王 磊

（韓山師范學(xué)院 物理與電子工程電學(xué)院，廣東 潮州 521041）

1 引言

近年來，開關(guān)電源在極限參數(shù)下的非線性現(xiàn)象受到越來越多的關(guān)注[1-4]．為了節(jié)約成本、提高電源壽命，特定應(yīng)用下的開關(guān)電源產(chǎn)品需要儲能電容容量達(dá)到最小，如LED驅(qū)動器．批量產(chǎn)品中有一些會出現(xiàn)輸出嚴(yán)重偏離設(shè)定值及突然崩潰的情況．這種現(xiàn)象主要原因是電源器件的非線性特性及開關(guān)的高速切換，基于線性化的近似研究難以揭示其中的必然規(guī)律．

正激變換器本質(zhì)上是Buck變換器的隔離版本[5-6]，由于其結(jié)構(gòu)簡單、控制方便，在中等功率變換場合得到廣泛的應(yīng)用．由于功率變壓器的引入，正激變換器在結(jié)構(gòu)上與基本變換器有了一定的區(qū)別，目前還沒有文獻(xiàn)對其非線性特性進(jìn)行過系統(tǒng)的研究．

本文對連續(xù)模式雙環(huán)控制的正激變換器建立了簡化的離散時間模型，并采用雅可比矩陣法對分岔現(xiàn)象進(jìn)行了分析，討論了三個關(guān)鍵參數(shù)負(fù)載電阻Ro、輸出電容Co、電壓環(huán)比例系數(shù)gu的合理取值范圍．仿真較好地驗證了分析中得出的結(jié)論．

2 連續(xù)模式雙環(huán)控制正激變換器的運行原理

雙環(huán)控制正激變換器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見圖1（a），包含帶有斜率補(bǔ)償?shù)姆逯悼刂频膬?nèi)電流環(huán)和電壓外環(huán)．電壓環(huán)由誤差放大器（EA）和比例積分（PI）控制器組成，電壓環(huán)的輸出Vco是電流環(huán)的基準(zhǔn)．電壓環(huán)的主要控制元件是運算放大器和PWM比較器．輸出電壓采樣后接入運放的負(fù)端，電壓環(huán)的基準(zhǔn)Vref接入運放的正端．兩者的誤差通過比例和積分得到控制電壓Vco，然后接入PWM比較器正端，與接在負(fù)端的原邊電流采樣及斜率補(bǔ)償?shù)暮铣刹ㄐ伪容^形成PWM脈沖控制開關(guān)Q1．一個工作周期開始時，原邊電流采樣信號is逐漸上升，Vco維持較高，因此比較器輸出高電位，Q1導(dǎo)通；當(dāng)is的線性上升部分與Vco相遇，比較器輸出低電位，Q1關(guān)斷．圖1（b）是電壓環(huán)控制電壓的波形和電流采樣信號相比較，產(chǎn)生寬度與Vco幅度線性相關(guān)的開關(guān)驅(qū)動脈沖的示意圖．

圖1 連續(xù)模式雙環(huán)控制正激變換器的電路圖

仿真中設(shè)定為恒定開關(guān)頻率工作，工作占空比限制在0.1與0.9之間．控制信號飽和（占空時間超過開關(guān)周期）引起的邊界碰撞分岔等不穩(wěn)定情況，本文不予考慮．

為了實現(xiàn)大功率傳輸，雙環(huán)控制的正激變換器必須運行在電感電流連續(xù)模式．變換器也可能以很復(fù)雜的方式在連續(xù)和不連續(xù)模式間跳變．正激變換器的變壓器理想狀態(tài)下不儲能，一次側(cè)的電流是不連續(xù)的，開關(guān)導(dǎo)通之后．圖2給出了連續(xù)模式下正激變換器原邊電流、電感電流和輸出電壓的波形，其中一個周期Ts里兩個模態(tài)切換對應(yīng)時間點是ts．

圖2 連續(xù)模式下變壓器原邊、電感L1的電流波形和輸出電壓紋波波形

連續(xù)模式下正激變換器每周期有兩個工作模態(tài)：

開關(guān)模態(tài)1：當(dāng)Q1導(dǎo)通時，變壓器原邊Lp承受直流輸入Vin，原邊電流ip從負(fù)載反射電流開始線性上升；Dr2承受反壓關(guān)斷，輸出電壓由電容Co維持，狀態(tài)方程為：

其中kd=（R1+R2）/R2，kc=rC/RO，電壓環(huán)直流增益gu=Ra/R1，Vs=Vin/Nps，為變壓器副邊電壓，Nps為變壓器變比，rL、rd、rc分別為電感、二極管、輸出電容的寄生電阻．

