馮 剛，付國強(qiáng)，孫 磊，傅建中

（1.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江 紹興312000；2.浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 浙江 杭州310027）

隨著制造業(yè)的快速發(fā)展，五軸數(shù)控機(jī)床的作用越來越明顯.五軸數(shù)控機(jī)床的2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸可以提高機(jī)床切削率，降低切削時(shí)間，減少工件裝夾次數(shù)［1］.機(jī)床精度是機(jī)床重要參數(shù)之一，直接影響加工工件質(zhì)量.影響機(jī)床精度的因素有多種，其中幾何誤差和熱誤差占60%左右［2］.機(jī)床幾何誤差建模與補(bǔ)償成為提高機(jī)床精度的重要途徑之一.

機(jī)床幾何誤差模型是誤差補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)，多體理論是進(jìn)行誤差建模的依據(jù)［3-5］.指數(shù)積理論可建立機(jī)床的幾何誤差模型［6］，直角坐標(biāo)系之間的微分變換關(guān)系也是進(jìn)行建模的手段之一［7］.幾何誤差項(xiàng)的辨識(shí)是誤差建模的基礎(chǔ).旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差項(xiàng)的辨識(shí)是五軸數(shù)控機(jī)床建模與補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵步驟之一，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多辨識(shí)方法［8-10］.Tsutsu等［11］采用三軸同步運(yùn)動(dòng)的方法保持球桿儀方向相對(duì)于測(cè)量旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)系不變來辨識(shí)旋轉(zhuǎn)軸特有的位置和角度偏差.Zargarbashi等［12］采用A 軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)形式設(shè)計(jì)5個(gè)球桿儀測(cè)量路徑根據(jù)得到的球桿儀讀數(shù)模型來辨識(shí)得到A 軸的5項(xiàng)幾何誤差.Lee等［13］根據(jù)幾何誤差項(xiàng)性質(zhì)采用參數(shù)化形式表示旋轉(zhuǎn)軸誤差項(xiàng)，提出5種測(cè)量模式來辨識(shí)相應(yīng)參數(shù).Lee等［14-15］針對(duì)每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸設(shè)計(jì)2種測(cè)量路徑用球桿儀辨識(shí)垂直度誤差和位置偏差，并考慮球桿儀安裝誤差的影響.Zhang等［16］用球桿儀和高度調(diào)節(jié)裝置設(shè)計(jì)出不同水平面上的2條測(cè)量路徑來辨識(shí)C 軸的五項(xiàng)幾何誤差.但是得到的五項(xiàng)幾何誤差為恒定值，與誤差性質(zhì)不符.Chen等［17］構(gòu)建矩陣形式的辨識(shí)模型，并在3個(gè)不同測(cè)量點(diǎn)的球桿儀讀數(shù)來辨識(shí)6 項(xiàng)幾何誤差，并通過4個(gè)特殊路徑得到球桿儀在轉(zhuǎn)臺(tái)上的安裝誤差.

每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸應(yīng)包含6項(xiàng)基本幾何誤差、2 項(xiàng)垂直度誤差和2項(xiàng)位置誤差.這些辨識(shí)方法可以得到旋轉(zhuǎn)軸部分幾何誤差項(xiàng)，為進(jìn)一步研究提供了依據(jù).然而沒有一種方法可得到旋轉(zhuǎn)軸的全部幾何誤差項(xiàng).大部分方法采用三軸同步運(yùn)動(dòng)來運(yùn)行測(cè)量路徑，測(cè)量過程中會(huì)引入線性軸的誤差，影響辨識(shí)精度，且同步運(yùn)動(dòng)軸的不同步誤差也會(huì)影響精度.

針對(duì)這些問題，本文針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)（C 軸）幾何誤差項(xiàng)提出了一種系統(tǒng)性辨識(shí)方法.該方法只需C 軸單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，能夠得到C 軸的10項(xiàng)幾何誤差.首先結(jié)合球桿儀方向向量得到C 軸幾何誤差項(xiàng)與球桿儀讀數(shù)關(guān)系.其次提出基于球桿儀的六步驟測(cè)量法，來辨識(shí)10項(xiàng)幾何誤差.分析了球桿儀安裝誤差對(duì)辨識(shí)精度的影響并采用數(shù)據(jù)擬合的方法消除其影響.接著仿真驗(yàn)證了六步驟測(cè)量法的正確性.最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性和正確性.

