陳建先 （重慶行政學(xué)院公共管理學(xué)教研部，重慶 400041）

黨的十八大報告關(guān)于“加快推進(jìn)社會主義民主政治制度化、規(guī)范化、程序化”的論述，以及在黨內(nèi)完善差額選舉制度（投票規(guī)則）的論述，充分說明探討投票機(jī)理與規(guī)則公平的價值意義。博弈視域下探討研究投票經(jīng)典模型，是對傳統(tǒng)選舉制度和投票規(guī)則的一種補(bǔ)充和超越。在探討踐行公平民主機(jī)制和合理投票規(guī)則的過程中，定會發(fā)現(xiàn)博爾達(dá)計分法是其實(shí)現(xiàn)的重要方式方法。

一、博爾達(dá)計分法的提出背景及其模型

近代史上，法國投票理論專家讓-夏爾·德·博爾達(dá)（Jean-Charles de Borda），最早對投票規(guī)則理論進(jìn)行系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)實(shí)社會采用最為普遍的多數(shù)投票規(guī)則之弊端，并試圖改進(jìn)和完善投票規(guī)則，于是提出了一種新的投票規(guī)則——博爾達(dá)計分法。

（一）博爾達(dá)計分法的提出背景

《新帕爾格雷夫經(jīng)濟(jì)學(xué)大詞典》對“投票”解釋：投票理論起源于博爾達(dá)、孔多塞和拉普拉斯等啟蒙哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的著作中［1］285。也就是說，較為系統(tǒng)地研究投票理論，最早源于18世紀(jì)這些專家對投票理論的探討。準(zhǔn)確地講，最早較為系統(tǒng)地研究投票理論的人是近代法蘭西科學(xué)院院士讓-夏爾·德·博爾達(dá)，標(biāo)志是論文《論投票形式》的發(fā)表（1770）。該論文探討了多候選人投票規(guī)則（一票制，一人獲勝，少數(shù)服從多數(shù)原則）——多數(shù)投票規(guī)則的缺陷：不能更充分地體現(xiàn)人們偏好的層次性、順序性。

馬克思曾說：“一切價值形式的秘密都隱藏在這個簡單的價值形式中?！保?］為了修正多數(shù)投票規(guī)則的弊病，依據(jù)田徑比賽記分規(guī)則，博爾達(dá)提出一種新的投票規(guī)則——博爾達(dá)計分法（Borda count）。博爾達(dá)計分法在公平性、民主性、科學(xué)性和合理性等方面，明顯優(yōu)于多數(shù)投票規(guī)則，因?yàn)椴栠_(dá)計分法集中了投票者更多的偏好信息，尤其是當(dāng)投票有可能出現(xiàn)“平局”時，只有博爾達(dá)計分法能夠避免顛倒悖論（孔多塞悖論）。但是，博爾達(dá)“在這方面的考察并沒有對當(dāng)時的知識界產(chǎn)生任何影響，而且早被遺忘”［1］272，以致現(xiàn)今人們對博爾達(dá)計分法的全然無知。

（二）博爾達(dá)計分法的經(jīng)典模型

博爾達(dá)計分法，指投票者按照自己投票偏好的順序，給N個備選方案（或人）進(jìn)行排序，分值從1到M，最低分為1（選票中最末位候選人記1分，非0分，因他比選票外的候選人高1分），最高分為M（排為第一者）。然后把每個備選方案（或人）的所有得分加總，最高得分的備選方案（或人）得以通過。這種“多票制，一人獲勝”的決定規(guī)則，也被稱為“偏好次序表決法”。

西方博弈論著名專家迪克西特在其代表作《策略博弈》中， 闡述了博爾達(dá)計分法的典型模型［3］405：A、B、C三個候選人，參與投票者100人，其投票偏好順序見表1。如果采取投票者的第一偏好進(jìn)行選擇，那么40人贊成A，25人贊成B，35人贊成C。根據(jù)多數(shù)投票規(guī)則，A獲票數(shù)最多而獲勝。但可以明顯看出，A并沒有獲所有人的多數(shù)（50%+1），即100人中僅占40%的比例，甚至還有一半以上的反對者（60%）。因此，博爾達(dá)提出修改完善方法，即“博爾達(dá)計分法”（多票制，一人獲勝方式）。

