陳忠成，解小東，謝 進(jìn)

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引言

近年來(lái)，收集環(huán)境振動(dòng)能量為微電子設(shè)備提供電能的俘能器研究越來(lái)越多[1-3]。其中，壓電俘能器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能量密度高而備受關(guān)注[4-5]。

目前多數(shù)壓電俘能器是以直接激勵(lì)方式工作。但有研究表明，參數(shù)激勵(lì)比直接激勵(lì)更能產(chǎn)生高的響應(yīng)幅值[6]。Daqaq等[7]建立了參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器的集中參數(shù)模型，并在該模型中考慮了幾何非線性和慣性非線性。Abdelkef等[8]建立了參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器的分布參數(shù)模型。Lan等[9]研究了帶末端質(zhì)量塊的參數(shù)激勵(lì)俘能器的內(nèi)共振特性。

參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器存在的主要問(wèn)題是激勵(lì)閾值高及工作帶寬窄。為了克服存在的問(wèn)題， Jia等[10-12]通過(guò)引入一個(gè)兩端固支的水平梁作為直接激勵(lì)，提出了一種自參數(shù)共振的參數(shù)激勵(lì)俘能器，實(shí)驗(yàn)證明，與傳統(tǒng)俘能器相比，該俘能器激勵(lì)閾值低，工作帶寬寬。Yan等[13-14]推導(dǎo)了自參數(shù)共振參數(shù)激勵(lì)俘能器的理論模型，進(jìn)一步揭示了其工作特性及其原理。Yang等[15]引入了一個(gè)水平梁，通過(guò)直接激勵(lì)的水平梁和參數(shù)激勵(lì)的豎直梁間的磁耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)降低激勵(lì)閾值及提高工作帶寬的功能。這些新型的自參數(shù)共振參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)均增加一個(gè)水平梁作為直接激勵(lì)，以此對(duì)激勵(lì)起放大作用，進(jìn)而降低了參數(shù)的激勵(lì)閾值，提高俘能帶寬。實(shí)際上，水平梁的增加是為系統(tǒng)增加了一個(gè)新的自由度，但加大了俘能器的結(jié)構(gòu)尺寸。

本文借鑒自參數(shù)共振的參數(shù)激勵(lì)壓電俘能器增加一個(gè)自由度以降低激勵(lì)閾值及增加俘能帶寬的思路，提出在壓電梁末端增加質(zhì)量塊-彈簧的二自由度參數(shù)激勵(lì)俘能器，并對(duì)該俘能器發(fā)生參數(shù)共振時(shí)的激勵(lì)閾值與俘能帶寬進(jìn)行分析和討論。

1 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

1.1 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)及其動(dòng)力學(xué)方程

本文提出的質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。該俘能器在參數(shù)激勵(lì)俘能器壓電梁的末端加裝一個(gè)彈簧和質(zhì)量塊。當(dāng)俘能器受到外界沿z方向上的振動(dòng)激勵(lì)時(shí)，壓電梁在末端質(zhì)量塊及彈簧的共同作用下發(fā)生參數(shù)共振。圖中，h為彈簧的高度，m0為末端質(zhì)量塊質(zhì)量，l1為壓電片距離地面的距離，ls為梁長(zhǎng)度，bs為梁的寬度，hs為梁的厚度，lp為壓電片長(zhǎng)度，bp為壓電片寬度，hp為壓電片厚度，z(t)為外界激勵(lì)位移。

圖1 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的結(jié)構(gòu)

圖1所示結(jié)構(gòu)與現(xiàn)有的一些參數(shù)激勵(lì)俘能器的主要區(qū)別是：本文提出的結(jié)構(gòu)是在質(zhì)量塊與壓電梁之間增加一個(gè)彈簧，相當(dāng)于系統(tǒng)增加了一個(gè)自由度。本文假設(shè)壓電梁末端的滑動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量和彈簧質(zhì)量都很小，可忽略不計(jì)，且彈簧為線性彈簧。

