曹東興吳鵬 張偉 姚明輝

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）

一種新型壓電俘能器的振動(dòng)特性分析及性能研究*

曹東興?吳鵬 張偉 姚明輝

（北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）

基于壓電效應(yīng)設(shè)計(jì)了一種包含屈曲梁、質(zhì)量塊和非線性彈簧的新型壓電俘能器結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)分析.首先基于Euler-Bernoulli梁理論，利用Hamilton原理建立了壓電俘能器結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)Galerkin離散后數(shù)值分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)一階固有頻率的影響；進(jìn)一步利用多尺度法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行攝動(dòng)分析，研究了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻特性，數(shù)值分析了各系數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響，結(jié)果表明該結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下會(huì)存在多種跳躍現(xiàn)象；最后數(shù)值分析了壓電俘能器的發(fā)電性能，討論了激勵(lì)幅值和初始靜撓度對(duì)發(fā)電電壓的影響.

能量采集，屈曲梁-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，幅頻特性，非線性振動(dòng)

引言

由于傳統(tǒng)電池的替代需求、智能傳感網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)發(fā)需要，加之微機(jī)電系統(tǒng)的高集成度發(fā)展，能量采集技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生.能量采集技術(shù)基于熱電效應(yīng)、光伏效應(yīng)、壓電效應(yīng)、磁電效應(yīng)，利用電子元器件從工作環(huán)境中獲取能量，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成電能.機(jī)械振動(dòng)是環(huán)境中最常見(jiàn)的能量來(lái)源，壓電振動(dòng)能量采集是振動(dòng)能轉(zhuǎn)換成電能的一種很好的途徑.

近年來(lái)，壓電振動(dòng)能量采集引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.麻省理工學(xué)院的Shenck等人［1］研究了腳跟著地時(shí)的能量損失，將多層PVDF薄窄板安裝在鞋底用于提取人在行走時(shí)鞋底變形產(chǎn)生的能量. Erturk和Inman［2-3］深入研究了基于Euler-Bernoulli梁的懸臂式壓電俘能器，推導(dǎo)出了力學(xué)響應(yīng)、電壓、電流以及輸出功率的簡(jiǎn)單表達(dá)式.楊增濤［4］指出雙壓電晶片梁彎曲模式采集器用于吸收低頻環(huán)境振動(dòng)能，板或殼體厚度模式采集器用于吸收高頻環(huán)境振動(dòng)能，螺旋形俘能器和波紋板俘能器也可用于低頻情況.Roudy等人［5］設(shè)計(jì)了可以調(diào)節(jié)固有頻率的結(jié)構(gòu)以提高壓電發(fā)電效率.Huang和Lin［6］設(shè)計(jì)了一種新的可調(diào)諧俘能器結(jié)構(gòu)，可調(diào)頻率范圍達(dá)到±35%.于慧慧和溫志渝［7］對(duì)微型壓電式振動(dòng)發(fā)電機(jī)進(jìn)行了寬頻帶設(shè)計(jì)，提出并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了多懸臂梁—單質(zhì)量塊模型.Triplett和Quinn［8］提出了非線性壓電能量采集器模型，考慮非線性剛度和非線性壓電本構(gòu)關(guān)系，用P-L攝動(dòng)方法分析系統(tǒng)對(duì)外激勵(lì)的非線性響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)如果振幅是變化的，非線性就會(huì)體現(xiàn)出來(lái)，提高了裝置性能.郭抗抗和曹樹(shù)謙［9］以單晶懸臂梁壓電發(fā)電裝置為研究對(duì)象，考慮非線性壓電本構(gòu)方程，建立了機(jī)電耦合模型，通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析了壓電材料非線性、外激勵(lì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

綜上所述，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了大量壓電梁、板結(jié)構(gòu)形式的俘能器模型，并通過(guò)理論和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)發(fā)電性能進(jìn)行了研究.本文主要以增大采集電壓、擴(kuò)展響應(yīng)帶寬方面入手，設(shè)計(jì)了一種新的屈曲梁-質(zhì)量-彈簧壓電振動(dòng)能量采集結(jié)構(gòu)，并且研究各結(jié)構(gòu)參數(shù)等對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響.

1　系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

本文提出的新型壓電俘能器結(jié)構(gòu)由屈曲梁、質(zhì)量塊和非線性彈簧組成，如圖1所示.屈曲梁以金屬梁為基層，其上表面貼有單層壓電片，截面形狀為矩形截面；屈曲梁下端連接質(zhì)量塊M和非線性彈簧，由于初始軸向壓力作用使梁處于屈曲狀態(tài)，具有初始靜撓度ws.