在這一經(jīng)典模型中可以看出，如果運(yùn)用多數(shù)投票規(guī)則（相對多數(shù)）進(jìn)行投票表決，其結(jié)果是A當(dāng)選（相對多數(shù)，少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則）。而運(yùn)用博爾達(dá)計分法進(jìn)行投票表決，其結(jié)果就會發(fā)生變化。根據(jù)100人參與投票偏好排序，A有40票排序?yàn)榈谝唬?0票排序?yàn)榈谌?0×3＋60×1=180分；B有25票排序?yàn)榈谝唬?5票排序?yàn)榈诙?5×3＋75×2=225分；C有35票排序?yàn)榈谝唬?5票排序?yàn)榈诙?0票排序?yàn)榈谌?5×3＋25×2＋40×1=195分。 這樣，A、B和C分值分別為180分、225分和195分。B得分最高而獲勝。運(yùn)用博爾達(dá)計分法出現(xiàn)的投票結(jié)果，與多數(shù)投票規(guī)則出現(xiàn)的投票結(jié)果不同，其重要原因是因?yàn)椴栠_(dá)計分法更能體現(xiàn)投票的層次性、均衡性和公平性。所以，博爾達(dá)計分法是一種非常有效的投票規(guī)則，也是一種很簡單的“價值形式”，其操作性、實(shí)踐性、認(rèn)同性和公允性等均非常之強(qiáng)。

表1 投票者偏好分布

二、博爾達(dá)計分法的特征及其博弈分析

投票體現(xiàn)民主，而民主的根本含義，在于盡可能反映所有人偏好，而不是“50%+1”偏好，也不是相對多數(shù)偏好，更不是獨(dú)裁者偏好（“多數(shù)暴政”）。也就是說，首先，考慮“反映所有人偏好”（全體一致規(guī)則，難以實(shí)施）；其次，考慮“反映更多人偏好”（博爾達(dá)計分法，較好實(shí)施）；再次，考慮“反映多數(shù)人偏好”（多數(shù)投票規(guī)則〈包括相對多數(shù)規(guī)則〉，很好實(shí)施）。在社會踐行中，更多地采用多數(shù)投票規(guī)則。而博爾達(dá)計分法（多票制，體現(xiàn)更多人偏好）與多數(shù)投票規(guī)則（一票制，體現(xiàn)多數(shù)人偏好）相比較，其層次性、均衡性和公平性等特征，反映更多人的投票偏好，顯得更為公平性、民主性、科學(xué)性和合理性。

（一）博弈策略：博爾達(dá)計分法的層次性

博弈策略探討最佳策略、優(yōu)勢策略、滿意策略和劣勢策略如何進(jìn)行選擇［4］102（選擇優(yōu)勢策略，淘汰劣勢策略）。博弈策略說明，選擇不僅僅在“好”與“壞”的選擇，投票過程更應(yīng)體現(xiàn)漸進(jìn)性、客觀性和全面性等要素。

1.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者漸進(jìn)層次的偏好。數(shù)學(xué)家唐納德·薩里（Donald Saari）說：“任何兩個候選人的社會相對排序可以僅由每個選民在該對中的相對排序和這種排序的強(qiáng)度加以確定?！保?］409博爾達(dá)計分法的關(guān)鍵就是偏好的層次性、漸進(jìn)性，即通過顯示偏好強(qiáng)弱大小的邏輯順序進(jìn)行選擇。人的投票偏好不僅是“贊成”與“反對”二維度、二層次的選擇，而是多維度、漸進(jìn)性的選擇。猶如面對“蘋果”“香蕉”“梨子”“葡萄”“荔枝”等水果，假設(shè)選擇“蘋果”，那么是不是就“討厭”其他水果呢？顯然不是，只是說明最偏好“蘋果”而已。而多數(shù)投票規(guī)則的偏好選擇只有一種（一票制，一人獲勝）抉擇，不能有多種抉擇，所以無法體現(xiàn)投票者的漸進(jìn)偏好。甚至現(xiàn)實(shí)社會中還有在推薦村黨支部書記時，采取黨員一人一票、群眾一戶一票［5］。博爾達(dá)計分法的選擇規(guī)則是“多票制”，即可以首先選擇“ 蘋果”（5分），依次選擇“ 香蕉”（4分）、“ 梨子”（3分） 、“ 葡萄”（2分） 、“ 荔枝”（1分） ，充分體現(xiàn)了投票偏好的漸進(jìn)性。因?yàn)樵谠S多情況下，人們對第一選擇和第二選擇其偏好差別程度甚微，即有可能是“100分”與“99分”的微小差異，甚至帶有很大的隨機(jī)性。所以，按照多數(shù)投票規(guī)則，最終的投票結(jié)果顯得比較極端（非此即彼），而博爾達(dá)計分法所產(chǎn)生的投票結(jié)果，反映出投票者的不同漸進(jìn)偏好。

