體質(zhì)量為元素，可得質(zhì)量列陣（m）和質(zhì)量對角陣［m］分別為

式中：m0為衛(wèi)星本體質(zhì)量；m1，m2，m3，m4分別為太陽支架和三塊太陽帆板的質(zhì)量。則系統(tǒng)總質(zhì)量

定義對稱質(zhì)量陣

衛(wèi)星本體的慣量張量

式中：Ix0x0，Iy0y0，Iz0z0分別為X、Y、Z向的主慣量陣；Ix0y0，Iy0z0，Ix0z0為慣量積。Bi體的中心慣量張量

則系統(tǒng)對衛(wèi)星本體中心的慣量張量為對角陣

研究系統(tǒng)某個剛體的動力學(xué)時，其他剛體的質(zhì)量幾何參數(shù)的影響可用折算慣量張量表示，對整個系統(tǒng)，折算慣量張量可表示為

式中：Js為折算慣量張量；bc為各體質(zhì)心至本體質(zhì)心的距離；［E］為單位張量陣。［Js］是元素均為二階張量的對稱陣，則系統(tǒng)總慣量張量對稱陣

因僅考慮轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)動力學(xué)方程可表示為

式中：［Y］為鉸鏈中阻尼和彈性力偶矩；

將式（32）代入式（27），令

整理可得含7個廣義坐標(biāo)

的二階微分方程組

由于展開過程使用同步機(jī)構(gòu)，α2＝α3＝α4＝2α1，系統(tǒng)增加約束方程3個，若只考慮轉(zhuǎn)動，則系統(tǒng)的自由度降為4。

2 考慮柔性影響的展開動力學(xué)建模

柔性體本質(zhì)上含無限多自由度，為適應(yīng)計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，須對柔性多體系統(tǒng)進(jìn)行離散化，并用必要的截?cái)嘁詼p少自由度數(shù)。離散化有對物理模型的離散和對數(shù)學(xué)模型的離散兩類［8］。模態(tài)綜合技術(shù)與有限元法結(jié)合，成為柔性多體系統(tǒng)離散化和建模的常用方法［9］。用假設(shè)模態(tài)法可將整個柔性體的變形場表示為一組模態(tài)函數(shù)（空間函數(shù)）和模態(tài)坐標(biāo)（時間函數(shù)）的線性組合。通過模態(tài)分析，柔性體上任一點(diǎn)的變形位移列陣可表示為

式中：Φ為振型矩陣；q為模態(tài)坐標(biāo)列陣。用有限元法可得較精確的位移表達(dá)。任意單元Ei內(nèi)任一點(diǎn)p的變形位移為

式中：ρi，hi分別為Bi體的密度和厚度；，ap分別為點(diǎn)p相對慣性參考系O－XYZ的速度和加速度。

Bi體的廣義慣性力和廣義主動力列向量

Bi體的廣義慣性力和結(jié)構(gòu)彈性所對應(yīng)的廣義主動力

根據(jù)Kane方程，有

3 結(jié)束語

本文對對航天器附件的主動態(tài)展開進(jìn)行了研究。基于柔性多體動力學(xué)理論，物理模型離散化采用有限元方法，用Kane方法建立柔性航天器可展開動力學(xué)模型。研究為一般構(gòu)型剛?cè)狁詈虾教炱鞯慕Ｌ峁┝藚⒖迹矠楦呔群教炱鲃恿W(xué)快速自動生成模型提供了一種思路。

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