薛偉順 熊淵博

（四川大學建筑與環(huán)境學院，成都 610065）

基于淺水波理論液體晃動初值問題的數值模擬

薛偉順 熊淵博?

（四川大學建筑與環(huán)境學院，成都 610065）

針對日益受到關注的液體晃動問題，提出了一種基于淺水波理論的研究方案.該方案采用淺水波理論而非勢流理論導出系統(tǒng)控制方程，并通過哈密頓體系表達；利用中心有限差分法和Stormer-Verlet算法進行空間和時間離散；模擬了不同初值條件下的液體晃動情況并對比分析了影響系統(tǒng)非線性響應的主要因素.結果表明，基于淺水波理論能有效解決液體晃動問題；與Euler格式對比，Stormer-Verlet算法精度較高；除共振外對于系統(tǒng)非線性響應的影響容器初始位移比初始速度更顯著；非共振情況一定條件下，充液容器運動過程中液體晃動能起到阻尼作用.

液體晃動，淺水波理論，初值問題，數值模擬，非線性

引言

液體晃動問題普遍存在于工業(yè)流水線、航天航空、能源動力、原油儲運等眾多工程領域，且日益得到工程界和學術界的關注.尤其近些年來，隨著航空、船舶等領域的快速發(fā)展，艙內液體晃動問題引起了人們極大地關注［1-2］.當容器部分充液時，液體在外部激勵下會晃動起來，可能對結構安全造成嚴重的危害.因此，對不同激勵形式下充液系統(tǒng)響應進行研究有著非常重要的工程應用價值.

在液體晃動的描述和液體晃動的物理特性等方面，國內外許多專家學者開展了大量的研究.盧軍等［3］基于勢流理論研究了平放圓柱形貯箱內任意充液比液體晃動問題；J.H.Jung等［4］采用VOF方法對液體晃動問題進行了數值計算；李裕龍等［5］模擬計算了艙內液體的非線性晃蕩并建立了波浪中載液船舶耦合運動方程；R.Sygulski［6］假設流體為無黏、不可壓縮、微幅晃動的理想流體，采用邊界元方法研究了三維液體的晃動問題；劉富等［7］采用SPH方法對棱形液艙不同充液比所對應的艙內液體晃動進行了三維數值模擬；歐陽林輝等［8］利用有限體積法研究液體晃動行為，對二維和三維矩形儲液容器液體晃動進行了分析；孫麗娜等［9］對罐式集裝箱液體晃動過程進行了數值模擬研究；李文盛等［10］基于非線性波動理論模型，研究了儲液容器內液體晃動的動力學響應問題.然而在以往的液體晃動問題的研究中，更多的是以勢流理論為基礎，導出系統(tǒng)的控制方程，考慮外部激勵頻率與容器一階固有頻率相近或相等時的液體晃動問題［12］，而對諸如容器初始位移、容器初始速度等更一般的初值條件對液體非線性響應的影響分析還不多.

為了提出有效的數值方案，并比較分析影響液體晃動非線性響應的不同初始條件，從而為以后進一步研究液體晃動控制問題提供可靠參考.本文嘗試以淺水波理論為基礎，導出系統(tǒng)的控制方程，進而得到完整的數值方案.在此基礎上，對系統(tǒng)在不同初始條件下的非線性響應做了數值仿真對比試驗.通過將該方案與成熟的數值方案進行對比，證明了該方案能夠精確穩(wěn)定的對淺水晃動與容器平動的動態(tài)耦合問題進行計算，并且具有較高的精度.

1　系統(tǒng)控制方程

容器水平運動，令q（t）表示空間坐標（X，Y）下容器的水平位移，k為彈性常數，h0為靜水位，L為容器水平長度，（x，y）為隨體坐標系，則運動系統(tǒng)如圖1所示.