2.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者較為客觀的偏好。美國前總統(tǒng)林肯曾說：幾乎沒有什么事情是百分之百的好或壞。但是，“幾乎絕對多數(shù)正式投票都是在一種簡單的贊成或反對之間進(jìn)行選擇”［6］51。從人的心理本能分類：一種為精細(xì)類，如溫度可從1—100攝氏度（甚至零下），而現(xiàn)實(shí)社會中，往往劃分為“ 燙”、“ 溫”、“ 冷”和“ 冰”等類型（較精細(xì)分類）；另一種為極端類，如水溫度為“ 燙”或“ 冷”，事物分為“ 好”與“ 壞”，態(tài)度分為“ 贊成”與“ 反對”、“ 肯定”與“ 否定”、“ 合作”與“ 非合作”等類型。如果用百分制表達(dá)，就相當(dāng)于給A投“贊成”票，即給100分，而給B投“ 反對”票，即給0分（甚至是負(fù)100分）。 投票者的偏好會有這么大嗎？顯然，這種投票規(guī)則反映投票者的偏好不夠客觀、不盡合理、不能真實(shí)地反映投票者的偏好。其實(shí)，投票偏好除了“贊成”“反對”兩個方面，還有“非常贊成”“比較贊成”“非常反對”“比較反對”等方面。投票偏好規(guī)律顯示：投票選擇層次越多，偏好整合越客觀，投票信息越精細(xì)；相反，投票選擇層次越少，偏好整合相對主觀，投票信息較籠統(tǒng)。而客觀性越強(qiáng)的投票（即博爾達(dá)計分法），其投票結(jié)果的真實(shí)性、客觀性和合理性也就越強(qiáng)；相反，則越弱（多數(shù)投票規(guī)則）。

3.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者全面綜合的偏好。博爾達(dá)計分法綜合了所有投票者的偏好順序，進(jìn)行加分、匯總、排序，較為全面地考慮所有投票者的更多信息，較為全面地整合了投票者的所有偏好。如中國古代科舉中的考試閱卷制度，就較為充分地印證了這種思想：“一份考卷通常由八位主考官批閱。讀卷官閱卷后，用○△·|×（卷、尖、點(diǎn)、直、叉）五等加以標(biāo)志，及最后總核，多推首席任之，個人隨同參加意見，大抵前列者必八人皆圈，其有加尖加點(diǎn)者甲第必后?！保?］379一份試卷，八位考官閱卷，即考官分別給考卷評分，且采取分等辦法，即第一等相當(dāng)于5分，第二等相當(dāng)于4分，第三等相當(dāng)于3分，第四等相當(dāng)于2分，第五等相當(dāng)于1分，然后進(jìn)行綜合評價。這樣，較為全面地、綜合地整合了八位考官對每位考生的偏好，這種考試閱卷評分方法，充分印證了博爾達(dá)計分法的合理內(nèi)核，既有理論依據(jù)，又具有可操作性。

（二）博弈均衡：博爾達(dá)計分法的均衡性

博弈均衡探討博弈選擇時并不是“非此即彼”的抉擇，而是在博弈者之間不斷均衡過程中而實(shí)現(xiàn)的。博弈均衡說明，投票結(jié)果是在不斷均衡過程中而產(chǎn)生的，投票過程更應(yīng)體現(xiàn)均等、時效和民主等要素。

1.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者均等的偏好。多數(shù)投票規(guī)則體現(xiàn)分化（二分方法）、極端（無漸進(jìn)性）和偏袒（非此即彼），反映多數(shù)人某個信息點(diǎn)偏好和個人單一偏好，帶有較強(qiáng)的主觀性。博爾達(dá)計分法體現(xiàn)和諧、中庸和均衡，反映更多人的全面信息偏好和個人偏好層次，較為客觀地反映投票者的偏好。唐斯（A.Downs）在《民主的經(jīng)濟(jì)理論》探討投票者偏好時說，反映中間投票人意愿的那種政策會最終獲勝［8］。所謂中間投票者就是對方案持中立偏好的人。也就是說，任何一個組織，要想獲得更多人投票者的選票，必須使自己的方案更加符合中間投票者的偏好，也被稱為“中間投票者定理”。其實(shí)，在現(xiàn)實(shí)投票過程中，更多地反映出霍特林均衡［9］（霍特林模型）：所謂霍特林均衡，是指在一個1000米的沙灘上，兩個小商販賣商品的位置，一個在250米處，一個在750米處，其收益是均等的。假設(shè)商販A將其位置由250米處往前移動100米（即350米處），那么，就意味著其收益高于商販B；商販B也可以將其位置向前移動100米（即650米處），此時，商販A和商販B的收益又均等了。二人不斷地移動位置，最后在500米處找到了均衡點(diǎn)（見圖1），這種均衡被稱為非合作均衡（納什均衡）。許多現(xiàn)象都屬于非合作均衡，如在西方兩黨政治制度中，為什么政治傾向越來越“傾同”，城市中的超市為什么都集中在中心地區(qū)，農(nóng)貿(mào)市場的攤位為什么是定期輪流交換位置，中小學(xué)學(xué)生的座位為什么是定期輪流換位。投票偏好的整合，其實(shí)也是一種霍特林均衡狀態(tài)。因?yàn)槿藗兊耐镀逼檬且环N漸進(jìn)的，不是“非此即彼”的選擇，人們的投票偏好是一種均衡的，即在不斷博弈過程中達(dá)到均衡的選擇結(jié)果。

