陳仕洲

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041）

1 引言及引理

由于Lienard方程具有較廣泛的應(yīng)用背景，含有一個(gè)奇點(diǎn)或含有一個(gè)時(shí)滯的Lienard方程周期問題已受到人們極大的關(guān)注，也取得了很多成果[1-18]．但既含有奇點(diǎn)又含有時(shí)滯的Lienard方程周期問題研究則罕見．最近，文獻(xiàn)[14]和[18]分別研究了微分方程

正周期解存在性．其中f ∈C(R,R);g ∈C(R×(0 ,+∞),R)是L2-Caratheodory 函數(shù)，對(duì)第一變?cè)荰 周期 的 且 允 許 x →0+,g(t,x)無 界． 當(dāng) x →0+,g(t,x)→-∞， 方 程（1） 是 排 斥 型 的， 當(dāng)x →0+,g()t,x →+∞，方程（1）是吸引型的．

文獻(xiàn)[14]在下列條件（H1）-（H5）下證明了方程（1）存在一個(gè)正周期解．

（H1）存在常數(shù)0 ＜d1＜d2,s.t.如果x 是方程（1）正的連續(xù)T 周期解，且滿足

文獻(xiàn)[18]在條件（H2）-（H4）和

（H7）存在常數(shù)0 ＜d1＜d2使得：如果x 是方程（2）正的連續(xù)T 周期解，且滿足

之下，證明了方程（2）存在一個(gè)正周期解．

本文利用重合度理論，研究了比文獻(xiàn)[14]和[18]更廣泛的既含有奇點(diǎn)又含有時(shí)滯的一類p-Laplacian方程

正周期解的存在問題，所得結(jié)果完善、改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[14]、[18]等的結(jié)果．這里φp(x)= |x|p-2x,p ≥2,φp(0)=0.0 ≤σ ＜T , e ∈C(R,R) ，是 周 期 為T 的 函 數(shù)g ∈C(R×(0,+∞),R) ，

對(duì)于周期邊值問題

其中f*:[]0,T ×R×R →R 是Caratheodory函數(shù)．

引理1[1]（Manasevich-Mawhin）設(shè)是有界開集．若下列條件成立

（1）?λ ∈(0,1),邊值問題

在?Ω 無解；

在?Ω ?R 無解．

引理2[2]設(shè)x ∈C1(R,R),x(t+T)≡x(t),且ξ ∈[0 ,T]，則

引理3[4]設(shè)x ∈C1(R,R),x(t+T)≡x(t),且?ξ ∈[0 ,T], | x(ξ)|≤d，則

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)條件

（A1）存在常數(shù)0 ＜d1＜d2使得：如果x 是方程（4）正的連續(xù)T 周期解，且滿足

被滿足，則方程（4）存在一個(gè)正的T-周期解．

證明 考慮（4）的同倫方程

方程（8）兩邊在[]0,T 取積分，得

由引理2得

由方程（8）兩邊同乘以x(t)，并在區(qū)間[0 ,T]上積分即得

對(duì)此ε,?gε∈Lp(0,T),s.t.，（3）成立．注意到x(t)＞0,t ∈[0 ,T],有

由（11）和（13）得

由引理3，有

再由引理3得

由于x(0)=x(T)，知?t0∈[]0,T ,s.t.x'(t0)=0.于是

其中

其中E1={t ∈[0 ,T]:g(t,x(t-σ))≥0} ,E2=[0 ,T]-E1.由（16）-（18）得

另一方面，由（8）得

上式兩邊同乘以x'(t)并注意到（A3）即得

設(shè)ξ ∈[0 ,T]如同（10）中定義的．?t ∈[ ξ,T]，對(duì)（24）兩邊在[ ξ,t]取積分得

由（22）-（26）得

由（A4）知，?M0＞0.s.t.x(t)≥M0.對(duì)于t ∈[0 ,ξ]的情形，類似可證．

?x ∈?Ω ?R,x(t)=q1(or q2)，此時(shí)由（A2）有

由條件（A2），deg{F ,Ω ?R,0} ≠0.根據(jù)引理1，方程（4）有一個(gè)正T-周期解x(t)．

3 例子和注記

例1 考察方程

（29）有一個(gè)正2π 周期解.

注記1 對(duì)于p ＞2 的情形，本文的結(jié)果是全新的．在方程（4）中，令p=2,σ=0,e(t)≡0，則方程（4）就是文獻(xiàn)[14]所研究的方程；令p=2,e()t ≡0 就是文獻(xiàn)[18]所研究的方程．可見本文定理1完善和發(fā)展了文獻(xiàn)[14]的結(jié)果；也包含和推廣了文獻(xiàn)[18]的結(jié)果．

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