陳滿春，黃若婷，莊方敏，李婷爽

（韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 潮州 521041）

1 引言

設(X，d)是一個度量空間，cld(X)是由X 所有非空子集構成的集族．

對任意A,B ∈cld(X)．

其中Bd(A,t)={x ∈X|d(x,A)＜t}．

當X是緊，dH是cld(X)上的一個度量，稱為Hausdorff度量，其誘導出的拓撲稱為Hausdorff度量拓撲．用USC(X)表示X 到單位區(qū)間I 上的所有上半連續(xù)函數(shù)之集，用C(X)表示X 到I 的所有連續(xù)函數(shù)之集．對任意f ∈USC(X) ，令↓f={(x,t)| 0 ≤t ≤f(x), x ∈I}．即↓f 為f 的下方圖形．對任意A ∈USC(X),↓A={↓f|f ∈A}，顯然↓f ∈cld(X)．因此，↓USC(X)和↓C(X)是cld(X)的子集，可對它們賦予Hausdorff度量拓撲．

文獻[1]-[7]研究了↓USC(X)和↓C(X)的拓撲結構，得到了不少研究成果．其中包括下面一個重要的結論：

定理A 設X 為一個可分緊度量空間，則↓USC(X)≈（同胚于） Q，其中Q=[-1,1]∞為希爾伯特方體．

設s=[-1,1]∞，它是Q 的重要子空間．設S*={1/n:n ∈N+}為一收斂數(shù)列．用K 表示從區(qū)間(0,1]到[0,1]且分段點之集為S*的分段線性連續(xù)函數(shù)全體（如圖1）．

對K 中的每個函數(shù)補充其在0 點的函數(shù)值為其上極限，得到一個新的集合L ，它是USCL={f ∈USC(I)f|(0,1]∈K}的子集．

圖1 K 中的一個元素

令G={f ∈USCL|f(0)=O}．對↓USCL,↓G,↓L 賦予Hausdorff度量拓撲，即看為↓USC(I)的子空間．本文將證明如下結論（“≈”表示“對同胚于”）：

定理1.1 (↓USCL,↓G)≈(Q，s)．

定理1.2 (↓USCL,↓L)≈(Q，s)．

2 定理證明

設S=S*?{0},CO(S)={f ∈USC(S)|f(0)=0}，在文獻[7]中證明了：

引理2.1 (↓USC(S),↓CO(S))≈(Q,s))．

應用上面的引理可以證明定理1.1．

定理1.1證明 構造函數(shù)

h: USC(S)→USCL 如下：

當x ∈S,h(f)(x)=f(x);

當x ∈[1/(n+1),1/n]時，h(f)(x)定義為f(1/n)和f(1/(n+1))的加權平均值．

定義 ↓h: ↓USC(S)→↓USCL 為↓h(f)=↓h((↓f))．

由引理2.1 ↓USC(S)≈Q 故↓USC(S)為緊集，容易驗證h 是雙射，從而↓h 是雙射，故要原命題得證只需證明↓h 連續(xù)．

下證↓h 是連續(xù)的，其等價命題是：

（2.1）對任意ε ＞0，存在δ ＞0，若dH(↓f,↓g)＜δ，則dH(↓h(f),↓h(g))＜ε．

而dH(↓h(f),↓h(g))＜ε 又等價于下面（2.2），（2.3）同時成立：

（2.2）對任意(x,t)∈↓h(f)，存在(x1,t1)∈↓h(g)，使得d((x,t), (x1,t1))＜ε．

（2.3）對任意(x,t)∈↓h(g)，存在(x1,t1)∈↓h(f)使得d((x,t), (x1,t1))＜ε．

下證（2.2）成立．對任意ε ＞0，取δ=ε/4，對任意(x,t)∈↓h(f)．

當x=0 時，由h 的定義及dH(↓f,↓g)＜ε 知（1）式成立．

當x=I{0}時，因I{0}= ?∞

n=1[1/(n+1),1/n]，故存在m ∈N，使得x ∈[1/(m+1),1/m]，

下面在某個區(qū)間[1/(m+1),1/m]討論：因為dH(↓f,↓g)＜δ，故對(1/(m+1), f(1/(m+1)))∈↓f ，存在 (1/NO,tO)∈↓g ， 使 得 d((1/(m+1), f(1/(m+1)), (1/NO,tO))＜δ ． 對 (1/m,f(1/m))∈↓f ， 存 在(1/N1,t1)∈↓g，使得