圖1 霍特林模型圖

2.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者時效的偏好。投票規(guī)則的選擇，涉及諸多因素，而最為重要的因素之一——時效。按照博弈均衡理論，投票時效性最高，很好地整合投票者偏好，即為均衡，否則，投票時效性較低，不易整合投票者偏好，即為非均衡。投票時效性體現(xiàn)在兩個方面：一是投票過程所耗費(fèi)的時間。全體一致投票規(guī)則，所耗費(fèi)的時間最多。博爾達(dá)計分法，所耗費(fèi)的時間相對較少。多數(shù)投票規(guī)則，所耗費(fèi)的時間較少。獨(dú)裁者投票規(guī)則，所耗費(fèi)的時間最少。二是投票結(jié)果所產(chǎn)生的效益。全體一致規(guī)則，投票偏好一致，效益最高。博爾達(dá)計分法，投票偏好相對一致，效益較高。多數(shù)投票規(guī)則，投票偏好比較一致，效益比較高。“獨(dú)裁者”投票規(guī)則，投票偏好一致，效益高。就時間和效益而言，全體一致規(guī)則和獨(dú)裁者規(guī)則都不太現(xiàn)實(shí)，所以都較少使用這兩種投票規(guī)則。博爾達(dá)計分法，所耗費(fèi)的時間比多數(shù)投票規(guī)則略高點(diǎn)，所產(chǎn)生的效益比多數(shù)投票規(guī)則略好些。綜合評判，博爾達(dá)計分法是值得選擇的一種投票方式方法，也理應(yīng)成為一種常態(tài)型的投票規(guī)則。

3.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者民主的偏好。全體一致投票規(guī)則，時效不高但非常民主，可達(dá)到帕累托最優(yōu)狀態(tài)。多數(shù)投票規(guī)則，時效次之但較為民主?！蔼?dú)裁者”投票規(guī)則，時效最高但不民主。在現(xiàn)實(shí)社會中，人們更多地拋棄了極端的全體一致投票規(guī)則和獨(dú)裁者投票規(guī)則，而采用了多數(shù)投票規(guī)則。但是，現(xiàn)代政治學(xué)家、投票專家鄧肯·布萊克（Duncan Black）在《委員會和選舉理論》說，通過適當(dāng)限制個人偏好以適應(yīng)某種模式，很可能會產(chǎn)生一種均衡的投票結(jié)果。也就是說，博爾達(dá)計分法與多數(shù)投票規(guī)則比較，就其民主性而言，博爾達(dá)計分法高于多數(shù)投票規(guī)則。巴哈拉德和尼燦（2001）證明：博爾達(dá)規(guī)則考慮投票者偏好的計分規(guī)則，比起諸如多數(shù)投票規(guī)則和簡單多少規(guī)則等要高級得多［10］171。由于存在三個或以上的方案選擇時，投票過程可能因某個投票者隱藏個人偏好，使投票過程受到操控。因此，薩里（1990）談到：博爾達(dá)計分法能夠使成功操控的概率最小或者接近最小［10］172。一直標(biāo)榜最為民主的美國總統(tǒng)選舉，也曾出現(xiàn)過四次以少勝多案例［11］。假設(shè)這四次選舉采用博爾達(dá)計分法，則不會出現(xiàn)這種奇特的現(xiàn)象。因?yàn)?，博爾達(dá)規(guī)則，對投票結(jié)果進(jìn)行成功操控的可能性會隨著投票人數(shù)的增加而減少。所以，就民主性而言，博爾達(dá)計分法應(yīng)該成為一種常態(tài)型的投票方式；相反，多數(shù)投票規(guī)則應(yīng)該成為一種非常態(tài)型的投票方式。