采用擴(kuò)展哈密頓原理推導(dǎo)出俘能器的機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型。擴(kuò)展哈密頓原理的表達(dá)式為

(1)

式中：q為壓電梁的廣義位移;s為末端質(zhì)量塊相對(duì)于壓電梁末端的廣義位移;V為壓電片的電壓;t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間;L=T-U-W為拉格朗日函數(shù),T為系統(tǒng)的動(dòng)能,U為系統(tǒng)的勢(shì)能;W為壓電片電勢(shì)能；δw為非保守力所做虛功的變分，且:

(2)

俘能器的動(dòng)能為壓電梁的動(dòng)能和末端質(zhì)量塊的動(dòng)能之和，即:

(3)

當(dāng)梁足夠細(xì)長(zhǎng)，假設(shè)梁不可伸展，梁的橫向位移和軸向位移間的關(guān)系為

(4)

俘能器的機(jī)械勢(shì)能包括梁應(yīng)變的勢(shì)能、梁的重力勢(shì)能、末端質(zhì)量塊的重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能，則總機(jī)械勢(shì)能為

z(t)]dx+m0g[s(t)+z(t)+u(l,t)]+

(5)

式中：(′)為對(duì)位移求導(dǎo);k為彈簧的剛度;s(t)為末端質(zhì)量塊與壓電梁末端的間距;u(l,t)為壓電梁末端與地面的軸向間距;z(t)為地面上下振動(dòng)位移;EI為梁抗彎剛度。

壓電片電勢(shì)能為

(6)

式中：θp為壓電片的機(jī)電耦合系數(shù)；Cp為壓電片的壓電電容。

為了得到系統(tǒng)的離散模型，假設(shè)一階振型占主導(dǎo)，壓電梁的橫向位移w(x,t)為

w(x,t)=φ(x)q(t)

(7)

式中：q(t)為只與時(shí)間相關(guān)的廣義位移；φ(x)為該系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)。對(duì)于兩端固支的邊界條件，模態(tài)函數(shù)為

(8)

將式(3)、(5)、(6)代入式(1)可得到質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的機(jī)電耦合方程：

(9)

為了對(duì)比分析質(zhì)量塊-彈簧對(duì)壓電俘能器俘能特性的影響，式(9)中令k=0，可得無(wú)彈簧的壓電俘能器，即現(xiàn)有的一些壓電俘能器的動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

1.2 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及動(dòng)力學(xué)性能

本文中取壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及幾何尺寸如表1所示。表中，Es、Ep為楊氏模量,ρs、ρp為梁的密度，d31為壓電常數(shù)，ε33為介電常數(shù)。

表1 壓電俘能器的系統(tǒng)參數(shù)及幾何尺寸

k2q+k4q3=0

(11)

當(dāng)k2>0時(shí)，壓電梁不屈曲，系統(tǒng)僅一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(0,0)； 當(dāng)k2<0時(shí)，壓電梁發(fā)生屈曲，此時(shí)系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn), 其中1個(gè)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(0,0)，另外兩個(gè)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即

(12)

k2=0為壓電梁屈曲與不屈曲的分界點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的末端臨界質(zhì)量用Mc表示。當(dāng)m0

(13)

當(dāng)m0>Mc時(shí)，壓電梁的固有頻率為

(14)

由表1中的系統(tǒng)參數(shù)和幾何尺寸及式(12)～(14)可得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和壓電梁的f1隨m0的變化規(guī)律，如圖2所示。

圖2 壓電梁的平衡點(diǎn)和固有頻率

由圖2可知，Mc≈0.033 kg。當(dāng)m0Mc時(shí)，系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)，其中2個(gè)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，用實(shí)線表示，一個(gè)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，用虛線表示(見(jiàn)圖2(a))；當(dāng)m0Mc時(shí)，隨著m0的增加f1增大(見(jiàn)圖2(b))。