1 轉(zhuǎn)臺(tái)測(cè)量的球桿儀讀數(shù)模型

在球桿儀測(cè)量時(shí)一端安裝在主軸刀柄上，稱為刀具球，另一端固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上稱為工件球.轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，其幾何誤差會(huì)使得球桿儀長度發(fā)生變化.根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)誤差齊次矩陣和球桿儀初始位置可以得到球桿儀刀具球和工件球在轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，從而得到球桿儀讀數(shù)與轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差之間的關(guān)系.

轉(zhuǎn)臺(tái)（C 軸）的6項(xiàng)基本幾何誤差包含3項(xiàng)線性誤差和3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差，如圖1 所示.δxc、δyc、δzc分別表示x、y、z方向的線性誤差，εxc、εyc和εzc分別表示繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)角誤差.C 軸2項(xiàng)垂直度誤差分別為C 軸和X 軸之間的Scx和C 軸和Y 軸之間的Scy，2項(xiàng)位置偏差分別為x 方向的ocx和y 方向的ocy.那么轉(zhuǎn)臺(tái)的誤差齊次矩陣可表示為［18］

式（1）表示垂直度誤差可視為為恒定值轉(zhuǎn)角誤差，位置偏差可作為線性誤差一部分，那么根據(jù)該性質(zhì)，為了方便可先不考慮垂直度誤差和位置誤差的影響.C 軸理想齊次轉(zhuǎn)換矩陣可表示為

當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)時(shí)，平動(dòng)軸和其他旋轉(zhuǎn)軸都是保持靜止的，那么它們幾何誤差項(xiàng)對(duì)球桿儀讀數(shù)沒有影響，即平動(dòng)軸和其他旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差在這里忽略不計(jì)，球桿儀刀具球在轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)可表示為

圖1 轉(zhuǎn)臺(tái)6項(xiàng)基本幾何誤差示意圖Fig.1 Six basic geometric error components of turntable

式中：x、y、z表示刀具球在機(jī)床參考系下的初始坐標(biāo)值.

工件球固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上，隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，工件球的齊次坐標(biāo)是保持不變的，可表示為

球桿儀讀數(shù)與2個(gè)球坐標(biāo)之間的關(guān)系可通過球桿儀方向向量建立起來，球桿儀方向向量表示在轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系下，工件球指向刀具球的單位向量，代表了球桿儀可以測(cè)量該方向上的綜合誤差.那么球桿儀讀數(shù)可表示為

式中：R 為球桿儀公稱長度，ΔR 為球桿儀長度變化量，V ＝［vx，vy，vz，0］T，vx、vy、vz分別為球桿儀方向向量在x、y 和z 方向上的分量.那么球桿儀讀數(shù)模型可通過式（3）表示為

因?yàn)榍驐U儀方向向量為單位向量，式（4）又可以表示為

2 轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差辨識(shí)

用球桿儀測(cè)量旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差時(shí)，球桿儀路徑是圓或者圓弧.對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)來說，它的旋轉(zhuǎn)軸線可根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)輕易定位得到，這樣轉(zhuǎn)臺(tái)的單獨(dú)旋轉(zhuǎn)就可以完成球桿儀的測(cè)量辨識(shí).根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)運(yùn)動(dòng)時(shí)球桿儀讀數(shù)與轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差的關(guān)系，提出了六步驟測(cè)量法.如圖2所示表示了六步驟測(cè)量法中每個(gè)步驟球桿儀的安裝位置.這些球桿儀的安裝時(shí)很簡(jiǎn)單的，其位置也沒有特殊要求，可以很容易的定位得到，這樣就大大的提高了測(cè)量的效率.按照六步驟測(cè)量法得到各個(gè)步驟中相應(yīng)的球桿儀讀數(shù)，可辨識(shí)得到轉(zhuǎn)臺(tái)的幾何誤差項(xiàng).這六步驟可辨識(shí)得到轉(zhuǎn)臺(tái)所有的10項(xiàng)幾何誤差項(xiàng).

2.1 六步驟測(cè)量法

根據(jù)每個(gè)步驟中球桿儀的方向向量和位置，結(jié)合球桿儀讀數(shù)與幾何誤差之間的關(guān)系可得到相應(yīng)幾何誤差項(xiàng)的辨識(shí)公式.為了方便，根據(jù)式（1）可先不考慮垂直度誤差和位置誤差的影響.下面對(duì)每個(gè)步驟進(jìn)行分析以得到幾何誤差辨識(shí)公式.