（三）博弈價值：博爾達(dá)計分法的公平性

博弈價值［4］254探討博弈的價值取向、目標(biāo)愿景。投票的價值取向、目標(biāo)愿景不同，投票結(jié)果不一。博弈價值說明，投票過程更應(yīng)體現(xiàn)公允性、多元性和正義性等要素。

1.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者公允性的偏好。投票規(guī)則既要避免少數(shù)人的暴政，體現(xiàn)民主性，也要避免多數(shù)人的暴政，體現(xiàn)公允性。博爾達(dá)在《論投票形式》中明確地表述：多數(shù)票規(guī)則可能使不該當(dāng)選的候選對象當(dāng)選［1］285。其表現(xiàn)形式有兩個：一是不該當(dāng)選的人當(dāng)選；二是出現(xiàn)“交易性投票”。筆者曾經(jīng)在本校學(xué)術(shù)委員會選擇學(xué)術(shù)帶頭人時，進(jìn)行過探索實(shí)踐。以前學(xué)校選擇學(xué)術(shù)帶頭人等類似的事情，均按慣例采取多數(shù)投票規(guī)則，但有可能存在“交易性投票”，投票結(jié)果存在多數(shù)人之“否定”的情況。因此，筆者提議采用博爾達(dá)計分法進(jìn)行投票抉擇。此次投票結(jié)果得到絕大多數(shù)學(xué)術(shù)委員的高度“認(rèn)同”，認(rèn)為代表了公平公允的意愿。其實(shí)，博爾達(dá)計分法較好地體現(xiàn)了更多人的偏好，且較為有效地避免了“交易性投票”行為，最為全面地、平等地反映所有選票中的信息，因而更能產(chǎn)生平等性的投票結(jié)果，體現(xiàn)出投票的公平公允。

2.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者多元性的偏好。民主的根本含義是盡可能反映所有人偏好，而不是只體現(xiàn)“多數(shù)人”偏好，甚至是相對多數(shù)偏好（＞50%）。多數(shù)投票規(guī)則（少數(shù)服從多數(shù)）并不一定體現(xiàn)“民主”，如希特勒立憲屠殺猶太人就是典型的“多數(shù)暴政”。運(yùn)用絕對多數(shù)規(guī)則（見表1），無法產(chǎn)生出一個投票結(jié)果（因?yàn)锳、B、C都＞50%）。而如果采取相對多數(shù)投票規(guī)則，A會勝出（因?yàn)锳＞B＞C）。采用相對多數(shù)投票規(guī)則，表面上看A占40%的贊成票（相對多數(shù)票），但是，多數(shù)人（60%）是投“反對票”，所以，A當(dāng)選，顯然有失公允。也就是說，如按每人贊成票為100分，反對票也為-100分。A的贊成分為4000分，反對分為負(fù)6000分，4000-6000=-2000分，即40%贊成-60%反對=20%反對。這種人（A）當(dāng)選，就相當(dāng)于反對他的人比贊成他的人更多，明顯沒有體現(xiàn)更多人的偏好。無論從理論上講，還是從實(shí)踐上看，博爾達(dá)計分法雖然不能反映所有人的偏好，但能實(shí)現(xiàn)更多人的偏好。

3.博爾達(dá)計分法體現(xiàn)了投票者正義性的偏好。投票的正義性應(yīng)該體現(xiàn)投票的合法性和合理性。否則，無法體現(xiàn)投票的民主性和科學(xué)性，從而導(dǎo)致交易性投票（衡陽賄選案），甚至?xí)蔀閺?qiáng)權(quán)的道具和專制的工具（如蘇格拉底被多數(shù)人判決“處死”）。筆者曾經(jīng)做過兩次投票比較實(shí)驗(yàn)：課堂中投票選擇“科代表”。第一次采取多數(shù)投票規(guī)則進(jìn)行投票，第二次采取博爾達(dá)計分法進(jìn)行投票。兩次投票結(jié)果不一樣：第一次選出的是學(xué)生干部，第二次選出的是普通學(xué)生。雖然事小，但說明一些問題。前者體現(xiàn)官本位劣根，后者體現(xiàn)平等正義。有人曾對實(shí)驗(yàn)提出異議，“是否帶有一定的偶然性”。于是，筆者又進(jìn)行過第二次實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相同。因?yàn)檫\(yùn)用博爾達(dá)計分法選擇的科代表是更多人認(rèn)同的，沒有了“官本位”的思想。投票結(jié)果真正地反映了投票者發(fā)自內(nèi)心的意愿，所以，這樣選擇出來的科代表，履職效果尚佳。博爾達(dá)計分法最為客觀、真實(shí)地反映投票者的信息，因而能產(chǎn)生合法合理的投票結(jié)果，而體現(xiàn)出公平正義。