對(duì)于壓電層合梁，考慮成細(xì)長(zhǎng)柔性梁，假設(shè)壓電層與基體粘合良好，粘結(jié)劑層影響忽略不計(jì).動(dòng)力學(xué)建模還基于以下假設(shè)：（1）橫向彎曲后，截平面仍與中面垂直；（2）有限變形（大撓度，小轉(zhuǎn)動(dòng)）；（3）忽略剪應(yīng)變，即γxz=0；（4）梁厚度不變，即εz=0.

圖1　壓電層合梁、質(zhì)量塊、非線性彈簧構(gòu)成的振動(dòng)俘能器F ig.1 Vibration energy harvester composed of a unimorph PZT beam，a mass and a nonlinear spring

z方向位移：w（x，z，t）=w（x，t），基于Von Karman非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，x方向的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

則x方向位移：

選擇第二類壓電方程得到復(fù)合梁上壓電層的本構(gòu)方程：

壓電層內(nèi)的應(yīng)變和基梁應(yīng)變相等，即S1=εx，z方向產(chǎn)生的電壓與電場(chǎng)之間的關(guān)系E3=-V/h3.

假設(shè)壓電層合梁屈曲時(shí)的靜撓度為ws（x）= asin（πx/l1），此時(shí)梁受到的軸向力記為F，則有

下面研究帶粘滯阻尼梁的橫向彎曲自由振動(dòng)，屈曲梁靜變形為ws，動(dòng)變形為wd，梁的橫向彎曲撓度：w（x，t）=ws（x）+wd（x，t）.壓電復(fù)合梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上的質(zhì)量m（m=ρpAp+ρsAs），質(zhì)量塊質(zhì)量為M.則系統(tǒng)動(dòng)能為：

彈簧勢(shì)能：

結(jié)構(gòu)勢(shì)能為：

壓電層上表面產(chǎn)生的電荷量：

其中各參數(shù)分別表示為：

在上述動(dòng)力學(xué)方程中，第三項(xiàng)含有質(zhì)量塊的質(zhì)量M，系數(shù)a1、a7中含有彈簧剛度系數(shù)，系數(shù)a1含有電壓項(xiàng).

2　系統(tǒng)固有頻率分析

梁的邊界條件為簡(jiǎn)支：

其余參數(shù)如下：

圖2和圖3分別描述了外加電壓（逆壓電效應(yīng)）和梁長(zhǎng)度對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響.從下圖中可以看出，外加電壓可以使系統(tǒng)的一階固有頻率降低，外加電壓會(huì)使梁變“柔”.梁的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，剛度越小，固有頻率必然下降.

圖2　電壓對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響Fig.2 Effect of voltage on the first-order natural frequency

圖3　梁的長(zhǎng)度對(duì)固有頻率的影響Fig.3 Influence of the length of the beam onthe first-order natural frequency

圖4表示隨著壓電層與基層厚度比的增加，固有頻率的變化情況.圖示表明，系統(tǒng)固有頻率隨著厚度比的增加先減小后增大.在算例中，壓電層厚度從0.01mm變到0.19mm，基梁的厚度一直是0.3 mm不變，占厚比大約在43%時(shí)系統(tǒng)具有最低固有頻率，約為10Hz.

圖4　壓電層的占厚比對(duì)固有頻率的影響Fig.4 The natural frequency vs.the ratio of thickness of piezoelectric to basic layer

圖5表示在壓電梁總長(zhǎng)度不變的情況下，初始靜撓度對(duì)一階固有頻率的影響，圖示表明隨著初始靜撓度的增大，系統(tǒng)的一階固有頻率明顯增加.

圖5　初始靜撓度a對(duì)固有頻率的影響Fig.5 Impact of the initial curving shape on the natural frequency

將方程（12）整理得：

3　簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性

本節(jié)討論圖1整體結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧外激勵(lì)作用下

壓電俘能器的穩(wěn)態(tài)幅頻特性.

結(jié)構(gòu)的勢(shì)能：

由哈密頓原理可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

對(duì)方程（16）進(jìn)行一階離散，整理得：

引入小擾動(dòng)參數(shù)ε，ξ→εξ，G1→εG1，G2→εG2，G3→εG3，G4→εG4，方程（19）變?yōu)?/p>

將方程（19）解的形式展開(kāi)為

其中T0=t，T1=εt.

