王詹帥，楊 煒，楊 平，張東旭

（廈門大學物理與機電工程學院，福建 廈門361005）

光學元件，尤其是大口徑光學元件已經(jīng)廣泛應用于現(xiàn)代工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防及科學文化事業(yè)中.隨著科學技術的不斷更新，對其面形精度和表面粗糙度等都提出了很高的要求［1］.精密檢測平臺在大口徑高光學元件檢測領域發(fā)揮著主要作用［2］，但其空間誤差的準確獲取一直是工程應用上的難題.

目前國內(nèi)外主要利用量塊、標準球等基準件以及激光干涉儀、球桿儀等檢測設備對幾何誤差信息進行獲取，鄭大騰等［3］提出了一種采用大尺寸標準量塊標定空間距離的標定方法；張虎等［4］提出了數(shù)控機床空間誤差測量的激光干涉儀自動瞄準系統(tǒng)；吳雄彪等［5］提出了基于支持向量機的數(shù)控機床空間誤差辨識與補償［5］；高貫斌等［6］提出了對坐標測量機的測量空間進行仿真分析得到空間誤差；Wang等［7］提出了利用激光跟蹤系統(tǒng)測量多軸數(shù)控機床的幾何誤差等.國外的研究者主要將激光跟蹤系統(tǒng)應用到精密檢測領域，開發(fā)出各具特色的檢測方法.如Schwenke等［8］提出了利用激光干涉儀的映射對三坐標測量機進行標定等.

隨著近年來精密檢測平臺測量技術的發(fā)展，以及各類高精密檢測工具如激光干涉儀、球桿儀等的廣泛使用，包括直線度誤差、垂直度誤差、定位誤差、旋轉誤差等各項幾何誤差的測量已經(jīng)能夠較好地測量，本文所提出的空間誤差計算方法利用多項幾何誤差，通過建立數(shù)學模型計算得檢測平臺的空間誤差值，試驗表明該方法能夠有效辨識精密檢測平臺的空間誤差，具有良好的實用性和應用前景.

1 空間誤差計算方法建模

1.1 精密檢測平臺

大口徑光學元件精密檢測平臺主要由檢測系統(tǒng)、傳動系統(tǒng)、工作臺和控制系統(tǒng)等組成.傳動系統(tǒng)由X、Y、Z三軸組成，由直線電機驅動，其中X、Y軸的最大行程400mm，Z軸的最大行程150mm，如圖1所示.檢測過程中，通過控制系統(tǒng)控制各軸聯(lián)動以完成規(guī)劃的檢測軌跡，本文主要對三軸聯(lián)動運行時空間定位精度進行研究.

1.2 空間誤差計算方法建模

圖2 空間誤差計算示意圖Fig.2 Calculation diagram of volumetric error

如圖2所示，建立空間坐標系O－XYZ，將空間誤差分解為XOY平面內(nèi)聯(lián)動誤差和該平面沿Z軸運動后由Z軸誤差所引起的誤差，綜合利用這兩部分誤差值，利用多項式擬合、平面幾何相關理論計算出空間誤差值，具體見圖3所示.

具體來講，首先測量得到XOY平面內(nèi)X、Y兩軸聯(lián)動誤差，并對其進行多項式擬合，可以得到該平面內(nèi)任意一點A在該平面內(nèi)的聯(lián)動誤差ΔAxy，誤差范圍為（emin，emax）；其次，測量Z軸定位誤差值進行多項式擬合，即可以得到Z軸滿行程內(nèi)的任一點定位誤差值Δc；再次，測量出Z、X和Z、Y軸間垂直度誤差值Δα和Δβ.當XOY平面在理想情況下，由L1平面位置沿Z軸上升O1O′1距離c至L2平面位置時，由于Z軸誤差影響，其實際位置為L3平面，基于平面幾何相關理論，計算得到A點在X、Y、Z方向的誤差值；最后，利用上述測得的聯(lián)動誤差ΔAxy和A點在X、Y、Z3個方向的誤差值，即可求出A點的空間誤差值AA′1.

1.2.1 XOY平面內(nèi)任一點定位誤差的求解

圖3 精密檢測平臺XOY平面內(nèi)任意一點沿Z軸方向運動示意圖Fig.3 Diagram of solving Xand Zdirection error of arbitrary point Aon plane XOY

利用精密檢測平臺對XOY平面的聯(lián)動誤差進行測量，將得到的數(shù)據(jù)按圓方程最小二乘原理擬合，得到平面聯(lián)動誤差的擬合曲線方程.將擬合曲線與原數(shù)據(jù)理論進行對比，即可以得到該平面內(nèi)任意一點A在該平面內(nèi)的定位誤差值，取XOY平面內(nèi)的誤差最大值為emax，誤差最小值為emin，定義ΔAxy表示XOY 平面聯(lián)動誤差，ΔAxy為（emin，emax）.