三、博爾達(dá)計分法的適用范圍及其局限

博爾達(dá)計分法：一是從程序上思考，相對全面地、真實(shí)地反映了投票者的所有信息，體現(xiàn)其真實(shí)偏好。二是從效果上思考，相對充分、全面和準(zhǔn)確地體現(xiàn)出更多人的投票者偏好，顯得更為合民意、更為有效；從合理上思考，當(dāng)群體利益較一致時，選舉出一個公認(rèn)的候選人。三是當(dāng)群體利益有所不同時，選舉出一個多數(shù)人認(rèn)同的候選人；當(dāng)群體利益相沖突時，選舉出一個相對多數(shù)贊同的候選人。所以說，博爾達(dá)計分法的適用范圍非常廣，但也具有一定的局限性。

（一）博爾達(dá)計分法的適用范圍

人們往往都按照一種習(xí)慣而行事，投票也是如此。長期以來，絕大多數(shù)情況都習(xí)慣運(yùn)用多數(shù)投票規(guī)則于各個方面、各個領(lǐng)域，且成為一種常態(tài)型投票方式。其實(shí)，由于博爾達(dá)計分法的層次性、均衡性和綜合性特征，其適用范圍也非常廣，許多方面、許多領(lǐng)域都適合運(yùn)用該投票規(guī)則進(jìn)行抉擇。

1.學(xué)術(shù)評價。博爾達(dá)計分法最早運(yùn)用就是在1784年法國科學(xué)院院士的投票。在現(xiàn)實(shí)社會中，評定職稱時的排序投票、學(xué)術(shù)推薦時的排序投票，根據(jù)高位高分、低位低分原則投票打分，均可運(yùn)用博爾達(dá)計分法進(jìn)行，且相對公允。

2.活動評選。德國布萊門大學(xué)決定機(jī)器人的獲勝者、澳大利亞評選獲獎的酒、歐洲電視歌賽評定比賽結(jié)果和北美決定體育排名或體育獲獎?wù)叩榷歼\(yùn)用博爾達(dá)計分法。在現(xiàn)實(shí)社會中，許多活動評選大多采取少數(shù)服從多數(shù)原則（“一票制”，一人獲選）進(jìn)行投票，如娛樂活動、體育活動和專題活動等，即采取幾位專家投票，然后采取少數(shù)服從多數(shù)進(jìn)行篩選。其實(shí)，這些活動評選均可采取博爾達(dá)計分法，可以避免專家投票時（選A或選B的單一選擇）的“尷尬”。

3.官員選舉。古羅馬（公元105年）參議員的投票、斯洛文尼亞選舉議會的少數(shù)民族代表、北愛爾蘭協(xié)助政治團(tuán)體直接的談判妥協(xié)、瑙魯選舉總統(tǒng)候選人、哈佛大學(xué)、洛杉磯加州大學(xué)、密蘇里大學(xué)、南伊利諾伊大學(xué)、亞利桑那州立大學(xué)、威廉與瑪麗學(xué)院和威頓學(xué)院等運(yùn)用博爾達(dá)計分法選舉領(lǐng)導(dǎo)［7］380-381。現(xiàn)實(shí)社會中，機(jī)關(guān)企事業(yè)單位、學(xué)校、研究院的領(lǐng)導(dǎo)選舉，都可以采取博爾達(dá)計分法進(jìn)行投票（體現(xiàn)民意），然后作為黨委重要依據(jù)，進(jìn)行最終抉擇。

4.組織推薦。中共（黨組織）“入黨積極分子”選擇的投票：黨支部在一定時期推舉“入黨積極分子”的培訓(xùn)學(xué)習(xí)。如在9人中選擇4人，即要求所以黨員投票時，只能選擇4人（多選無效），并進(jìn)行排序。在每張票中，排第一位記4分，第二位記3分，第三位記2分，第四位記1分。然后，將所有的票進(jìn)行統(tǒng)計、記分、加總。這樣，運(yùn)用博爾達(dá)計分法避免了出現(xiàn)同樣的票數(shù)，而無法排序的復(fù)雜情景。這種選擇即為多票制，多人獲選方式。

