張國策丁虎?陳立群，2

（1.上海大學，上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所，上海 200072）（2.上海大學力學系，上海 200444）

復(fù)模態(tài)分析超臨界軸向運動梁橫向非線性振動*

張國策1丁虎1?陳立群1，2

（1.上海大學，上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所，上海 200072）（2.上海大學力學系，上海 200444）

近似解析研究了簡支邊界條件下超臨界軸向運動梁橫向非線性自由振動的固有頻率和模態(tài)函數(shù).采用復(fù)模態(tài)方法處理控制方程，一個積分偏微分方程.將Galerkin截斷思想用于近似處理線性化方程，一個含空間依賴系數(shù)的常微分方程.給出了不同截斷項數(shù)對固有頻率的影響.基于8項截斷，討論了系統(tǒng)參數(shù)對模態(tài)函數(shù)的影響.

軸向運動梁，非線性，超臨界速度，模態(tài)，頻率

引言

動力傳送帶、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機纜繩、單索架空索道等工程元件，均可模型化為軸向運動梁或弦線［1，2，3］.其橫向振動的研究有著重要的理論意義和應(yīng)用價值.關(guān)于軸向運動系統(tǒng)固有頻率和模態(tài)函數(shù)的研究已經(jīng)非常廣泛.Mote于1965年運用Galerkin截斷法近似計算了兩端簡支邊界下，前三階固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)［4］.1992年，Wickert研究了兩端簡支邊界下，軸向運動梁橫向非線性振動的基頻［5］.2001年，?z給出了兩端固定邊界下軸向運動梁橫向振動的前兩階固有頻率和模態(tài)函數(shù)［6］.2006年，李曉軍和陳立群研究了一端固定、一端簡支的情形［7］.2009年，李彪等通過半解析半數(shù)值方法求解了兩端鉸支的非對稱混雜邊界下軸向運動Timoshenko梁的固有頻率和模態(tài)［8］.2010年，Chen等給出了簡支邊界下Timoshenko梁模型固有頻率的復(fù)模態(tài)分析方法［9］.2010年，Ghayesh和Balar通過半解析半數(shù)值方法研究了固定邊界下軸向運動Timoshenko梁橫向振動的固有頻率［10］.

在超臨界傳輸速度范圍內(nèi)，陳立群課題組數(shù)值研究了軸向運動梁的橫向靜平衡位形［11，12］、固有頻率［13，14］和簡諧受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［15］.本文基于積分偏微分模型，采用復(fù)模態(tài)方法分離變量，將Galerkin截斷思想用于計算簡支邊界條件下超臨界軸向運動梁橫向自由振動的近似固有頻率及相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)，并研究軸向速度、非線性系數(shù)和彎曲剛度對模態(tài)函數(shù)的影響.

1　近似解析結(jié)果

考慮一個均勻黏彈性矩形梁，密度為ρ，橫截面積為A，彈性模量為E，慣性矩為I，初始張力為P0.該梁在支承兩端間距為L的長度上以一致的軸向傳輸速度Г運動.不考慮軸向位移，梁在平面內(nèi)只有橫向位移為V（X，T）的彎曲振動.這里T為時間，X為軸向坐標.在準靜態(tài)應(yīng)力假設(shè)下，超臨界軸向運動梁積分偏微分模型的無量綱方程為［5，11-14］

簡支邊界條件為

式中，無量綱參數(shù)為

在微幅振動時，忽略式（1）中的高階非線性項可得

方程（4）的解可以寫作［5］

式中，ωn為系統(tǒng)的第n階固有頻率，φn（x）為第n階模態(tài)函數(shù).將式（5）代入局部線性化方程（4）可得

選用靜止梁的模態(tài)函數(shù)為基函數(shù)，不妨假設(shè)

形式解（7）自然滿足簡支邊界條件（2）.將模態(tài)函數(shù)（7）代入方程（6），然后在方程兩邊同乘以sin（mπx），m=1，2，3，…，N，并從0到1積分，可得關(guān)于ωn和cnk（k=1，2，3，…，N）的超定齊次線性代數(shù)方程組