1.2.2 Z軸定位誤差的擬合求解

XOY平面沿Z軸運動時，由于Z軸運動中存在定位誤差，影響精密檢測平臺的空間誤差.對Z軸滿行程內(nèi)的定位誤差進行測量，將測得的Z軸定位誤差值進行多項式擬合，得到誤差方程，即可以求出Z軸滿行程內(nèi)任意點的定位誤差.取Z軸定位誤差最大值的Z軸位置為精密檢測平臺空間誤差最大值參考位置.

1.2.3 軸間垂直度誤差求解

XOY平面沿Z軸運動時，由于存在Z、X軸間垂直度誤差，它會影響精密檢測平臺的空間誤差.隨著Z軸行程的變化，在Z軸行程達到最小值或最大值時，軸間垂直度誤差對空間誤差的影響最大.取Z軸行程最大值和最大值的位置為精密檢測平臺空間誤差最大值參考位置.

1.2.4 XOY平面沿Z軸移動后A點在X、Y、Z方向誤差求解

Z軸運動不影響X，Y兩軸聯(lián)動的誤差，但是會引起XOY平面整體偏移和旋轉，進而影響該平面內(nèi)任一點A的空間運動誤差.為了計算空間誤差最大值，取Z軸定位誤差最大時的位置和其行程在最大值和最小值時的emax和emin的空間誤差值.取數(shù)值最大時的誤差為XOY平面沿Z軸運動所引起的最大誤差.幾何關系如圖2，3所示.

將Z軸的實際運動軌跡O1Z′向ZO1Y面做投影，得到其軌跡投影O1O3，過O3做O1Z垂線交點為O4，通過解直角三角形O1O3O4和O1O4Z′，計算出Z軸實際運動軌跡與ZO1X面的夾角Δγ；計算過程中需考慮Z、X軸間垂直度誤差Δα，Z，Y軸間垂直度誤差Δβ，

其中Δθ是實際運動軌跡與Z軸之間的夾角.繼而，將Z軸的實際運動軌跡O1Z′向ZO1X面做投影，得到其軌跡投影O1O2，其中O1Z′＝c＋Δc，通過解空間直角三角形O1O2Z′、O1O1′M 和MNO2，可計算A 點在X方向的誤差值O′1N，

A點在Z方向的誤差值NO2，

用相同方法在ZOY面作投影，將Z軸的實際運動軌跡O1Z′向ZO1Y 面做投影，得到其軌跡投影O1O3，其中O1Z′＝c＋Δc，通過解空間直角三角形O1O3Z′、O1O3O4、O1O4Z′，得出Z 軸實際運動軌跡與ZO1Y面的夾角Δφ，及A點在Y方向的誤差值Δyz.

1.2.5 A點的空間誤差計算

綜合利用上述檢測方法測得的XOY平面內(nèi)的聯(lián)動誤差ΔAxy和A點在X、Y、Z3個方向的誤差值，代入公式，即可求出A點的空間誤差值AA1′.

2 試 驗

2.1 各自由度誤差的測量

準確測量上述空間誤差模型中的各項幾何誤差是應用該模型進行檢測平臺空間誤差計算的前提與基礎［9］.本文綜合應用雷尼紹 XC－80激光干涉儀、球桿儀和基恩士激光位移傳感器等儀器設備對涉及到的各項幾何誤差進行了有效測量.

2.1.1 Z軸定位誤差的測量

采用雷尼紹XC－80激光干涉儀及其光學組件，對Z軸定位誤差進行3次測量，取平均值為最終誤差值，本文主要測量Z軸定位誤差.測量結果如表1所示，Z軸在滿行程內(nèi)定位誤差為－1.6～1.5μm.

2.1.2 XOY平面聯(lián)動誤差的測量

采用雷尼紹QC10球桿儀對半徑為150mm的圓周誤差測量，測得精密檢測平臺在XOY平面的聯(lián)動誤差ΔAxy，球桿儀逆時針旋轉2周，然后順時針轉2圈，完成球桿儀測量.同時，采用自主開發(fā)的精密檢測平臺軟件實時讀出X、Y、Z三軸光柵尺反饋的坐標位置，方便與球桿儀測得的圓周誤差測量結果進行對比，可獲取XOY平面內(nèi)聯(lián)動誤差最大值emax和誤差最小值emin，即可求出聯(lián)動誤差ΔAxy為（emin，emax）.

2.1.3 軸間垂直度誤差的測量

采用雷尼紹QC10球桿儀，在直徑300mm內(nèi)測得兩軸間的垂直度誤差，同理以X，Y軸間測量為例.由測量結果，采用下述方法剝離系統(tǒng)誤差：以球桿儀測量所得垂直度誤差為基準，以圓方程擬合各點，用原始數(shù)據(jù)減去對應的圓各點所得差值作為垂直度的隨機誤差.測量及辨識結果為：X、Y軸的垂直度誤差為0.22μm／mm；Z、X 軸 的 垂 直 度 誤 差 為 0.18 μm／mm.

