林文賢

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041）

容易知道，作為簡(jiǎn)諧振蕩的數(shù)學(xué)模型，二階常微分方程的所有解都有任意大的零點(diǎn)，從而是振動(dòng)的.而一般地，描述機(jī)械、電子振蕩的數(shù)學(xué)模型是泛函微分方程，其振動(dòng)性和漸近性研究在理論和實(shí)際中都有著重要意義，并已取得不少成果[1-18].本文將考慮如下的一類具分布滯量的三階非線性泛函微分方程

其中α 是奇整數(shù)之商，t0＞0．本文總假設(shè)下列條件成立：

（H1） r1(t),r2(t)∈C(I,R+)，I=[t0,+∞),R+=[0,+∞)，且

（H2） q(t,ξ)∈C(I×[a,b],R+)；

（H3） g(t,ξ)∈C(I×[a,b],R+);g(t,ξ)分別關(guān)于t,ξ 非減，并且

如果函數(shù)x(t)∈C1(Tx,+∞),Tx≥t0，使得r2(t)[(r1(t)x′(t))′]α∈C1(Tx,+∞)且在(Tx,+∞)上滿足方程（1），則稱x(t)為方程（1）的一個(gè)解.本文僅考慮方程（1）滿足sup{|x(t)|:t ≥T}＞0 對(duì)一切T ≥Tx成立的解.方程（1）的解稱為振動(dòng)的，如果它在（Tx,∞）上有任意大的零點(diǎn).否則，稱它為非振動(dòng)的.

近年來，三階泛函微分方程的振動(dòng)性日益受到重視.方程（1）的以下特例在文獻(xiàn)中被考慮：

文獻(xiàn)[19]給出了方程（2）的解的漸近性，文獻(xiàn)[20]利用積分平均方法給出了半線性常微分方程（3）的一切解振動(dòng)或者收斂于零的充分條件.文獻(xiàn)[21]建立了方程（4）的一切解振動(dòng)或者收斂于零的比較結(jié)果.文獻(xiàn)[22]在g(t)=t-σ 條件下，利用積分平均方法建立了方程（4）的振動(dòng)結(jié)果.文獻(xiàn)[23-25]分別用比較方法證明方程（5）的振動(dòng)結(jié)果.文獻(xiàn)[26]利用廣義Riccati變換給出方程（6）的一切解振動(dòng)或者收斂于零的充分條件.本文目的是首先在分析具分布滯量的方程（1）解的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，利用廣義Riccati變換和Hardy-Littlewood-Polya不等式方法，給出方程（1）的一切解振動(dòng)，或者收斂于零的若干新的充分條件，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[20]、[22]和[26]中的相應(yīng)結(jié)果.

引理1 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，則x(t)只有下列兩種可能，即存在T ≥t0，使得當(dāng)t ≥T時(shí)有

證明 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，且

因 此， r2(t)[(r1(t)x′(t))′]α是 減 函 數(shù)，且 最 終 定 號(hào)，所 以 有 兩 種 可 能，即(r1(t)x′(t))′＜0 或(r1(t)x′(t))′＞0,t ≥t1.如果y″(t)＜0，則存在常數(shù)M1＞0使得

在(t2,t)上對(duì)上式積分有

上式中令t →∞，利用（H1），有r1(t)x′(t)→-∞，因此，r1(t)x′(t)最終為負(fù).

于是，存在常數(shù)M2＞0使得

在[t3,t)上對(duì)上式積分有

上式中令t →∞，利用（H1），有x(t)→-∞，此與x(t)＞0的假設(shè)矛盾，故有(r1(t)x′(t))′＞0.因此，x(t)只能有（A）和（B）兩種類型，引理1證畢.

為簡(jiǎn)單計(jì)，對(duì)充分大的T ≥t0，記

引理2 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，且x(t)具有性質(zhì)（A），則

證明 取T ≥t0，使x[g(t,ξ)]＞0,t ≥T,ξ ∈[a,b].利用方程（1）得

則r2(t)[(r1(t)x′(t))′]α在[T,∞)上單減，從而有

因此

引理2證畢.

