李江華

（廣東理工學院，廣東　肇慶　526100）

關于一致連續(xù)的判定與應用

李江華

（廣東理工學院，廣東肇慶526100）

本文以一致連續(xù)函數(shù)的判定與應用為研究對象，基于現(xiàn)有判定定理，分析函數(shù)一致連續(xù)的性質(zhì)，增強一致連續(xù)的應用.

函數(shù)思想；函數(shù)方程式；一致連續(xù)；判定定理

1　引言

函數(shù)是構(gòu)建中學數(shù)學的主旋律.而函數(shù)思想在高中數(shù)學的運用較多.它起到承上啟下的作用.在考慮到相關運動變化、相依關系的同時，以一類狀態(tài)過渡至研究變化的過程，從而確立相關的思想方式.在高中數(shù)學的范疇，關于不等式的研究，如何才能體現(xiàn)相應的函數(shù)思想，培養(yǎng)學生應用函數(shù)解決不等式的問題，進一步挖掘培養(yǎng)學生的思維深刻性.為此，我們必須從問題分析開始，對函數(shù)思想加以論述，并詳細地探究.

2　函數(shù)的基本概念

2.1函數(shù)概念

對于函數(shù)的概念，我們可定義為，在一個變化的過程，設定兩個變量，分別為x、y，對于x，均有唯一值y與之對應，即x為自變量，y是x的函數(shù)，而自變量x取值的集合，與x相應的y稱為函數(shù)值域.從x→y，在相應的值域均有唯一的f（x）與它對應.它揭示的是定義域、值域與對應法則的關系.

2.2函數(shù)思想

運用函數(shù)思想，從概念入手，就其性質(zhì)，對問題加以分析，將其轉(zhuǎn)化為解決技巧.從問題開始，研究彼此之間的關系，運用數(shù)學語言，將因素轉(zhuǎn)化為數(shù)學模式，從而將問題加以解決.基于方程的思想，結(jié)合方程組，對其求解，轉(zhuǎn)換對應的關系，實現(xiàn)函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)方程組因式分解，得出結(jié)果.

笛卡爾方程思想是以問題為主，將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為結(jié)果，因函數(shù)與多元方程區(qū)別較少.兩者基本無差異.它圍繞著二元函數(shù)，結(jié)合因變量與自變量，探究方程組的求解過程.

列方程、解方程和研究方程的特性，均是通過方程思想加以考慮的.函數(shù)方程確定的是數(shù)量之間的關系，而函數(shù)思想則通過問題的研究，體現(xiàn)著數(shù)學特征.函數(shù)模型的構(gòu)建，研究相關的關系.按函數(shù)性質(zhì)，對問題加以分解，結(jié)合不同性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)增減、指數(shù)函數(shù)等.按不同組分的求解，基于顯隱條件，構(gòu)造相關的函數(shù).從問題的現(xiàn)象透視本質(zhì)，構(gòu)建彼此之間的關聯(lián)，構(gòu)造相應的函數(shù)方程.經(jīng)過變量之間的分析，確定對應的組分，從而研究不同函數(shù)之間的關系，挖掘其中的規(guī)律變化.

2.3一致連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

結(jié)合數(shù)學分析，函數(shù)一致連續(xù)性是重要的教學內(nèi)容.它強調(diào)的是函數(shù)的連續(xù)性，基于區(qū)間的考慮，它表達的是函數(shù)在區(qū)間I的分布，而函數(shù)一致連續(xù)問題是連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，基于微積分學的研究，函數(shù)的應用將較為重要的.

3　函數(shù)一致連續(xù)的判定與應用

3.1一致連續(xù)的定理

假設f（x）在［a,b］連續(xù)，那么判定f（x）在［a,b］是一致連續(xù)的.如果?ε＞0，?δ（ε）＞0，對于?x1、x2∈［a,b］，則有|x1-x2|＜δ，推出|f（x1）-f（x2）|＜ε.那么，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a,b］是一致連續(xù)的.基于一致連續(xù)判定，劃分為不同的定理.如下所示：

3.2一致連續(xù)函數(shù)判定

基于3.1定理判斷，判定一致連續(xù)函數(shù)的有效性.因區(qū)域連續(xù)且為有界函數(shù)，它在區(qū)域I是一致連續(xù)的.基于有限值的判斷，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，判定其是否是一致連續(xù)的.因函數(shù)有界，且區(qū)間

例1設f（x）,g（x）均在區(qū)域I內(nèi)一致連續(xù)且有界，證明：F（x）=f（x）g（x）也于I一致連續(xù).

證明f（x）,g（x）有界，為此，M＞0，使|f（x）|＜M,|g（x）|＜M，?x∈I.判定f（x）,g（x）均為一致連續(xù)的.

為此，F(xiàn)（x）在區(qū)間I內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，且它們是較為一致的.

所以，當

為此，f（x）在I是連續(xù)函數(shù)，且數(shù)值維持一致.

3.3一致連續(xù)函數(shù)的應用

例1設函數(shù)f（x）在［a.b］上連續(xù)，且為單調(diào)增加函數(shù)，a＜0＜b，證明：

證明令

因f（x）為遞增的函數(shù)，為此，當b＞a時，有F（b）F（a）=0，

例2設f（x），g（x）在［a,b］上連續(xù)，且滿足

證通過題目設定的條件，我們可以知道，以下簡要的分析：

由題設可知，G（x）≥0,x∈［a,b］,G（a）=G（b）=0,G'（x）=F（x），從而我們能夠確定如下過程：

〔1〕杜家祥.函數(shù)在無窮區(qū)間上一致連續(xù)性的判定［J］.宿州教育學院學報，2011（1）：91-92.

〔2〕胡適耕，張顯文.數(shù)學分析原理與方法［M］.北京：科學出版社，2008.

〔3〕楊傳林.數(shù)學分析解題思想與方法［M］.浙江：浙江大學出版社，2008.

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