2.1.4 空間誤差的計算

利用本文所提空間誤差計算方法對各自由度誤差進行計算，可求得精密檢測平臺的空間誤差.其中，X、Y 軸聯(lián)動誤差測量結果為－3.9～5.6μm，Z軸運動誤差結果為－1.6～－1.5μm.由此得到空間誤差值為－5.22～5.80μm.

2.2 驗證試驗

2.2.1 試驗條件

為了驗證本文提出的空間誤差計算方法正確性，以泰勒霍普森的Form Talysurf PGI 1240輪廓儀的校準半球為基準，標準球半徑為79.525 7mm.使用海德漢公司的CT6001接觸式測量系統(tǒng)，配合ND 281B型數(shù)字顯示儀進行測量，測量方式如圖4所示.

2.2.2 試驗方案

如圖5所示，首先，利用海德漢公司的CT6001接觸式檢測系統(tǒng)對校準半球進行頂點的查找；其次，測量Z＝5mm時，測量頂點左右各55mm的點，每點之間間隔1mm，保持Y軸不動測量XOZ平面上的母線Mx1，保持X軸不動測量YOZ平面上過原點的母線My1；再次，將校準半球升高140mm，在升高過程中配合雷尼紹XC－80激光干涉儀監(jiān)測，保證標準球的高度準確升高140mm；最后，測量Z＝145mm時，測量頂點左右各55mm的點，點之間間隔1mm，保持Y軸不動測量XOZ平面上過原點的母線Mx2，保持X軸不動測量YOZ平面上過原點的母線My2.

表1 Z軸定位誤差測量結果Tab.1 Measurement result of positioning error

圖4 接觸式檢測系統(tǒng)測量校準半球Fig.4 Measurement of calibration hemisphere based on contacting detection system

雷尼紹XC－80激光干涉儀測量定位精度，精確到0.1μm；QC10球桿儀測量其精度，精確到0.1μm；海德漢接觸式檢測系統(tǒng)測量矢高量程為0～60mm，精確到0.01μm，在安裝海德漢CT6001接觸式檢測系統(tǒng)及標準半球過程中，不可避免地會引入安裝誤差，但是安裝誤差，如傾斜度等，屬于系統(tǒng)誤差，在本文獲得誤差結果的數(shù)據(jù)處理過程中將其消除.具體測量方案如圖5所示.

圖5 驗證試驗示意圖Fig.5 Schematic diagram of calibration hemisphere validation test

2.2.3 試驗數(shù)據(jù)分析

在得到母線的原始數(shù)據(jù)后，對其進行數(shù)據(jù)處理.剔除4組數(shù)據(jù)中的粗大誤差點，在4組數(shù)據(jù)中插入隨機值；由于精密檢測平臺工作臺存在傾斜，需對數(shù)據(jù)進行去傾斜；將測量所得的4組數(shù)據(jù)進行圓方程的擬合，并與標準半球方程計算出的理論值進行對比，得出校準半球半徑的誤差值.

圖6 校準半球測量的數(shù)據(jù)處理結果Fig.6 The processing result of calibration hemisphere measurement

數(shù)據(jù)處理結果如圖6所示，圖6（a）、（b）為Z＝5 mm處XOZ、YOZ平面方向母線的測量結果，誤差最大值為5.37μm，最小值為－4.99μm；圖6（c）、（d）為Z＝145mm處XOZ、YOZ平面方向母線的測量結果，誤差最大值為5.18μm，最小值為－5.02μm.可見正向最大值是圖6（a）中的5.37μm，負向最大值是圖6（d）中的－5.02μm.測量結果顯示，校準半球半徑的誤差值為－5.02～5.37μm.

3 結 論

本文將空間誤差分解為平面內(nèi)兩軸聯(lián)動誤差和該平面沿第三軸運動所引起的誤差，提出一種新的空間誤差計算方法.該空間誤差計算方法將雷尼紹激光干涉儀、球桿儀等儀器測得的數(shù)據(jù)根據(jù)空間誤差模型擬合、推導，計算得到精密檢測平臺的空間誤差為－5.22～5.80μm.為驗證空間誤差計算方法所得出的空間誤差，利用海德漢公司的CT6001接觸式測量系統(tǒng)測量泰勒霍普森的Form Talysurf PGI 1240輪廓儀的校準半球，以校準半球為基準，得出檢測平臺的空間誤差值為－5.02～5.37μm，與計算得到的空間誤差值－5.22～5.80μm基本一致.表明本文提出的空間誤差的正確性和有效性.

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