5.非官方選舉。英國的天普可持續(xù)設(shè)計協(xié)會選舉協(xié)會領(lǐng)導(dǎo)、社團(tuán)組織選舉官員等都運(yùn)用博爾達(dá)計分法。在現(xiàn)實(shí)社會中，如非政府組織領(lǐng)導(dǎo)、項(xiàng)目活動領(lǐng)導(dǎo)、臨時性組織領(lǐng)導(dǎo)，在選舉時，都可采用博爾達(dá)計分法。筆者曾經(jīng)做過一個“學(xué)習(xí)科代表”選舉實(shí)驗(yàn)：在碩士研究生課程學(xué)習(xí)中，選擇科代表。首先運(yùn)用多數(shù)投票規(guī)則進(jìn)行選舉，其選擇結(jié)果是學(xué)生干部被選中。然后運(yùn)用博爾達(dá)計分法投票規(guī)則進(jìn)行選舉，其選擇結(jié)果是非學(xué)生干部或非“權(quán)威人士”被選中，這種投票結(jié)果大家都感覺有點(diǎn)“意外”。因此，筆者又進(jìn)行過同樣實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相同。

（二）博爾達(dá)計分法的局限性

各種投票規(guī)則都有其公平性、民主性、科學(xué)性和合理性等因素，同時也有其局限性。同理，博爾達(dá)計分法也隱含了投票規(guī)則中的三大難題（局限性）。

1.投票偏好必須是誠實(shí)的。即投票者誠實(shí)地表達(dá)自己偏好順序。18世紀(jì)第一次對投票的誠實(shí)性進(jìn)行討論時，博爾達(dá)非常明確地表示：“我的制度（博爾達(dá)計分法）只適用于誠實(shí)的投票者?！保?］3991972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者肯尼思·阿羅在《社會選擇和個人價值》中也指出：其理論只適應(yīng)于投票人根據(jù)他們的真實(shí)偏好進(jìn)行投票的情況。而在現(xiàn)實(shí)投票中，一方面多數(shù)人往往只對“最好”和“最壞”偏好進(jìn)行選擇，不會用心地去排列其他人的順序偏好，對所有投票對象并沒有一個真正的偏好結(jié)構(gòu)；另一方面，還可能存在交易性投票?，F(xiàn)代投票理論專家塔洛克在《論多數(shù)票的幾個問題》中說：“投票人之間在投票表決的內(nèi)容方面進(jìn)行的相互交易，表現(xiàn)為投票人將投票贊成他們實(shí)際上反對但反對不強(qiáng)烈的候選對象，以換取其他人投票支持他們想要得到的候選對象。 ”［2］譯者序：11交易性投票使投票的公平性、民主性大打折扣。從理論上講，人們都會誠實(shí)地表達(dá)自己的意愿，不存在交易性投票，即按照自己的意愿進(jìn)行自由的排列偏好次序。從現(xiàn)實(shí)上講，因素種種，難免不出現(xiàn)交易性投票。這種交易性投票，使投票結(jié)果偏離了公平和民主。

2.投票結(jié)果受第三者影響?！叭藗兒苌傺芯康囊环N投票悖論是在選民的偏好順序后面刪除或增加一個候選對象對選舉結(jié)果的影響”［6］34。在投票過程中，當(dāng)投票者對兩個候選人的偏好相差無幾時，第三個候選人的介入，會分裂部分選票，從而使投票結(jié)果發(fā)生變化。經(jīng)典案例：陳水扁從政生涯與三次選舉中出現(xiàn)“小三”（第三者）有關(guān)，造成了“不該出現(xiàn)的事”（陳水扁當(dāng)選）；1992年美國老布什輸?shù)舸筮x（佩羅特參與），2000年戈?duì)栞斀o布什（納德參與）［4］172-176，都因“ 第三者”而左右了投票結(jié)果，投票專家把它稱為“錯誤的人當(dāng)選”?！暗谌摺钡某霈F(xiàn)，既有偶然的因素造成，也有人為的因素造成，陳水扁三次選舉與人為因素相關(guān)，即當(dāng)時李登輝有意“設(shè)局”的結(jié)果。所以，阿羅認(rèn)為：所有投票方式都存在這種現(xiàn)象，第三者影響投票結(jié)果，并稱之為“非相關(guān)候選人對象缺乏獨(dú)立性”［2］譯者序：3。 博爾達(dá)計分法與多數(shù)投票規(guī)則一樣，都避免不了這樣的結(jié)果。由此，阿羅針對“孔多塞悖論”［12］，提出“不可能”定理：在非獨(dú)裁的情況下，任何一個體系，若要將人們對三個或三個以上的選擇作出一項(xiàng)集體抉擇，不存在任何加總社會個體成員偏好的方法。