圖1　部分充液容器的運動原理圖Fig.1 Schematic of a moving vehicle partially filled with fluid

容器水平運動控制方程［11］

式中，ρ為液體密度，h（x，t）為液體高度，U（x，t）為液體水平表面速度，mf為液體質量，mv為容器質量，˙q為容器水平速度.

淺水方程［13］如下

式中，g為重力加速度，¨q為容器水平加速度.

聯(lián)合（1）和（2）得到剛性容器水平運動導致液體晃動的系統(tǒng)動態(tài)耦合控制方程.則哈密頓體系下系統(tǒng)控制方程如下

2　液體晃動問題的數值分析

2.1空間離散

離散參考空間如下

令xi（t）=x（ai，t），wi（t）=w（ai，t），控制方程（3）中第一個方程等式右側采用變分離散［14］；利用梯形法則離散（3）第三個和第四個方程中的積分項.

由此得到半離散化的哈密頓形式的控制方程組如下

式中，η為梯形法則，具有廣義動量p的量綱.

2.2時間離散

時間離散采用如下方案

這個方案即Stormer-Verlet算法，它是顯式的，并且在長時間跨度上能保持能量守恒［15］.

對（6）在每個時間步n?n+1中應用Stormer-Verlet算法，得到離散控制方程如下

式中

耦合系統(tǒng)的能量方程

當轉化為以正則變量（q，x，p，w）表示的形式時即為哈密頓方程（4）.

2.3系統(tǒng)的數值仿真試驗

取液體密度ρ=1000kg/m3，重力加速度g= 9.81 m/s2，容器水平長度L=0.525m，為滿足淺水波方程水深遠小于波長的適用條件，水深在0.05m～0.08m之間取值，空間步長Δa=1.05×10-4m，時間步長Δt=10-4s.

其中sj是滿足方程

的有限正解，其中R是與質量有關的無量綱參數，G是與能量有關的無量綱參數.圖3（a）和圖4（a）分別給出系統(tǒng)能量誤差和液面波動情況.由圖3（a）可以看到采用該方案系統(tǒng)能量誤差波動穩(wěn)定并保持有界，量級保持在10-6，足夠小.由圖4（a）液面波動情況可以看到仿真結果出現(xiàn)多峰波，表現(xiàn)出明顯的非線性符合共振對液體波動的實際影響，說明該方案是合理的.

圖2　能量Ev隨時間t的波動圖Fig.2 Energy-time curves

圖3　能量誤差Fig.3 Energy error

上述兩種初始條件下，能量波動和液面波動都表現(xiàn)出了一定的非線性，但q（0）=0.03m時非線性表現(xiàn)更為明顯，說明在相同條件下，即使容器的初始位移很小，系統(tǒng)也表現(xiàn)出明顯的非線性.q（0）=0.03m時雖然液面出現(xiàn)明顯的非線性波動，能量波動劇烈，但依然很快達到收斂，并且保持在有界范圍內，計算穩(wěn)定性較好.兩種初始條件下能量標準誤差均保持了足夠小量級，保證了較高的精確度，說明數值結果是穩(wěn)定可靠的.由能量誤差波動曲線同樣可以看出，計算很快達到穩(wěn)定并能保持足夠小量級，˙q（0）=0.12m/s時誤差雖然出現(xiàn)了“漂移”，但計算表明漂移量很小并沒有發(fā)生數量級的跳躍，計算結果是可靠的.表1能量標準誤差再次印證了以上得出的結論，對比表中數據可以看出，相同條件下本文所采用的算法在精度上有顯著提高.

圖4　隨機捕捉的自由液面Fig.4 Snapshots of the free surface profile

最后考慮給液面一個初始位移，液體靜止，忽略彈性力，來探究液體晃動是如何影響容器運動的.取液面初始傾角θ0=-0.5℃，規(guī)定逆時針旋轉為正，自由液面的初始位置為

容器水平位移及其細節(jié)在圖5中給出，能量波動及其誤差在圖6和圖7中給出，能量標準誤差在表1中列出.