式中，cnk=Cnk/Cn1，Cn1≠0，質(zhì)量矩陣M為單位陣，阻尼矩陣G和剛度矩陣K分別滿足

為使方程組（8）有非零解，則需其系數(shù)矩陣行列式為0.于是得到系統(tǒng)固有頻率的特征方程為

將參數(shù)值代入式（11）便可近似求得前N階固有頻率.觀察發(fā)現(xiàn)，M、G和K三矩陣只與剛度系數(shù)和軸向速度有關(guān)，而與非線性系數(shù)無關(guān).因此，對于超臨界速度范圍內(nèi)軸向運動梁的微幅振動，非線性系數(shù)對固有頻率沒有影響.這一結(jié)論與參考文獻［13，14］一致.對于已求得的系統(tǒng)任意階固有頻率，即可求出相應(yīng)的模態(tài)函數(shù).

取8項截斷（N=8）為例，考慮軸向速度γ=4.0，剛度系數(shù)kf=0.8，非線性系數(shù)k1=100，則可由式（11）求得前兩階固有頻率分別為ω1=9.9181，ω2=29.9272.從而可知前兩階模態(tài)函數(shù)實部和虛部分別為

式中，Cn1=1.顯然，超臨界軸向運動梁作微振動時，非線性系數(shù)對模態(tài)函數(shù)也沒有影響，模態(tài)函數(shù)主要與剛度系數(shù)和軸向速度有關(guān).對于已經(jīng)求得的近似模態(tài)函數(shù)，可以進一步用于多尺度方法解析分析受迫振動和參激振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).

2　數(shù)值計算結(jié)果

對于給定的軸向速度、剛度系數(shù)和截斷項數(shù)，即可求得前N階固有頻率.為了簡略確定截斷項數(shù)的精度，將不同截斷項數(shù)下所求得的前四階固有頻率進行對比.從圖1給出了不同項數(shù)截斷的對比結(jié)果，圖中k1=100，kf=0.8，截斷項數(shù)分別取N= 2，4，8和16.圖示表明，在超臨界速度范圍內(nèi)，各階截斷預(yù)測了相同的變化趨勢.隨著軸向速度增加，高階固有頻率均增大.觀察發(fā)現(xiàn)，各階截斷均能得到較好的第1階固有頻率值.相比之下，2項截斷所得第1階固有頻率在軸向速度偏大時稍有誤差.對于第2階固有頻率值，2項截斷結(jié)果比更高階截斷結(jié)果值偏大，不宜使用.對于第3階和第4階固有頻率值，8項截斷結(jié)果和16項截斷結(jié)果吻合得很好，而4項截斷結(jié)果誤差較大.下文將采用8項截斷近似計算模態(tài)函數(shù).

采用有限差分法結(jié)合Fourier變換，可數(shù)值求解非線性振動的固有頻率.將有限差分法用于計算非線性自由振動的時間歷程，選取時間序列，采用Fourier變換進行數(shù)值求解低階固有頻率.數(shù)值算例表明，當初始振幅較小時，8項截斷結(jié)果與數(shù)值結(jié)果吻合得很好［14］.

圖1　不同截斷項數(shù)對固有頻率的影響Fig.1 Effects of different truncations on natural frequencies

研究表明，雖然非線性系數(shù)與靜平衡位形成反比關(guān)系［12］，但對超臨界速度范圍內(nèi)微幅振動的固有頻率和模態(tài)函數(shù)沒有影響.考慮8項截斷，軸向速度分別取作3.5，4.0和4.5，研究軸向速度對模態(tài)函數(shù)的影響，如圖2所示，圖中參數(shù)值為k1= 100，kf=0.8，Cn1=1.圖例表明，軸向速度對前兩階模態(tài)函數(shù)實部的影響較小，第1階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著軸向速度增加而增大，第2階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著軸向速度增加而減小.