開關(guān)模態(tài)2：當(dāng)Q1關(guān)斷時，Dr1承受反壓關(guān)斷，Dr2導(dǎo)通，iL1通過Dr2及負(fù)載續(xù)流，狀態(tài)方程為：

當(dāng)狀態(tài)變量x 選為電感電流iL、輸出電容電壓vc和補(bǔ)償電容電壓Va．正激變換器在CCM模式下的狀態(tài)方程可以表示為：

其中j=1,2分別對應(yīng)變換器的兩個工作模態(tài)

雙環(huán)控制下正激變換器的狀態(tài)矩陣Aj、Bj分別為：

3 連續(xù)模式雙環(huán)控制正激變換器的簡化離散模型

常見的變換器數(shù)學(xué)模型可分為三種：連續(xù)時間模型，離散時間模型，及連續(xù)、離散時間模型的組合．基于狀態(tài)空間平均法的連續(xù)時間模型不能研究快時標(biāo)動態(tài)，因為它對高頻特性進(jìn)行了平均；精確的離散時間建模方法可以捕捉到快、慢時標(biāo)的分岔，但其表達(dá)式過于復(fù)雜，無法直觀看出各個參量與分岔的關(guān)系．截去狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的展開級數(shù)高階項，即得到簡化的離散時間模型[7-8]，由此可以得到平衡點和特征多項式的解析式，但略去的誤差多數(shù)是非線性項，要保證簡化后的系統(tǒng)能夠較好地反映原系統(tǒng)的特性．

對變換器建模要得到的離散迭代映射應(yīng)具有下面的形式：

其中下標(biāo)n代表第n周期開始時的值，即xn=x(nTs)．狀態(tài)方程（3）是雙環(huán)控制正激變換器的精確離散模型，屬于超越方程，無法寫出解析解，因此不能寫成（4）的形式，只能迭代計算以得到數(shù)值解．求解（3）式得到：

其中ts是開關(guān)導(dǎo)通的占空時間，Ts為工作周期．指數(shù)矩陣可以展開為無窮級數(shù)的表達(dá)形式：為得到簡化的離散時間模型，采用線性紋波假設(shè)（其中E代表單位矩陣）．若dn代表第n個開關(guān)周期的占空比，則有ts=dn*Ts，代入（4）式并對其解的展開式中所有含有Ts的二次及高次的項加以忽略，（5）式可簡化為：

定義開關(guān)函數(shù)：

其中m1=Vs/L1是電感電流的上升斜率，mc是防止占空比大于50%、系統(tǒng)產(chǎn)生次諧波振蕩而加入的斜率補(bǔ)償．連續(xù)模式下原邊電流的表達(dá)式為：

ipn是連續(xù)模式下副邊的反射到原邊的負(fù)載電流，ipn=io/Nps．在開關(guān)關(guān)斷時刻（t=ts）控制電壓Vco與鋸齒波上升沿相遇，即有s(xn,dn)=0.Vco由誤差電壓通過比例積分而得到，即為：

把上述等式代入（7），簡化并整理得到雙環(huán)控制正激變換器閉環(huán)占空比dn的表達(dá)式：

其中k0=vref(1+gukd)，k1=[0-gu-1]，k2=[-Mi0 0]．很明顯，（6）（10）兩式共同定義了一個基于線性紋波假設(shè)的大信號離散時間平均模型．整理得到s(xn,dn)的最終表達(dá)式：

4 連續(xù)模式雙環(huán)控制正激變換器的分岔分析

基于上面的簡化離散模型，可以對雙環(huán)控制的正激變換器的穩(wěn)定特性進(jìn)行深入分析．常規(guī)的分析方法有雅可比矩陣法、單值矩陣法、最大李雅普諾夫指數(shù)和龐加萊截面法．在簡化的離散模型下，可以運用雅可比矩陣法分析其工作．

穩(wěn)態(tài)時，輸出電容電壓和變換器的輸出電壓相同，即有，Vc=Vo．．在（6）式中令xn+1=xn，得到變換器系統(tǒng)不動點的表達(dá)式：

不動點處的雅可比矩陣可寫為：

由（10）、（11）兩式得到（13）式中寫出雅可比矩陣所需的微分，注意其中A1=A2已經(jīng)合并：

得到雅可比矩陣后，其特征值λ由求解下面關(guān)于λ的方程得到：

依據(jù)不動點處雅可比矩陣的特征值λ所處的位置，用下面的判據(jù)判定系統(tǒng)的分岔行為[1]：

1）所有特征值都在單位圓內(nèi)預(yù)示著系統(tǒng)穩(wěn)定工作；

2）當(dāng)一對共軛特征值在單位圓外而其他特征值都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)為慢時標(biāo)分岔；