3.會出現(xiàn)反“少數(shù)服從多數(shù)”的投票結(jié)果。少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則，有兩種情況：一是少數(shù)服從“50%+1”的情況；二是少數(shù)服從相對多數(shù)的情況。后者尤為典型，1986年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者布坎南的投票經(jīng)典模型［13］：在199×199=39601的社會中，只要有10000人（總數(shù)1/4多100人），即成為多數(shù)。反“少數(shù)服從多數(shù)”現(xiàn)象，既會出現(xiàn)在前者，也會出現(xiàn)在后者；不僅會出現(xiàn)在多數(shù)投票規(guī)則，還會出現(xiàn)在博爾達(dá)計分法。在100人的選舉中，有A、B、C三個候選人，如采取少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則進(jìn)行投票選擇，A成為多數(shù)而當(dāng)選。如采取博爾達(dá)計分法進(jìn)行投票選擇（見表2），A：51×3＋49×1=202分；B：35×3＋65×2=235分；C：14×3＋35×2＋51×1=163分。投票結(jié)果：A被擊敗，B勝出。A的優(yōu)勢在于第一偏好票，而劣勢在于第二偏好票；而B的優(yōu)勢在于第二偏好票，而劣勢在于第一偏好票。也就是說，運(yùn)用博爾達(dá)計分法，投票結(jié)果是B會勝出，由此出現(xiàn)反“少數(shù)服從多數(shù)”的投票結(jié)果。這種反“少數(shù)服從多數(shù)”現(xiàn)象，從表面上看，顯得有失公平、民主，但從實(shí)質(zhì)上看，它更為公平、民主。正如阿羅所說：“絕對公平的選舉是不可能實(shí)現(xiàn)的。 ”［14］

綜上所述，無論哪種投票規(guī)則，都各有利弊，按其投票公平性、民主性、科學(xué)性和合理性的要義而言：事先確定投票規(guī)則、兼顧更多人意愿和投票規(guī)則的一致性，顯得尤為重要；按其投票意愿和偏好，全體一致規(guī)則居其首位——反映所有人的意愿（難以實(shí)施），博爾達(dá)計分法居其中——反映更多人的意愿（較好實(shí)施），多數(shù)投票規(guī)則居其次之——反映多數(shù)人的意愿（較好實(shí)施），獨(dú)裁者規(guī)則居其末尾——反映極少人的意愿（很好實(shí)施）。如果放棄“難以實(shí)施”的全體一致規(guī)則，摒棄“很好實(shí)施”的獨(dú)裁者規(guī)則，采用“較好實(shí)施”的博爾達(dá)計分法和多數(shù)投票規(guī)則。相比而言，博爾達(dá)計分法能夠“反映更多人的意愿”，而多數(shù)投票規(guī)則僅能“反映多數(shù)人的意愿”，按照投票的公平性、民主性、科學(xué)性和合理性之內(nèi)核，博爾達(dá)計分法理應(yīng)成為一種常態(tài)型的投票規(guī)則，而不是非常態(tài)型的投票規(guī)則。

表2 偏好分布

［1］伊特韋爾，米爾蓋特，紐曼.新帕爾格雷夫經(jīng)濟(jì)學(xué)大詞典：第1卷［K］.翻譯編輯委員會.北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1996.

［2］馬克思.資本論：第1卷［M］.北京:人民出版社,1998：62.

［3］阿維納什·迪克西特，蘇珊·斯克絲.策略博弈［M］.蒲勇健，譯.北京：中國人民大學(xué)出版社，2009.

［4］陳建先.現(xiàn)代領(lǐng)導(dǎo)博弈思維［M］.北京:國家行政學(xué)院出版社，2013.

［5］任中平，毛振軍.黨內(nèi)基層民主發(fā)展模式的比較研究——以四川新都區(qū)和山東乳山市為例［J］.探索，2014，（1）：28-34.

［6］戈登·塔洛克.論投票［M］.李政軍，楊蕾，譯.成都:西南財經(jīng)大學(xué)出版社，2007.

［7］趙心樹.選舉的困境［M］.成都：四川人民出版社，2011.

［8］楊燦明，李景友.公共部門經(jīng)濟(jì)學(xué)［M］.北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2003：248.

［9］陳建先.博弈的樂趣［M］.北京:中國言實(shí)出版社,2013：129.

［10］丹尼斯·C.繆勒.公共選擇理論［M］.韓旭，楊春學(xué)，譯.北京:中國社會科學(xué)出版社，2010.

［11］陳建先.現(xiàn)代民主規(guī)則與投票的博弈分析［J］.人民論壇，2012，（15）：20-26.

［12］鄒艷.群體決策中的多階段投票選擇方法［M］.成都：西南交通大學(xué)出版社，2012：25.

［13］詹姆斯·布坎南，戈登·圖洛克.同意的計算［M］.陳光金，譯.上海：上海人民出版社，2014：216.

［14］胡衛(wèi)群，盛立人，肖箭，等.選舉幾何學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2011：扉頁.