彈簧-質(zhì)量塊的固有頻率為

(15)

當(dāng)m0

2 質(zhì)量塊-彈簧壓電俘能器俘能特性分析

根據(jù)文獻(xiàn)[17],系統(tǒng)的輸出功率與均方根電壓(Vrms)的平方成正比。本文以Vrms作為俘能器的評(píng)價(jià)指標(biāo)，則有：

(16)

本文主要研究壓電梁在未發(fā)生屈曲時(shí)的自參數(shù)共振系統(tǒng)的俘能性能。根據(jù)1.2節(jié)的分析，選取m0=0.003 5 kg

本文采用數(shù)值分析法進(jìn)行分析，在未特別說(shuō)明的情況下，其仿真的初始值均取為0，R取為5 MΩ。

圖3為有、無(wú)彈簧時(shí)Vrms和壓電梁的位移隨著激勵(lì)幅值(A)變化的關(guān)系曲線。由圖可知，無(wú)論是否有彈簧，該系統(tǒng)都存在一個(gè)激勵(lì)閾值，只有A大于激勵(lì)閾值時(shí)，壓電梁才會(huì)發(fā)生參數(shù)共振。有彈簧時(shí)激勵(lì)閾值為0.5 m/s2，無(wú)彈簧時(shí)激勵(lì)閾值為4.2 m/s2。由此可知，在質(zhì)量塊與壓電梁之間加裝彈簧能夠大幅降低俘能器的激勵(lì)閾值。

圖3 Vrms和位移隨A變化的關(guān)系曲線

為了進(jìn)一步分析質(zhì)量塊-彈簧的直接共振與梁的參數(shù)共振，取A=0.3 m/s2<0.5 m/s2，梁的初始位移取5 mm，作出質(zhì)量塊和壓電梁時(shí)域圖，如圖4所示。

圖4 A=0.3 m/s2時(shí)壓電俘能器的時(shí)域圖

由圖4(a)可知，彈簧的振幅在1 s內(nèi)先快速增大，然后又減小到一定值，這是因?yàn)閺椈蓪⒁徊糠帜芰總鬟f給了壓電梁。由圖4 (b)可知，梁的振幅經(jīng)歷了緩慢減小的過(guò)程，由于有彈簧的作用，減小的速率較慢。

當(dāng)A=1.2 m/s2>0.5 m/s2，梁的初始位移為5 mm，作出質(zhì)量塊和壓電梁時(shí)域圖，如圖5所示。

圖5 A=1.2 m/s2時(shí)壓電俘能器的時(shí)域圖

由圖5可知，質(zhì)量塊-彈簧發(fā)生直接共振，而壓電梁發(fā)生了參數(shù)共振。質(zhì)量塊-彈簧與壓電梁之間能量轉(zhuǎn)換過(guò)程為：剛開(kāi)始激勵(lì)時(shí)，彈簧首先發(fā)生直接共振，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，將能量傳遞給壓電梁，促使壓電梁發(fā)生參數(shù)共振，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，彈簧的位移減小為一定值。由此可知，壓電梁的參數(shù)共振是外部激勵(lì)和彈簧共同作用的結(jié)果。

當(dāng)A=5 m/s2時(shí)，俘能器的Vrms對(duì)于不同Ω的頻率響應(yīng)如圖6所示。

圖6 A=5 m/s2時(shí)壓電俘能器頻率響應(yīng)

由圖6(a)可知，無(wú)彈簧時(shí)，俘能器的正、反向掃頻有微小差別,俘能帶寬為20.70 Hz-19.95 Hz =0.75 Hz，均方根電壓峰值為1.2 V。由圖6(b)可知，有彈簧的俘能器的正、反向掃頻差異較明顯，說(shuō)明加裝彈簧后系統(tǒng)表現(xiàn)出較強(qiáng)的軟化和硬化相結(jié)合的特性，增強(qiáng)了參數(shù)共振，俘能帶寬為22.4 Hz-17.4 Hz=5 Hz，帶寬提高了6倍以上，均方根電壓峰值為2.4 V，提高了近2倍。

