肖 剛

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041）

月球探測是一個龐大的工程，包含了諸多的關(guān)鍵技術(shù)，其中月球探測器軟著陸是一項極其關(guān)鍵的技術(shù)[1]．月面軟著陸要求探月器以很小的相對速度著陸在月面上．探月器靠改變發(fā)動機推力，完成中途修正、近月制動、動力下降、懸停段等軟著陸任務(wù)．軟著陸問題需要對探測器軌道優(yōu)化，實現(xiàn)對探測器進行最優(yōu)控制，關(guān)鍵是找到最優(yōu)飛行軌跡和推力大小與方向的時間歷程[2，3]．軟著陸控制問題可以描述為兩點邊值問題[2]．對于兩點邊值問題，通常難以求得最優(yōu)控制規(guī)律的解析表達式．因此，必須借助數(shù)值計算方法，利用計算機反復(fù)迭代計算，直到獲得滿意的結(jié)果[4-7]．目前求解兩點邊值問題有很多方法可以利用，例如共軛函數(shù)法、補足函數(shù)法，掃描法、遺傳算法等[4-8]．本文把控制變量離散化，利用拉格朗日原理把兩點邊值問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，應(yīng)用非線性規(guī)劃求解月球軟著陸最優(yōu)控制問題．仿真結(jié)果表明，本文的方法是有效的．

1 軟著陸動力學(xué)模型

假設(shè)月球引力場均勻，忽略月球自轉(zhuǎn)，建立著陸坐標系如圖1所示．其中O 為月心，OY 軸從月心指向近月點，OX 垂直于OY ．r 為探測器月心距，θ 為OY 與r 矢徑的夾角． ψ(t)為矢徑r 垂線到發(fā)動機推力方向的夾角；F(t)為發(fā)動機推力，月球探測器質(zhì)心運動方程為[9]

圖1月球的軟著陸極坐標系

其中v 是探測器在矢徑r 方向上的速度；ω 是探測器方位角θ 的角速度；m 是探測器質(zhì)量； μ 是月球引力常數(shù)；C 為制動火箭的排氣速度，是一個常值．

軟著陸的初始條件由探測器在橢圓軌道近月點處的狀態(tài)確定

探測器在到達月面時實現(xiàn)軟著陸，到達目標點應(yīng)有如下終端條件

其中rf是月心到目標點的距離，vf為探測器到達目標點的速度，ωf為探測器到達目標點的角速度．

2 耗燃最優(yōu)控制設(shè)計

按照耗燃最優(yōu)的要求，著陸器軟著陸過程性能指標為

基于燃料消耗最少的最優(yōu)控制模型可以描述為

探測器對F 與ψ 是分段控制的，可對問題（4）的控制變量F 與ψ 進行離散化，對離散化參數(shù)進行優(yōu)化，從而得到最優(yōu)軌跡．具體步驟如下：把連續(xù)時間段[t0,tf]平均分為N 段[ti-1,ti]，i=1,2,…,N ，每個時間段F 與ψ 為常數(shù)Fi與ψi，利用拉格朗日最優(yōu)化原理，把問題（4）轉(zhuǎn)化為含有N個變量Fi，N個變量ψi，以及變量tf，λ1，λ2和λ3的非線性優(yōu)化問題．設(shè)則非線性優(yōu)化問題可以描述為

3 仿真結(jié)果

設(shè)月球引力常數(shù)μ=4.9×1012m2/s2；比沖C=2 940 m/s ； r(0)=15 000 m ； v(0)=1 712 m/s ；θ(0)=0； ω(0)=9.7×10-4；m(0)=2 400 kg；把連續(xù)時間段[t0,tf]平均分為10 段，用軟件MATLAB 求解非線性規(guī)劃問題（5）（程序見附錄），可以得到發(fā)動機燃料消耗最少為1 061.11 kg，飛行的時間為415 s．

表1給出了控制變量Fi,ψi仿真的最優(yōu)值，可以看出，燃耗最優(yōu)軌道為一條始終制動的軌道，制動期間，發(fā)動機始終以最大推力進行工作，推力方向角變化逐漸變大，符合工程實際．

表1 控制變量Fi,ψi 的取值

圖2為仿真最優(yōu)下降軌線，可以看出，在著陸軌道上，探測器飛行的高度先緩慢減小，后加速減小；飛行的距離先加速增大，后緩慢增大；探測器飛行的速度呈直線變化減少．探測器的質(zhì)量呈直線變化不斷減少，即推動機不斷做功，燃料不斷消耗，到達海拔3 000米處的的質(zhì)量為1 339 kg．

圖2 軟著陸最優(yōu)軌線

4 結(jié)論

在月球探測器月面軟著陸問題研究中，建立探測器在二維空間飛行的動力學(xué)模型．以軟著陸終端狀態(tài)為優(yōu)化指標，考慮著陸點位置和速度約束，利用拉格朗日最優(yōu)化原理，把兩點邊值問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題．通過參數(shù)優(yōu)化，得到了滿足終端約束的一組最優(yōu)控制參數(shù)，同時得到了探測器軟著陸的最優(yōu)軌線，實現(xiàn)探測器的軟著陸．

[1]單永正，段廣仁，呂世良．月球探測器軟著陸的最優(yōu)控制[J]．光學(xué)精密工程，2009，17（9）：2153-2158．

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[5]王劼，李俊峰，崔乃剛，等．登月飛行器軟著陸軌道的遺傳算法優(yōu)化[J]．清華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，43（8）：1056-1059．

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[8]梁新剛，楊滌．應(yīng)用非線性規(guī)劃求解異面最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移問題[J]．宇航學(xué)報，2006，27（3）：363-368．

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