圖2　軸向速度對模態(tài)函數(shù)的影響Fig.2 Effects of axial speed on modal functions

考慮8項截斷，剛度系數(shù)分別取作0.2，0.4，0. 6，0.8和1.0，研究剛度系數(shù)對模態(tài)函數(shù)的影響，如圖3所示，圖中參數(shù)值為γ=4.0，k1=100，Cn1=1.圖例表明，第1階模態(tài)函數(shù)實部中點的幅值隨著剛度系數(shù)增加而增大，而第1階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著剛度系數(shù)增加而減小.第2階模態(tài)函數(shù)實部的幅值隨著剛度系數(shù)增加而減小，而第2階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著剛度系數(shù)增加先減小，后增大，并且由4個駐點逐漸過渡成2個駐點.

從圖2和圖3可以看到，模態(tài)函數(shù)實部均為軸對稱圖形，虛部為中心對稱圖形.這是因為Cn1=1的緣故.事實上Cn1是任意常數(shù)，如果選作虛數(shù)單位i，實部便成為中心對稱圖形，虛部為軸對稱圖形.更或是，選擇一個任意復(fù)數(shù)取代它，模態(tài)函數(shù)便會成為非對稱圖形.相反，我們也能看到，將該近似模態(tài)函數(shù)用于多尺度方法計算超臨界軸向運動梁受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻特性曲線時，假設(shè)Cn1=1將會帶來一定便捷.

圖3　剛度系數(shù)對模態(tài)函數(shù)的影響Fig.3 Effects of stiffness coefficient on modal functions

3　結(jié)論

在超臨界傳輸速度范圍內(nèi)，本文基于8項Galerkin截斷，構(gòu)造了實部為軸對稱圖形、虛部為中心對稱圖形的近似模態(tài)函數(shù)，并研究了軸向速度、非線性系數(shù)和彎曲剛度對軸向運動梁橫向非線性自由振動模態(tài)函數(shù)的影響.研究表明，在微幅振動的情況下，非線性系數(shù)對固有頻率和模態(tài)函數(shù)的數(shù)值結(jié)果沒有影響.隨著軸向速度增加，高階固有頻率增大.軸向速度對前兩階模態(tài)函數(shù)實部的影響較小，第1階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著軸向速度增加而增大，而第2階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著軸向速度增加而減小.第1階模態(tài)函數(shù)實部中點的幅值隨著剛度系數(shù)增加而增大，而第1階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值隨著剛度系數(shù)增加而減小.第2階模態(tài)函數(shù)實部的幅值隨著剛度系數(shù)增加而減小.隨著剛度系數(shù)增加，第2階模態(tài)函數(shù)虛部的幅值先減小，后增大，并且由4個駐點逐漸過渡成2個駐點.該方法可推廣至近似解析分析受迫振動和參激振動.

1 馮志華，胡海巖.直線運動柔性梁非線性動力學-主參數(shù)共振與內(nèi)共振聯(lián)合激勵.振動工程學報，2004，17（2）：126～131（Feng Z H，Hu H Y.Nonlinear dynamics of flexible beams undergoing a large linear motion of basement：principal parametric and internal resonances.Journal of Vibration Engineering，2004，17（2）：126～131（in Chinese））

2 張偉，溫洪波，姚明輝.黏彈性傳動帶1：3內(nèi)共振時的周期和混沌運動.力學學報，2004，36（4）：443～454（Zhang W，Wen H B，Yao M H.Periodic and chaotic oscillation of a parametrically excited viscoelastic moving belt with 1：3 internal resonance.Acta Mechanica Sinica，2004，36（4）：443～454（in Chinese））

3 陳樹輝，黃建亮.軸向運動梁非線性振動內(nèi)共振研究.力學學報，2005，37（1）：57～63（Chen S H，Huang J L. On internal resonance of nonlinear vibration of axially moving beams.Acta Mechanica Sinica，2005，37（1）：57～63（in Chinese））