d((1/m,f(1/m)),(1/N1,t1))＜δ．其中N0,N1∈N．

（1）當m+1=N0,m=N1時， f(1/(m+1)-g(1/(m+1))＜δ， f(1/m)-g(1/m)＜δ，

因h(f)∈USCL，所以|h(f)(x)-h(G)(x)|≤max{|f(1/(m+1)-g(1/(m+1)|,|f(1/m)-g(1/m)|}＜δ．

對于任意(x,f(x))∈↓h(f)，存在(x,g(x))∈↓h(g)，使得d((x,f(x)),(x,g(x)))＜δ ＜ε．

由t ≤f(x)，存在x,t'∈↓h(g)，使得d((x,t),(x,t'))＜ε，故（2.2）式成立．

（2）當m+1 ≠N0或m ≠N1時，

注意到[|(1/n)-(1/(n+1))|:|(1/(n+1))-(1/(n+2))]≤3 恒成立，故有

因h(f)∈USCL，故min{f(1/(m+1)),f(1/m)}≤t ≤max{f(1/(m+1)),f(1/m)}．

當t1≥t0時，注意到|t-t1|＜δ．如果t ≤t1，存在((1/m),t)∈↓g，使得

如 果 t ＞t1， 存 在 ((1/N1),t1)∈↓g ， 使 得 d((x,t),((1/N1),t1))＜4δ=ε ． 注 意 到((1/N1),t1)),((1/N1),t))∈↓h(g)，當t1＜t 時也成立，故（2.2）式得證．同理可證（2.3）式成立．故↓h是一個同胚映射．又顯然有h(G)=C0(S)，故(↓USCL,↓G)對同胚于(↓USC(S),↓C0(S))，由引理2.1，證畢．

在證明定理1.2之前先給出同倫稠的定義及相關結論．

定義2.1[8]空間X 的子集Y 在X 中同倫稠，指的是存在一個同倫h:X×I →X 使得h0=id(X)且ht(X)?Y 對任意t ＞0 都成立．容易驗證s 在Q 中同倫稠．

引理2.2[8](Q,X)≈(Q,s)當且僅當X 是Q 的Gδ-集且X 和QX 都在Q 中同倫稠．

定理1.2證明 由引理2.2知，要證

(↓USCL,↓L)≈(Q,s) 的充分必要條件是：↓L 是↓USCL 的Gδ集，且↓L 及↓USCL↓L 在↓USCL 中同倫稠．

首先證↓L 是↓USCL 的Gδ集．令

再證↓L 及↓USCL↓L 在↓USCL 中同倫稠．由定理1.1 知↓G ≈s，故↓G 在↓USCL 中同倫稠，又因↓G ?↓L ?↓USCL，故↓L 在↓USCL 中同倫稠．令D=USCLL，下證↓D 在↓USCL 中同倫稠．構造映射

H:USCL×I →USCL 如下：

顯然H(f,0)(x)=f(x)，且對任意t ∈(0,1]，有Ht(USCL)?D．定義↓H:↓USCL×I →↓USCL 為↓H(↓f,t)=↓[H(f,t)]．因此下面只需證↓H 連續(xù)．對任意ε ＞0，取δ=ε/2，當

d'((↓f1,t1),(↓f2,t2))＜δ 時（這里d'((↓f1,t1),(↓f2,t2))＜δ=max{dH(↓f1,f2),|t1-t2|}，易驗證d'是度量．） dH(H(↓f1,↓t1),H(↓f2,t2))≤dH(H(↓f1,t1),H(↓f2,t2))+dH(H(↓f1,t2),H(↓f2,t2))≤(|t1-t2|/2)+dH(H(↓f1,↓f2)＜ε．

故↓H 是連續(xù)的．證畢．

致謝：感謝吳拿達老師對本文的建議和指導！

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