圖2 六步驟測(cè)量法中球桿儀的安裝位置Fig.2 Installation of ballbar in six-step measurement

如圖2所示，步驟1和2的球桿儀刀具球初始位置在轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸線上，且球桿儀均位于轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的x 軸方向，但是刀具球z向高度有所區(qū)別.那么刀具球的初始位置坐標(biāo)可表示為［0，0，z］.那么根據(jù)式（2）可得到球桿儀刀具球相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的齊次坐標(biāo)為

球桿儀工件球與刀具球在同一水平面上，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)時(shí)球桿儀隨轉(zhuǎn)臺(tái)同步運(yùn)動(dòng)與轉(zhuǎn)臺(tái)保持相對(duì)靜止，那么球桿儀在轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)下的方向向量保持不變，表示為V1，2＝［-1，0，0，0］T，工件球的坐標(biāo)為［R，0，z］.那么根據(jù)式（5）可以得到步驟1和2中球桿儀讀數(shù)與相應(yīng)幾何誤差關(guān)系為

即

式中：Δ1，2為步驟1和步驟2球桿儀讀數(shù).為了方便辨識(shí)，步驟1中刀具球初始z 坐標(biāo)為0，步驟2中z坐標(biāo)為L，如圖2所示，根據(jù)式（7）可以得到相應(yīng)線性和轉(zhuǎn)角幾何誤差辨識(shí)公式為

式中：Δ1為步驟1中球桿儀讀數(shù)，Δ2為步驟2中球桿儀讀數(shù)，

對(duì)于步驟3和4，刀具球坐標(biāo)分別于步驟1和2中是一樣，即步驟3中刀具球初始z坐標(biāo)為0，步驟4中z坐標(biāo)為L，那么式（6）也表示了這2個(gè)步驟中球桿儀刀具球在轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)下的坐標(biāo).不同之處為球桿儀的方向向量與轉(zhuǎn)臺(tái)y 軸方向平行，即V1，2＝［0，-1，0，0］T，工件球坐標(biāo)為［0，R，0］，那么同樣的根據(jù)式（5）可以得到球桿儀讀數(shù)與相應(yīng)幾何誤差關(guān)系為

式中：Δ3，4為步驟3和步驟4球桿儀讀數(shù)，那么相應(yīng)的幾何誤差辨識(shí)公式可由球桿儀讀數(shù)表示為

在步驟5中，刀具球和工件球都位于轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸線上，刀具球初始z坐標(biāo)為R，工件球z坐標(biāo)為0，球桿儀方向向量為V1，2＝［0，0，1，0］T，那么同樣的根據(jù)式（5）和（6）得到

步驟6的工件球在轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸線上，其坐標(biāo)為［0，0，0］，而刀具球的初始位置坐標(biāo)為［0，R，0］.當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)時(shí)，球桿儀相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的方向向量是隨著轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角發(fā)生變化的.如圖3所示表示了球桿儀方向與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系之間的關(guān)系.球桿儀與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系Y 軸之間的夾角為轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角γ，那么球桿儀方向向量可表示為V6＝［sinγ，cosγ，0，0］T，根據(jù)式（2）得到刀具球在轉(zhuǎn)臺(tái)工件坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

式中：γ表示轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)角，即轉(zhuǎn)臺(tái)的位置.那么球桿儀讀數(shù)和幾何誤差之間的關(guān)系可根據(jù)式（4）表示為

整理可以得到

式（11）、（12）中的δxc和δyc已經(jīng)辨識(shí)得到，只需對(duì)εzc進(jìn)行辨識(shí)即可.根據(jù)式（11）辨識(shí)時(shí)，在γ＝0°，180°，360°這幾個(gè)特殊位置處，球桿儀讀數(shù)在該式子中反映不出εzc誤差項(xiàng)，而在90°和270°處εzc對(duì)球桿儀讀數(shù)無影響.同樣的，用式（12）辨識(shí)時(shí)，在這幾個(gè)特殊位置處，球桿儀讀數(shù)無法反映該誤差項(xiàng)，或者該誤差項(xiàng)對(duì)球桿儀讀數(shù)無影響.為了能夠充分使用球桿儀讀數(shù)，同時(shí)式（11）和（11）辨識(shí)誤差，除了這幾個(gè)特殊位置外，幾何誤差項(xiàng)可表示為