將上式（21）帶入系統(tǒng)方程（20），得到含ε0和ε1的兩個(gè)方程：

由方程（22）得到W0的解：

將（24）帶入方程（23）中等號(hào)的右端，令長(zhǎng)期項(xiàng)等于零，得到復(fù)數(shù)形式的平均方程：

振動(dòng)方程（17）的1次近似解：W=acos（ωt+β）+O（ε），其中a（T1）、β（T1）由上述微分方程確定.

當(dāng)a′=β′=0時(shí)，響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，消去方程組（26）中的β（T1），得到幅頻響應(yīng)方程：

取定計(jì)算參數(shù)，進(jìn)行數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)受到外激勵(lì)而產(chǎn)生的幅頻響應(yīng)曲線，如圖6～8所示.這是一種典型的振幅跳躍的非線性現(xiàn)象：當(dāng)激勵(lì)頻率接近線性系統(tǒng)固有頻率時(shí)，產(chǎn)生共振從而響應(yīng)幅值變大；當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離固有頻率時(shí)，同一激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)的振幅有多個(gè)不同的值，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有不穩(wěn)定性.只改變外激勵(lì)的振幅A，保持其他參數(shù)不變，得到圖6.可見(jiàn)激勵(lì)振幅增大會(huì)導(dǎo)致幅頻響應(yīng)振幅增大.隨著調(diào)諧參數(shù)σ的增大，頻響曲線從低振幅處跳到高振幅處.

圖6　不同外激勵(lì)幅值下的頻響曲線Fig.6 Curves of frequency-response for different A

只改變粘性阻尼系數(shù)，得到圖7.可見(jiàn)粘性阻尼抑制了響應(yīng)振幅的增大，較大的阻尼對(duì)應(yīng)于較小的頻響振幅.

圖8顯示了外激勵(lì)頻率Ω對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響.激勵(lì)頻率Ω不同，頻響曲線的彎曲方向也不同：當(dāng)激勵(lì)頻率小于12.3的時(shí)候，系統(tǒng)呈現(xiàn)軟彈簧特性，如圖8（a）所示；當(dāng)激勵(lì)頻率增大之后，系統(tǒng)開(kāi)始呈現(xiàn)硬彈簧特性，如圖8（b）所示.由兩圖可知，當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)多值現(xiàn)象和跳躍現(xiàn)象.隨著激勵(lì)頻率Ω的增大，系統(tǒng)軟彈簧特性的頻響振幅逐漸增大；系統(tǒng)硬彈簧特性的頻響振幅逐漸減小.

圖8　不同外激勵(lì)頻率下的頻響曲線Fig.8 Curves of frequency-response for different Ω

4　簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)輸出電壓分析

為體現(xiàn)出方程中包含的各項(xiàng)壓電參數(shù)，將方程（17）改寫(xiě)為如下：

方程（28）、（29）的參數(shù)分別為：

下面進(jìn)行算例討論.聯(lián)立方程（28）、（29），并取定梁寬b=0.015m，基層厚度hs=0.3×10-3m，壓電層厚度hp=0.1×10-3m，阻塊質(zhì)量M=0. 02kg，外電阻R=8000Ω.

圖9　電壓的時(shí)間歷程圖Fig.9 Output voltage on the time course

圖9顯示了壓電層合梁在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下產(chǎn)生的交變電壓.在屈曲梁總長(zhǎng)l=0.1m不變的情況下，寬度b從0.005m增加到0.022m，隨著長(zhǎng)寬比的增大，得到電壓幅值的變化情況如圖10所示，從圖中可以看出最優(yōu)長(zhǎng)寬比b/l≈17%.

令外激勵(lì)A(yù)Ω2=2m/s2的情況下，改變初始靜撓度，得到的電壓的時(shí)間歷程圖如圖11（a）～（d）所示.在圖（a）中，沒(méi)有初始靜撓度即a=0時(shí)，得到的交流電壓的幅值為0.4V；增加軸向力使得F=9N，但由于未達(dá)到屈曲極限值，梁的初始靜撓度仍為零，得到的電壓幅值約為0.8V，如圖（b）所示；（c）、（d）兩圖分別是層合梁具有初始靜撓度a= 0.1mm、a=0.3mm時(shí)產(chǎn)生的電壓，可以看出交變電壓的幅值約為8V、16V.綜上可以看出，給壓電層合梁施加軸向力預(yù)緊力，或者在極限范圍內(nèi)增加屈曲靜撓度，都可以增大產(chǎn)生的交變壓電的幅值.