如果進(jìn)一步增大激勵(lì)幅值，差別會(huì)更明顯，圖7為A=8 m/s2時(shí)壓電俘能器頻率響應(yīng)。此時(shí)，俘能帶寬從5 Hz增加到6 Hz，均方根電壓峰值從2.4 V 增加到3.4 V。

圖7 A=8 m/s2時(shí)壓電俘能器頻率響應(yīng)

3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)俘能器的運(yùn)動(dòng)及俘能特性影響

3.1 m0及k對(duì)激勵(lì)閾值的影響

圖8為在不同m0下，俘能器的激勵(lì)閾值隨k的變化曲線，圖中水平線為未加彈簧時(shí)的激勵(lì)閾值。

圖8 激勵(lì)閾值變化曲線

由圖8可知，隨著k的增大，激勵(lì)閾值先減小后增大，呈下凹的變化趨勢(shì)。對(duì)于不同的m0，當(dāng)k大于某一特定值，有彈簧時(shí)俘能器的激勵(lì)閾值均小于無(wú)彈簧時(shí)俘能器的激勵(lì)閾值，這說(shuō)明只要加裝彈簧的k大于某一特定值，便具有減小俘能器激勵(lì)閾值的效能。

在f1∶f2=1∶2時(shí)，有彈簧的俘能器出現(xiàn)最小激勵(lì)閾值，這說(shuō)明只有在系統(tǒng)出現(xiàn)了自參數(shù)共振時(shí)，俘能器的激勵(lì)閾值達(dá)到最小。

3.2 m0與最佳剛度(K)

由圖2(b)可知，當(dāng)m0

將滿足f1∶f2=1∶2的彈簧剛度k稱為最佳剛度K，得到的m0和K間的關(guān)系如圖9所示。圖中，當(dāng)m0=Mc時(shí)，f1=0，則K=0。

圖9 m0與K關(guān)系曲線

圖10為取最佳剛度時(shí)，質(zhì)量塊-彈簧俘能器的最小激勵(lì)閾值隨m0變化的曲線。由圖可知，m0越大，最小激勵(lì)閾值就越小，當(dāng)m0>0.03 kg時(shí)，最小激勵(lì)閾值接近0。

圖10 m0與激勵(lì)閾值關(guān)系曲線

圖11為A=5 m/s2，取不同m0及其對(duì)應(yīng)的最佳彈簧剛度時(shí)，質(zhì)量塊-彈簧俘能器的頻率響應(yīng)圖。由圖可知，m0越大，俘能帶寬就越大，且Vrms也增大。由于隨著m0的增加，f1減小，則圖11中的參數(shù)共振頻率隨著m0的增大逐漸向左偏移。

圖11 不同質(zhì)量下梁的頻率響應(yīng)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了質(zhì)量塊-彈簧參數(shù)共振壓電俘能器的結(jié)構(gòu)，利用加裝在質(zhì)量塊與壓電梁間的線性彈簧，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的自參數(shù)共振。

利用擴(kuò)展哈密頓原理得到俘能器的機(jī)電耦合方程。數(shù)值仿真結(jié)果表明，加裝的彈簧剛度大于某一特定值，便可以減小俘能器激勵(lì)閾值，而此特定值與末端質(zhì)量塊的質(zhì)量相關(guān)。當(dāng)質(zhì)量塊-彈簧的固有頻率為壓電梁固有頻率的2倍時(shí)，系統(tǒng)可發(fā)生自參數(shù)共振，此時(shí)俘能器的激勵(lì)閾值達(dá)到最小，同時(shí)俘能帶寬也得到擴(kuò)展。