3）當(dāng)一負(fù)實數(shù)特征值在單位圓外而其他特征值都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)為快時標(biāo)分岔；

4）當(dāng)一對共軛特征值和一負(fù)實數(shù)特征值同時在單位圓外，系統(tǒng)為共存快-慢時標(biāo)分岔；

5）當(dāng)運行的控制量飽和及有特征值在單位圓外時，會出現(xiàn)復(fù)雜的邊界碰撞分岔．

下面運用上述關(guān)系式對一個具體的正激變換器進(jìn)行分析．變換器的主要參數(shù)見表1．為了研究穩(wěn)定參數(shù)邊界，負(fù)載電阻Ro、電容Co、電壓環(huán)比例系數(shù)gu 都在一個范圍內(nèi)取值．

表1 正激變換器的電路參數(shù)

當(dāng)Ro=30Ω， gu=1，Co 分別為10μF 和30μF 時，得出圖3（a）、3（b）．其中3（a）圖是正激變換器閉環(huán)三階系統(tǒng)的三個特征值隨著vin在30-160V的改變時實虛部變動的軌跡，其中箭頭指示了特征值隨著Vin增大而變化的方向．當(dāng)Vin很低的時候，三個根均為實根，在Vin=33.5V 兩個根變?yōu)楣曹?，隨著vin增大，其模值逐漸增大，兩個共軛根模值為1的臨界點出現(xiàn)在vin為35.5V處．依照上面的判據(jù)可知，系統(tǒng)可能出現(xiàn)慢時標(biāo)分岔．其中．第三個根始終不隨Vin而改變，一直處在非常接近單位圓的實軸上．3（b）圖可見當(dāng)Co為30μF時系統(tǒng)在寬輸入范圍都可以穩(wěn)定輸出．

圖3 正激變換器特征值隨Vin 變化的移動軌跡

由圖3可知，λ在vin峰值處取到最大模值，因此求取參數(shù)邊界時，只需要看vin峰值處的特征值即可．圖4（a）、4（b）給出負(fù)載電阻Ro為30Ω及電壓環(huán)比例gu分別為0.1和0.5時，特征值隨vin變化的軌跡．對比圖3（a）可見，隨著gu 增大，在Vin較高的時候系統(tǒng)會出現(xiàn)慢時標(biāo)分岔．

圖4 雙環(huán)控制正激變換器在波動時特征值隨vin變化的軌跡

5 連續(xù)模式雙環(huán)控制正激變換器的仿真

為了驗證上面穩(wěn)定性分析的結(jié)果，下面用表1同樣的參數(shù)，采用精確的離散模型對正激變換器進(jìn)行仿真．圖5（a）、5（b）分別是直流輸入電壓為150V正激變換器穩(wěn)定工作（Co=30μF）和慢時標(biāo)分岔（Co=10μF）時的電感電流仿真波形對比，下圖是對上圖的局部放大，Ro=30Ω，gu=1．從下面放大的輸入電流波形可見，慢時標(biāo)分岔時相鄰開關(guān)周期的電流波形差異很?。?/p>

圖5 連續(xù)模式雙環(huán)控制正激變換器的電感電流波形

分析和仿真還對Ro在3Ω及30Ω時閉環(huán)系統(tǒng)的特征值隨vin變化的軌跡進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)Ro改變影響不大．通過多次運行仿真得到的結(jié)果與分析結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)，分析數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)劃定的區(qū)域分界有一定差異，主要因為分析模型取了線性近似．由于接近穩(wěn)定邊界系統(tǒng)的控制特性會比較差，設(shè)計參考應(yīng)以分析數(shù)據(jù)的穩(wěn)定分界為準(zhǔn)．文章結(jié)果同樣可以應(yīng)用于對交流輸入雙環(huán)正激變換器的分析，要注意的是交流輸入一直在隨時間而緩慢變化，電路沒時間真正進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而且交流輸入過零時會積累較大的誤差．初態(tài)的差異會造成相同的瞬時輸入電壓下系統(tǒng)穩(wěn)定特性不同．

6 結(jié)論

本文對雙環(huán)控制的正激變換器的分岔現(xiàn)象做了研究，采用基于特征值和平均離散模型進(jìn)行了分析和仿真驗證，兩者能夠較好地吻合．本文的結(jié)果對雙環(huán)控制的正激變換器的參數(shù)設(shè)計有一定的參考價值，同時對一般變換器基于交流輸入和直流輸入的穩(wěn)定性的不同特征進(jìn)行了分析對比，分析的結(jié)果具有一般性的意義．

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