圖10　長(zhǎng)寬比對(duì)產(chǎn)生電壓的影響Fig.10 Output voltage vs.the ratio of width to length of the beam

圖11　不同條件下的電壓輸出Fig.11 Output voltage under different conditions

5　結(jié)論

本文提出了一種屈曲梁-質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的新型的壓電振動(dòng)俘能器結(jié)構(gòu).利用Hamilton原理建立了動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)Galerkin離散和多尺度攝動(dòng)分析，分別分析了系統(tǒng)固有頻率和幅頻響應(yīng)；數(shù)值仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）系統(tǒng)固有頻率與梁長(zhǎng)、壓電層厚度以及初始靜撓度密切相關(guān)：增加梁的長(zhǎng)度可降低結(jié)構(gòu)固有頻率，壓電層存在最優(yōu)占厚比使得固有頻率最低，屈曲梁的初始靜撓度能夠提高固有頻率；（2）系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)存在跳躍現(xiàn)象：激勵(lì)振幅增大會(huì)導(dǎo)致幅頻響應(yīng)振幅增大；隨著激勵(lì)頻率的增大，系統(tǒng)軟彈簧特性的頻響振幅逐漸增大，硬彈簧特性的頻響振幅逐漸減小；粘性阻尼抑制了響應(yīng)振幅的增大.

研究還表明，對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)下產(chǎn)生的電壓，存在最優(yōu)長(zhǎng)寬比使得交變電壓幅值最大，給壓電層合梁施加軸向力預(yù)緊力，或者適當(dāng)增加屈曲靜撓度，都可以增大輸出電壓的幅值.

1 Anton S R，Sodano H A.A review of power harvesting using piezoelectric materials（2003～2006）.Smart Materials and Structures，2007，16（3）：1～21

2 Erturk A，Inman D J.A distributed parameter electromechanical model for cantilevered piezoelectric energy harvesters.Journal of Vibration and Acoustics，2008，130：041002-1-15

3 Erturk A，Inman D J.On mechanical modeling of cantilevered piezoelectric vibration energy harvesters.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2008，19：1311～1325

4 楊增濤.新型壓電器件的力電耦合分析與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［博士學(xué)位論文］.長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2009（Yang Z T.Electromechanical coupling analysis and structural design on novel piezoelectric device［PhD Thesis］.Changsha：Central South University，2009（in Chinese））

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7 于慧慧，溫志渝等.寬頻帶微型壓電式振動(dòng)發(fā)電機(jī)的設(shè)計(jì).傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2010，23（5）：643～646（Yu H H，Wen Z Y，et al.The design of piezoelectric vibration based generator with wide bandwidth.Chinese Journal of Sensors and Actuators，2010，23（5）：643～646（in Chinese））

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9 郭抗抗，曹樹(shù)謙.壓電發(fā)電懸臂梁的非線性動(dòng)力學(xué)建模及響應(yīng)分析.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2014，12（1）：18～23（Guo K K，Cao S Q.Nonlinear modeling and analysis of piezoelectric cantilever energy harvester.Journal of Dynamics and Control，2014，12（1）：18～23（in Chinese））

10 王榮津.水聲材料手冊(cè).北京：科學(xué)出版社，1983（Wang R J.Handbook of underwater acoustic materials. Beijing：Science Press，1983（in Chinese））

NONLINEAR VIBRATIONOF A NOVEL PIEZOELECTRIC VIBRATION ENERGY HARVESTER*

Cao Dongxing?Wu Peng Zhang Wei Yao Minghui（College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

A new class of vibration energy harvester was introduced based on piezoelectric effect，which is composed of a buckling unimorph PZT beam，a mass and a nonlinear spring.Based on the Euler-Bernoulli beam model，the nonlinear governing equations were constructed for the energy harvester using Hamilton′s principle. First，the natural frequency was computed and discussed with the change of structural parameters.Then，the method of multiple scales was utilized to perturbation analysis.And the amplitude-frequency characteristics were discussed based on numerical simulation.The nonlinear jumping phenomenon is found for the vibration energy harvester.Finally，the voltage effect of the energy harvester was discussed between the output voltage and the external excitations.

energy harvesting，buckled beam-mass-spring system，amplitude-frequency characteristics，nonlinear vibration

27 February 2014，revised 11 April 2014.

E-mail：caostar@bjut.edu.cn

10.6052/1672-6553-2014-083

2014-02-27收到第1稿，2014-04-11收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金（11272016，11172009和11072008）、北京市自然科學(xué)基金（3122009）、高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金（20101103120004）和北京工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目（X4001015201101）

E-mail：caostar@bjut.edu.cn

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272016，11172009 and 11072008），the Beijing Municipal Natural Science Foundation（3122009），the Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education（20101103120004），and the Fundamental Research Fund of BJUT（X4001015201101）