引理3 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，x(t)具有性質(zhì)（B），且

證明 設(shè)x(t)是方程（1）的最終正解，因?yàn)閤(t)具有性質(zhì)（B），所以存在有限極限

可以斷言l=0.事實(shí)上，如果l ＞0，則

積分方程（1）得到

因此

從t到∞積分上面不等式，有

對(duì)上式從T到t積分，得到

引理4[27]設(shè)X和Y為非負(fù)常數(shù)，則

且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)X=Y

下面利用Philos 型的積分平均技巧[28]，得出方程（1）的新的振動(dòng)定理.為此引進(jìn)如下一類函數(shù)?.令

函數(shù)H(t,s)∈C(D,R)稱為屬于?類，記作H ∈?，如果

（i）H(t,t)=0,t ≥t0;H(t,s)＞0,(t,s)∈D0;

定理1 設(shè)式（7）成立，且g(t,a)≥t，若存在函數(shù)

使得

當(dāng)T0∈[t0,∞)，有

如果存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)Ψ:[t0,∞)→R,使得

其中

證明 設(shè)方程（1）存在非振動(dòng)解x(t)，不妨設(shè)x(t)最終為正解.由引理1 知，x(t)有（A）和（B）兩種類型.

（i）設(shè)x(t)為(A)型，則有x′(t)＞0,t ≥T.考慮廣義Riccati變換

則

因此，利用W(t)的定義，便可得到

在（13）中用s代替t，兩邊同乘以H(t,s)后，關(guān)于s從T0≥T到t ≥T0積分，得

對(duì)上述分部積分，利用式（8）產(chǎn)生

定義X ≥0和Y ≥0如下：

由（14）和（15）便可得到

由式（12）得

由式（14）得

在上面的不等式中，記

同時(shí)注意到（16），可以得到

下面用反證法證明

若不然

由式（9）知，存在一個(gè)常數(shù)ε ＞0，使得

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)M ＞0，由（18）知，存在T1∈[T0,∞)，使得當(dāng)t ∈[T1,∞)時(shí)，有

由分部積分公式得

由（19）知，存在T2∈[T1,∞)，使得當(dāng)t ∈[T2,∞)時(shí)，有

所以B(t)≥M.由M 的任意性知

進(jìn)而選取序列

滿足

則存在常數(shù)M0＞0，使得對(duì)于所有充分大的正整數(shù)n，有

由（20）容易得到

再由（21）得

由（21）和（22）知，對(duì)于充分大的正整數(shù)n，下面不等式成立

即

因此，由（23）得

另一方面，應(yīng)用積分不等式可得

由上式便可得到

于是，由（24）得

這與式（10）矛盾，從而證得（17）成立.注意到當(dāng)T0∈[T,∞)時(shí),

由（17）得

這與式（11）矛盾.

（ii）設(shè)x(t)為(B)型，由于（7）成立，故滿足引理3的條件，則定理1證畢.

定理2 設(shè)式（7）～（9），（11）成立，且g(t,a)≥t，其中H,h,ρ和Ψ如定理1所述.如果

并且

其中

證明 設(shè)方程（1）存在非振動(dòng)解x(t)，不妨設(shè)x(t)最終為正解.由引理1 知，x(t)有（A）和（B）兩種類型.

（i）設(shè)x(t)為(A)型，則有x′(t)＞0,t ≥T.考慮廣義Riccati變換

如同定理1的證明，（14）和（15）成立，因此

由式（26）得到下面各式成立：

在上式中，由式（25），便可得到

定義A(t)和B(t)如同定理1所述，且與定理1的證明過程類似，由（14）并注意到（27），可得

以下用反證法證明式（17）成立.余下的證明與定理1的證明類似，故省略.定理2證畢.

注 若在定理1 和定理2 中，選取不同的函數(shù)ρ(t)和H(t,s)，可以得到方程（1）的不同的振動(dòng)準(zhǔn)則.

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