表1　能量標準差表Table 1 Standard deviation of the energy

圖5　容器的位移q（t）隨時間t的變化情況及0s～5s容器的位移q（t）隨時間t的變化情況Fig.5 Computed vehicle position-time curves of the container together with the corresponding curves in sub-interval of 0s～5s

圖6　能量Ev隨時間t的波動圖Fig.6 Energy-time curve

圖7　能量誤差Fig.7 Energy error

當k=0kg/s2時，積分q（t）表達式并代入初始條件得到

等式右端第一項是均勻位移，其中˙q（0）= 0.01m/s，這從圖4中0s～100s的宏觀圖像中容器位移和時間基本呈線性關系得到表現(xiàn)，第二項令容器位移產生波動，這是由于液體質心的晃動所導致的，取一段短時間的位移進行觀察，在圖4中0s～5s容器位移的微觀圖像中可以看出曲線有一定的波動，說明液體晃動在系統(tǒng)運動過程中起到阻尼作用.另外，結合圖5圖6與表1可以看出此時能量出現(xiàn)不穩(wěn)定波動，但依然保持有界，誤差很快達到穩(wěn)定并在足夠小范圍內波動，并且能量標準誤差足夠小，精度保持在10-8量級，表明算例的計算結果依然是可靠的.

3　結論

針對液體晃動問題，本文提出了基于淺水波理論，結合Stormer-Verlet算法模擬的方案.該方案采用淺水波理論導出系統(tǒng)的控制方程，利用中心有限差分進行空間離散結合Stormer-Verlet算法進行時間離散，得到了精確穩(wěn)定的數值離散方案，通過與Euler格式對比，本文方法在計算效率相近的情況下其精度顯著提高，并能夠快速收斂和保持較好的穩(wěn)定性.模擬結果表明，基于淺水波理論能有效地解決液體晃動問題.

利用哈密頓體系表達系統(tǒng)控制方程，為一般的導出簡明有效的數值方案奠定了基礎.首先利用共振算例驗證算法精度及方案有效性，然后對初始狀態(tài)分別取容器初始位移不為零和容器初始速度不為零的兩種情況進行了對比討論，得出除共振頻率外，容器初始位移對液體非線性晃動的影響更為顯著，在工程應用中應該引起重視.然后探究了液體晃動對剛性容器運動的影響，發(fā)現(xiàn)非共振情況一定條件下由于液體質心的晃動，液體在系統(tǒng)運動過程中能起到阻尼的作用.

本文模擬方案為進一步研究更為復雜工況條件下充液系統(tǒng)響應以及液體晃動控制問題奠定了基礎.

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NUMERICAL SIMULATION ON THE INITIAL VALUE PROBLEMS OF LIQUID SLOSHING BY SHALLOW WATER WAVE THEORY

Xue Weishun Xiong Yuanbo?
（College of Architecture and Environment，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

Based on the shallow water wave theory，a research scheme was proposed for liquid sloshing problems in this paper.In this scheme，the system control equations was derived using the shallow water wave theory rather than potential flow theory，and Hamiltonian system was used to express the equations.The centered finite difference and Stormer-Verlet algorithm were then used for discrete space and time，respectively.Moreover，liquid sloshing under different initial conditions were simulated and compared to obtain the main factor that affecting the nonlinear response of the system.The simulating results indicate that shallow water wave theory can effectively solve the problem of liquid sloshing.Compared with the Eulerian scheme，the Stormer-Verlet scheme had higher accuracy，while compared with the initial velocity of the vehicle，the initial displacement had more remarkable effect on the nonlinearity response of the system.It is also found that under certain conditions，liquid sloshing acted as damping in the process of the vehicle movement.

liquid sloshing，shallow water wave theory，initial value problems，numerical simulation，nonlinearity

23 January 2015，revised 8 April 2015.

E-mail：xyuanbo@163.com

10.6052/1672-6553-2015-020

2015-01-23收到第1稿，2015-04-08收到修改稿.

E-mail：xyuanbo@163.com.