當(dāng)γ＝0°和360°時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)基本誤差項(xiàng)數(shù)值應(yīng)為零，而在γ＝90°，180，360處，εzc誤差值可根據(jù)前后相鄰位置點(diǎn)的誤差值進(jìn)行插值得到.因?yàn)樵谇驐U儀測(cè)量時(shí)，數(shù)據(jù)記錄間隔恒定的，那么在這3個(gè)角度處的誤差數(shù)值可表示為

式中：i為數(shù)據(jù)采集時(shí)這3個(gè)角度相應(yīng)的位置序號(hào).那么εzc的辨識(shí)公式可表示為

那么式（8）、（9）、（10）和（13）為轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差表達(dá)式.轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，球桿儀就有個(gè)對(duì)應(yīng)的讀數(shù)，那么由這4個(gè)式子根據(jù)球桿儀讀數(shù)得到的幾何誤差是相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角變化的值.

圖3 球桿儀方向與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between direction of ballbar and coordinate system of turntable

2.2 垂直度誤差和位置偏差辨識(shí)

前面沒有考慮垂直度誤差和位置誤差的影響，采用的處理方法是根據(jù)式（1）將垂直度誤差作為相應(yīng)轉(zhuǎn)角誤差的一部分，位置偏差作為相應(yīng)線性誤差的一部分.那么就需要進(jìn)一步對(duì)垂直度誤差和位置誤差進(jìn)行辨識(shí)，同時(shí)進(jìn)一步對(duì)六項(xiàng)基本誤差項(xiàng)進(jìn)行修正.

垂直度誤差和位置誤差是與位置無關(guān)的誤差，即與轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度無關(guān)，是一個(gè)恒定值.六項(xiàng)基本誤差項(xiàng)是隨著運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)而變化的，另外在運(yùn)動(dòng)軸初始位置基本誤差項(xiàng)數(shù)值為0.即根據(jù)式（8）、（9）、（10）和（13）得到的誤差項(xiàng)是基本誤差項(xiàng)加上相應(yīng)的垂直度誤差或者位置偏差的綜合性誤差.可以根據(jù)在轉(zhuǎn)臺(tái)零位置處的綜合誤差數(shù)值分離得到相應(yīng)的垂直度誤差和位置誤差，同時(shí)對(duì)其他轉(zhuǎn)角位置處的綜合誤差進(jìn)行修正得到機(jī)床基本誤差項(xiàng)數(shù)值.

式（1）中垂直度誤差Sc為定值的y 方向的轉(zhuǎn)角誤差，Scy為x 方向的轉(zhuǎn)角誤差，位置誤差ocx作為x方向的線性誤差δxc，ocy是y 方向的線性誤差δyc.在轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角為零時(shí)，轉(zhuǎn)角誤差εyc和εxc為0，同時(shí)線性誤差δxc和δyc為0.所以在零角度處由式（8）和（9）辨識(shí)得到的綜合線性誤差δxc為位置誤差ocx，δyc為安裝誤差ocy，綜合轉(zhuǎn)角誤差εyc為垂直度誤差Scx，εxc為垂直度誤差Scy，.在轉(zhuǎn)臺(tái)其他轉(zhuǎn)角處分離出相應(yīng)的垂直度誤差和位置誤差得到相應(yīng)的基本誤差項(xiàng)，同時(shí)對(duì)于z方向的轉(zhuǎn)角誤差和線性誤差也需要進(jìn)行同樣的分離處理得到符合誤差幾何性質(zhì)的基本誤差數(shù)值.那么轉(zhuǎn)臺(tái)10項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)表達(dá)式可表示為

式中：εkc′和δkc′表示由式（8）、（9）、（10）和（13）辨識(shí)得到的綜合幾何誤差項(xiàng).k＝x，y，z.

2.3 仿真分析

對(duì)六步驟測(cè)量法采用仿真分析來驗(yàn)證其正確性.首先產(chǎn)生轉(zhuǎn)臺(tái)的10項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)，其中垂直度誤差和位置誤差為定值，6項(xiàng)基本幾何誤差項(xiàng)其隨C 軸旋轉(zhuǎn)角度的變化而變化，這里基本誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)以三次多項(xiàng)式的形式產(chǎn)生.根據(jù)基本誤差項(xiàng)的性質(zhì)，相應(yīng)的三次多項(xiàng)式形式為

