謝朋朋，黃 騰，劉 陽

（河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210098）

將幾種單一預(yù)測模型進(jìn)行有效的組合，可以綜合利用不同預(yù)測模型的優(yōu)勢，從而構(gòu)成具有較高預(yù)測精度的組合預(yù)測模型。變權(quán)組合預(yù)測模型是提高預(yù)測精度、增強(qiáng)預(yù)測模型適用性的有效途徑。本文將線性回歸預(yù)測模型和灰色模型GM（1，1）進(jìn)行變權(quán)組合，結(jié)合某大壩沉降監(jiān)測實(shí)例來進(jìn)行大壩位移規(guī)律的擬合和預(yù)測。

1 變權(quán)組合預(yù)測模型的建立

變權(quán)組合預(yù)測模型建立的基本思路，首先根據(jù)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)建立樣本點(diǎn)的組合優(yōu)化模型，根據(jù)某種最優(yōu)化原則解算各單一模型在樣本點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)，然后由這些權(quán)系數(shù)確定各預(yù)測模型在預(yù)測時(shí)點(diǎn)的權(quán)系數(shù)，從而構(gòu)造出變權(quán)組合預(yù)測模型。

記eit為第i個預(yù)測模型在第t期的預(yù)測誤差，則

其中，Yt表示第t期的實(shí)測值。記et為組合預(yù)測模型在第t期的預(yù)測誤差，則

變權(quán)組合預(yù)測模型建立的關(guān)鍵是組合權(quán)重系數(shù)的確定，基本原則是保證樣本點(diǎn)處的組合預(yù)測誤差最小。確定變權(quán)系數(shù)的方法有3種：①以相對誤差的最大值達(dá)到最小為目標(biāo)確定最佳變權(quán)系數(shù)；②以絕對誤差和達(dá)到最小為目標(biāo)確定最佳的變權(quán)系數(shù)；③以誤差平方和達(dá)到最小為目標(biāo)函數(shù)確定最佳變權(quán)系數(shù)［1］。本文采用第三種方法即以組合預(yù)測模型的預(yù)測誤差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)來得到組合預(yù)測優(yōu)化模型：

對上述模型進(jìn)行求解，便可得到各預(yù)測模型在樣本點(diǎn)處的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)ωit。

由優(yōu)化模型可以得到預(yù)測模型在樣本點(diǎn)處的最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，據(jù)此得到組合模型在預(yù)測時(shí)點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)ωi，m＋j（i ＝ 1，2，…，n；j ＝ 1，2，…，n）。目前，存在多種方法可以確定變權(quán)組合模型在預(yù)測時(shí)點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)，常用的方法主要有兩種［2］：

由計(jì)算過程可知，ωi，m＋j滿足限制條件ωi，m＋j≥此種方法適用于樣本量較少，或者各方法在時(shí)點(diǎn)序列上的權(quán)系數(shù)無明顯規(guī)律性的情況。

2）利用回歸法擬合權(quán)系數(shù)函數(shù)W（t），如取W（t）＝b0＋b1t，然后確定各預(yù)測時(shí)點(diǎn)處的組合預(yù)測權(quán)系數(shù)［3］。

第一步：記第i種預(yù)測模型在各樣本點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)：ωi1，ωi2，…，ωim；

第二步：以ωi1，ωi2，…，ωim為樣本數(shù)據(jù)，采用回歸模型求取權(quán)系數(shù)函數(shù)Wi（t）；

第三步：利用權(quán)系數(shù)函數(shù)Wi（t），計(jì)算t＝m＋j時(shí)各預(yù)測方法的組合權(quán)系數(shù)函數(shù)值Wi（m＋j）；

2 實(shí)例分析

本文選取某大壩12號點(diǎn)2012年1月～2013年6月的監(jiān)測數(shù)據(jù)，以2012年1月～2012年10月的監(jiān)測數(shù)據(jù)為樣本（見表1）建立模型并預(yù)測沉降數(shù)值，使用2012年10月～2013年6月的實(shí)測數(shù)據(jù)來進(jìn)行模型精度的檢驗(yàn)。在建模之前，采用文獻(xiàn)［4］敘述的方法均已將非等時(shí)距序列轉(zhuǎn)化為等時(shí)距序列。

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)分別建立線性回歸模型和灰色模型 GM（1，1），得到

從而得到線性回歸模型和灰色模型GM（1，1）在樣本點(diǎn)處的反向預(yù)測值，如表2所示。

表1 大壩壩內(nèi)12號點(diǎn)沉降監(jiān)測實(shí)測數(shù)據(jù)

表2 模型反向預(yù)測值

由此，可得到線性回歸模型和灰色模型GM（1，1）在樣本點(diǎn)處的預(yù)測誤差，見表3。

表3 預(yù)測模型在樣本點(diǎn)處的預(yù)測誤差

由于觀測數(shù)據(jù)量較少，因此，在確定樣本點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)時(shí)，采用式（1）進(jìn)行求解，由此便可得到各預(yù)測模型在預(yù)測時(shí)點(diǎn)的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)，如表4所示。

表4 各預(yù)測模型在預(yù)測時(shí)點(diǎn)處的最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)

由此，可得到實(shí)測值和各預(yù)測模型的預(yù)測值見表5，各自預(yù)測誤差見表6。

表5 實(shí)測值和各預(yù)測模型預(yù)測值

從表6可以看出線性回歸模型、灰色模型GM（1，1）、變權(quán)組合預(yù)測模型的預(yù)測誤差平方和分別為0.019 1、0.026 5、0.018 3。這表明變權(quán)組合預(yù)測模型在大壩沉降監(jiān)測中的預(yù)測精度比任一單一模型的預(yù)測精度都要高［5-8］。

表6 各模型預(yù)測誤差

3 結(jié)束語

在變權(quán)組合預(yù)測模型中權(quán)重是隨時(shí)間不斷變化的函數(shù)，因此預(yù)測結(jié)果更接近實(shí)測結(jié)果。結(jié)合某大壩的沉降監(jiān)測實(shí)例，論證基于線性回歸模型和灰色模型GM（1，1）的變權(quán)組合模型的預(yù)測精度比單一預(yù)測模型的預(yù)測精度要高。因此，利用變權(quán)組合預(yù)測模型進(jìn)行大壩沉降預(yù)測是可行的。

［1］臧淑英，梁欣，馮仲科.變權(quán)組合預(yù)測模型的建立及其在區(qū)域生態(tài)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測中的應(yīng)用［J］.北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29（S2）：203-208.

［2］王新民，崔巍.變權(quán)組合預(yù)測模型在地下水水位預(yù)測中的應(yīng)用［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：地球科學(xué)版，2009，39（6）：1101-1105.

［3］崔巍，王新民，楊策.變權(quán)組合預(yù)測模型在滑坡預(yù)測中的應(yīng)用［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2010，28（2）：172-176.

［4］王磊，陳偉清，劉國獻(xiàn)，等.灰色自回歸模型的建筑物沉降預(yù)測探討［J］.測繪科學(xué)，2013，38（2）：125-127.

［5］劉丹丹.灰色模型分析法在高層建筑物變形監(jiān)測預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪與空間地理信息，2014，37（2）：203-205.

［6］曹昶，樊重俊.非等間距無偏GM（1，1）模型在建筑沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2013，22（6）：55-57.

［7］馬符訊，徐南，馬成.自適應(yīng)變異粒子群優(yōu)化灰色模型在變形分析中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2014，23（5）：55-57.

［8］程晨.灰色理論和多項(xiàng)式擬合在地表沉降監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.測繪與空間地理信息，2014，37（2）：220-222.