4 Mote C D.A study of band saw vibrations.Journal of the Franklin Institute，1965，279（6）：430～444

5 Wickert J A.Non-linear vibration of a traveling tensioned beam.International Journal of Non-Linear Mechanics，1992，27（3）：503～517

6 ?z H R.On the vibrations of an axially traveling beam on fixed supports with variable velocity.Journal of Sound and Vibration，2001，239（3）：556～564

7 李曉軍，陳立群.軸向運動簡支-固定梁的橫向振動和穩(wěn)定性.機械強度，2006，28（5）：654～657（Li X J，Chen L Q.Transverse vibration and stability of an axially moving beam with pinned and fixed ends.Journal of Mechanical Strength，2006，28（5）：654～657（in Chinese））

8 李彪，丁虎，陳立群.非對稱混雜邊界軸向運動Timoshenko梁橫向振動分析.固體力學學報，2009，30（6）：565～570（Li B，Ding H，Chen L Q.Transverse vibration of axially moving timoshenko beams with unsymmetrical hybrid supports.Acta Mechanica Solida Sinica，2009，30（6）：565～570（in Chinese））

9 Chen L Q，Tang Y Q，Lim C W.Dynamic stability in parametric resonance of axially accelerating viscoelastic Timoshenko beams.Journal of Sound and Vibration，2010，329（5）：547～565

10 Ghayesh M H，Balar S.Non-linear parametric vibration and stability analysis for two dynamic models of axially moving Timoshenko beams.Applied Mathematical Modelling，2010，34（10）：2850～2859

11 Ding H，Chen L Q.Equilibria of axially moving beams in the supercritical regime.Archive of Applied Mechanics，2011，81（1）：51～64

12 Ding H，Zhang G C，Chen L Q.Supercritical equilibrium solutions of axially moving beams with hybrid boundary conditions.Mechanics Research Communications，2011，38（1）：52～56

13 Ding H，Chen L Q.Galerkin methods for natural frequencies of high-speed axially moving beams.Journal of Sound and Vibration，2010，329（17）：3484～3494

14 Ding H，Zhang G C，Chen L Q.Supercritical vibration of nonlinear coupled moving beams based on discrete Fourier transform.International Journal of Non-Linear Mechanics，2012，47（10）：1095～1104

15 Zhang G C，Ding H，Chen L Q，Yang S P.Galerkin method for steady-state response of nonlinear forced vibration of axially moving beams at supercritical speeds.Journal of Sound and Vibration，2012，331（7）：1612～1623

COMPLEX MODAL ANALYSIS OF TRANSVERSALLY NON-LINEAR VIBRATION FOR SUPERCRITICALLY AXIALLY MOVING BEAMS*

Zhang Guoce1Ding Hu1?Chen Liqun1，2
（1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China）
（2.Department of Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Under the simply supported boundary conditions，the natural frequencies and modal functions of transversally nonlinear free vibrations of axially moving beams were approximately analyzed in the supercritical regime.Complex modal analysis method was devoted to the governing equation，an integro-partial-differential equation.Galerkin method was applied for the linear standard equation，an ordinary differential equation with a spatially dependent coefficient.The effects of different truncations on natural frequencies were shown.Based on the 8-term Galerkin truncation，the effects of system parameters on modal functions were discussed.

axially moving beam，nonlinearity，supercritical speed，mode，frequency

24 November 2013，revised 8 May 2015.

E-mail：dinghu3@shu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-030

2013-11-24收到第1稿，2015-05-08收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11232009，11372171和11422214），上海市教育委員會科研創(chuàng)新項目（12YZ028）和上海市青年科技啟明星計劃（11QA1402300）

E-mail：dinghu3@shu.edu.cn

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11232009，11372171 and 11422214），Innovation Program of Shanghai Municipal Education Commission（12YZ028））and Shanghai Rising-Star Program（11QA1402300）