f（γ）＝aγ（γ-360）（γ-b）.不同的誤差項(xiàng)選擇不同的a 和b 值.產(chǎn)生的基本誤差項(xiàng)數(shù)據(jù)見圖5中仿真數(shù)據(jù)曲線所示，包括產(chǎn)生的線性誤差和轉(zhuǎn)角誤差.垂直度誤差和位置偏差數(shù)據(jù)設(shè)置見表1 中仿真值.仿真時(shí)球桿儀長度為100mm，步 驟2 中 球 桿 儀 工 件 球z 坐 標(biāo)L ＝100 mm，同樣的步驟4中工件球z坐標(biāo)L＝100mm.然后根據(jù)球桿儀讀數(shù)與幾何誤差之間的關(guān)系按照式（4）或者式（5）計(jì)算得到每個(gè)步驟中球桿儀讀數(shù)，同時(shí)增加隨機(jī)噪聲得到相應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù).如圖4所示仿真得到的各個(gè)步驟中球桿儀數(shù)據(jù).根據(jù)六步驟測(cè)量法，結(jié)合仿真產(chǎn)生的球桿儀數(shù)據(jù)結(jié)合式（8）、（9）、（10）、（12）和（13）辨識(shí)得到轉(zhuǎn)臺(tái)十項(xiàng)幾何誤差項(xiàng).如表1所示為垂直度誤差和位置誤差的仿真結(jié)果.仿真產(chǎn)生和辨識(shí)得到的垂直度誤差殘差在1μm 以內(nèi)，位置誤差的殘差更小.如圖5所示為6項(xiàng)基本誤差項(xiàng)的仿真值與計(jì)算值的比較結(jié)果.圖5（a）為三項(xiàng)線性誤差的仿真結(jié)果，圖5（b）為三項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差的仿真結(jié)果.線性誤差的計(jì)算值與仿真值非常接近，說明線性誤差的辨識(shí)精度很高.而轉(zhuǎn)角誤差計(jì)算值與仿真值之間殘差在噪聲范圍內(nèi).仿真結(jié)果表明了六步驟測(cè)量法是可行的.

表1 垂直度誤差和位置偏差的仿真結(jié)果Tab.1 simulated results of squareness errors and offset errors

3 安裝誤差的影響

圖4 各個(gè)步驟球桿儀仿真讀數(shù)Fig.4 Simulated ballbar readings of each step

球桿儀在安裝時(shí)不可避免的存在安裝誤差，安裝誤差對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差的辨識(shí)精度造成一定的影響.即使使用精密微調(diào)裝置，球桿儀也同樣的存在一定的安裝誤差，而球桿儀安裝誤差需要額外的工作量或者精密裝置來測(cè)量得到［10，17］.另外同樣的位置，安裝一次球桿儀其安裝誤差就可能不同.而用六步驟測(cè)量時(shí)每個(gè)步驟都需要重新安裝球桿儀，如果每安裝一次球桿儀就用測(cè)量一次安裝誤差，這會(huì)大大增加測(cè)量的工作量.這里通過分析每個(gè)步驟中球桿儀安裝誤差對(duì)球桿儀讀數(shù)的影響，然后采用最小二乘法根據(jù)其影響進(jìn)行擬合，得到消除球桿儀安裝誤差后的讀數(shù)，然后再進(jìn)行幾何誤差的辨識(shí)，這樣可以大大提高辨識(shí)精度，又不會(huì)增加測(cè)量的工作量.

球桿儀刀具球和工件球都存在安裝誤差，假設(shè)刀具球的安裝誤差為Δtx，Δty和Δtz，工件球的安裝誤差分別為Δwx，Δwy和Δwz.那么根據(jù)式（5）得到

那么根據(jù)式（15）結(jié)合各個(gè)步驟中球桿儀方向向量可以得到球桿儀安裝誤差對(duì)球桿儀讀數(shù)的影響為

圖5 轉(zhuǎn)臺(tái)6項(xiàng)基本誤差項(xiàng)的仿真結(jié)果比較Fig.5 simulated results of six basic geometric errors

球桿儀公稱長度公稱長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于球桿儀長度變化量，則球桿儀實(shí)際長度本身一個(gè)近似圓.對(duì)于步驟1-4，球桿儀刀具球的安裝誤差會(huì)造成球桿儀軌跡的偏心偏差，而工件球的安裝誤差主要影響球桿儀軌跡的半徑.步驟5中球桿儀安裝誤差主要影響軌跡半徑.步驟6中刀具球誤差影響軌跡半徑，而工件球是引起軌跡的偏心誤差.如果已知球桿儀安裝誤差，那么從球桿儀實(shí)際讀數(shù)中消除安裝誤差影響可表示為

式中：Δj′為第j 步驟中球桿儀實(shí)際讀數(shù).Δj為剔除球桿儀安裝誤差后球桿儀讀數(shù).j＝1，2…6.根據(jù)式（15）和（16）結(jié)合各個(gè)步驟中球桿儀實(shí)際讀數(shù)，對(duì)球桿儀讀數(shù)進(jìn)行擬合.將式（15）代入（16）得到擬合形式為

式中：Δj數(shù)值隨著轉(zhuǎn)角γ變化而變化，擬合式中只有球桿儀安裝誤差是常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)最小二乘法進(jìn)行擬合.球桿儀安裝誤差會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于機(jī)床的幾何誤差項(xiàng)，所以認(rèn)為球桿儀長度本身近似圓的半徑偏差都是由于球桿儀安裝誤差造成的，即最小二乘法擬合的常數(shù)項(xiàng)是由球桿儀安裝誤差造成的，從而擬合得到相應(yīng)的球桿儀安裝誤差以及相應(yīng)的剔除安裝誤差影響后的球桿儀數(shù)據(jù).然后根據(jù)相應(yīng)的辨識(shí)公式得到相應(yīng)的10項(xiàng)幾何誤差.

這樣六步驟測(cè)量法大大降低了球桿儀安裝誤差影響，提高了辨識(shí)精度，同時(shí)可以辨識(shí)得到轉(zhuǎn)臺(tái)10項(xiàng)幾何誤差.為了進(jìn)一步提高辨識(shí)精度，每個(gè)步驟中安裝球桿儀后進(jìn)行多次測(cè)量得到多組球桿儀讀數(shù).該方法只需轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)易實(shí)現(xiàn)，同時(shí)也消除了其他軸運(yùn)動(dòng)誤差的耦合影響.步驟1，3和5的刀具球位置是一樣的，而步驟2和4的刀具球位置是一樣的，且都很容易通過機(jī)床定位得到，使得球桿儀安裝很方便，提高了六圈法的測(cè)量效率，以達(dá)到快速測(cè)量的目的.

4 實(shí) 驗(yàn)

圖6 球桿儀六步驟測(cè)量法測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)誤差Fig.6 Scenes of measurement for turntable using sixstep measurement with ballbar

將六步驟測(cè)量法應(yīng)用到北京精雕SmartCNC500五軸機(jī)床上采用雷尼紹公司的QW20球桿儀測(cè)量辨識(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)C 軸的幾何誤差.如圖6所示為相應(yīng)的六步驟測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)誤差示.圖6（k）即為按照步驟k進(jìn)行的測(cè)量.其中k＝1，2…6.步驟2和4中球桿儀刀具球z向高度L＝22mm.球桿儀安裝方便.測(cè)量時(shí)只需轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，機(jī)床很容易實(shí)現(xiàn).轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)5°采集一次球桿儀數(shù)據(jù)，每個(gè)步驟安裝球桿儀后進(jìn)行5次測(cè)量，其平均值作為該步驟球桿儀讀數(shù)測(cè)量值.如圖7所示為各個(gè)步驟的球桿儀測(cè)量數(shù)據(jù).根據(jù)球桿儀安裝誤差對(duì)各個(gè)步驟球桿儀測(cè)量數(shù)據(jù)的影響采用最小二乘法進(jìn)行擬合，得到降低安裝誤差影響的球桿儀讀數(shù).然后根據(jù)六步驟測(cè)量法中各個(gè)誤差辨識(shí)公式得到轉(zhuǎn)臺(tái)10項(xiàng)幾何誤差.表2為辨識(shí)得到的轉(zhuǎn)臺(tái)垂直度誤差和位置誤差.如圖8（a）所示為轉(zhuǎn)臺(tái)三項(xiàng)線性誤差，圖8（b）為轉(zhuǎn)臺(tái)三項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差.

圖7 六步驟測(cè)量法各個(gè)步驟球桿儀讀數(shù)Fig.7 Ballbar readings of each step with six-step measurement

圖8 辨識(shí)得到的轉(zhuǎn)臺(tái)6項(xiàng)基本誤差項(xiàng)Fig.8 Six identified basic geometric errors of turntable

表2 轉(zhuǎn)臺(tái)垂直度誤差和位置誤差Tab.2 squareness errors and offset errors of turntable

圖9 步驟2中消除安裝誤差后球桿儀讀數(shù)Fig.9 Ballbar readings of second step without set-up errors

圖10 步驟4中消除安裝誤差后球桿儀讀數(shù)Fig.10 Ballbar readings of the fourth step without set-up errors

辨識(shí)得到的轉(zhuǎn)臺(tái)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，比較補(bǔ)償前后球桿儀各個(gè)步驟處球桿儀讀數(shù)來驗(yàn)證六步驟測(cè)量法的辨識(shí)精度.轉(zhuǎn)臺(tái)誤差值可通過相應(yīng)的平動(dòng)軸來進(jìn)行補(bǔ)償.因?yàn)樵摲椒ㄊ寝D(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，補(bǔ)償是只是調(diào)整刀具球的坐標(biāo)，這機(jī)床補(bǔ)償代碼也易實(shí)現(xiàn)，只需根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差對(duì)機(jī)床精度的影響計(jì)算出刀具球位置調(diào)整值即可.比如步驟2中δxc，εyc，ocx和Scx影響機(jī)床精度，則可通過調(diào)整刀具球坐標(biāo)值實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償.步驟4中δyc和εxc影響機(jī)床精度，則可通過X 軸和Y軸來調(diào)整球桿儀刀具球坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償.為了能夠更清楚地觀察補(bǔ)償效果，將補(bǔ)償前后球桿儀讀數(shù)進(jìn)行消除安裝誤差處理，得到消除安裝誤差影響后的球桿儀讀數(shù).如圖9所示為步驟2中消除安裝誤差后補(bǔ)償轉(zhuǎn)臺(tái)誤差前后球桿儀讀數(shù)比較圖.如圖10所示為步驟4中補(bǔ)償轉(zhuǎn)臺(tái)相應(yīng)誤差前后球桿儀讀數(shù)比較圖.其中第3組數(shù)據(jù)為理想的標(biāo)準(zhǔn)圓軌跡讀數(shù)，即零誤差軌跡.消除安裝誤差后，步驟2 中誤差從±1.6μm 減少到±0.7μm，補(bǔ)償后誤差值減少了56%，而且補(bǔ)償后軌跡圓度大大提高.步驟4中誤差從±2.1μm 減少到±0.8μm，精度提高了61.9%，補(bǔ)償效果明顯.那么進(jìn)一步驗(yàn)證了六步驟測(cè)量法的辨識(shí)精度高.

5 結(jié) 論

旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差是影響五軸數(shù)控機(jī)床的主要因素之一，本文針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸提出了基于球桿儀的六步驟測(cè)量法來系統(tǒng)性的辨識(shí)得到十項(xiàng)幾何誤差項(xiàng).六步驟測(cè)量法只需轉(zhuǎn)臺(tái)單獨(dú)旋轉(zhuǎn)，消除了其他運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差對(duì)辨識(shí)精度影響，同時(shí)球桿儀安裝方便，運(yùn)動(dòng)易實(shí)現(xiàn).

（1）本文運(yùn)用球桿儀方向向量將球桿儀讀數(shù)和轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差項(xiàng)結(jié)合起來.根據(jù)各個(gè)步驟中球桿儀方向向量，得到基本誤差項(xiàng)辨識(shí)公式，同時(shí)結(jié)合幾何誤差項(xiàng)的性質(zhì)，辨識(shí)得到包括垂直度誤差和位置誤差在內(nèi)的十項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)，并通過仿真驗(yàn)證六步驟測(cè)量方法的正確性.

（2）根據(jù)球桿儀讀數(shù)模型，分析了球桿安裝誤差對(duì)各個(gè)步驟中球桿儀讀數(shù)的影響，并采用最小二乘法根據(jù)球桿儀讀數(shù)與安裝誤差進(jìn)行擬合從而消除安裝誤差的影響，以提高辨識(shí)精度.

（3）將六步驟測(cè)量法應(yīng)用到北京精雕SmartCNC500五軸加工中心，測(cè)量辨識(shí)得到C 軸的十項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)，測(cè)量方便.同時(shí)通過補(bǔ)償轉(zhuǎn)臺(tái)的幾何誤差對(duì)補(bǔ)償前后球桿儀讀數(shù)進(jìn)行比較來驗(yàn)證六步驟測(cè)量法的可行性與準(zhǔn)確性.

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