宋洪舟，魏世民，廖啟征，郭磊

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面接觸齒輪傳動(dòng)原理及幾何設(shè)計(jì)方法

宋洪舟，魏世民，廖啟征，郭磊

(北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京，100876)

為增大齒輪齒面間接觸區(qū)域，減小接觸應(yīng)力，提出一種基于面接觸的齒輪傳動(dòng)形式。根據(jù)平面連桿機(jī)構(gòu)中高副低代原理，在齒面之間添加滑動(dòng)塊、改變齒廓形狀，使齒面間點(diǎn)、線接觸轉(zhuǎn)變?yōu)槊娼佑|；利用復(fù)數(shù)矢量法建立內(nèi)外嚙合傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，得到傳動(dòng)比、角速度、角加速度方程；研究滑動(dòng)塊幾何參數(shù)和理想條件下的尺寸約束方程，分析齒廓與滑動(dòng)塊之間的相對(duì)位置，得出主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪齒數(shù)選擇的臨界條件，討論不通過情況下的齒數(shù)選擇范圍。利用三維造型工具對(duì)面接觸齒輪傳動(dòng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)并仿真分析。研究結(jié)果表明：面接觸齒輪傳動(dòng)仿真結(jié)果與理論預(yù)測(cè)結(jié)果一致，為其進(jìn)一步推廣和應(yīng)用提供了依據(jù)。

齒輪；面接觸；嚙合；滑動(dòng)塊；高副低代

齒輪是機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣泛的部件，目前齒輪傳動(dòng)形式按齒面之間的接觸特點(diǎn)可以分為點(diǎn)接觸和線接觸[1?2]，像漸開線齒輪、擺線齒輪其嚙合瞬時(shí)的接觸狀態(tài)為直線，而大多數(shù)齒輪傳動(dòng)主要以點(diǎn)接觸為主，即使是理論上為線接觸的齒輪，在安裝誤差等因數(shù)影響下，也會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)接觸[3]。從運(yùn)動(dòng)副角度來看，點(diǎn)、線接觸均屬于高副接觸[4]，高副接觸的缺點(diǎn)在于單位面積承受應(yīng)力大，考慮到材料變形與齒之間作用力的影響下，接觸點(diǎn)、線會(huì)拓展成為橢圓區(qū)域，從一定程度上減小了接觸應(yīng)力[5]。國(guó)外學(xué)者主要針對(duì)配對(duì)齒面的綜合曲率半徑、齒面修型以及接觸橢圓的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)等方面進(jìn)行了研究[6?9]；國(guó)內(nèi)學(xué)者利用有限元法對(duì)齒輪進(jìn)行接觸分析[10?12]。齒輪傳動(dòng)與連桿機(jī)構(gòu)有著密不可分的聯(lián)系，齒輪傳動(dòng)是連桿機(jī)構(gòu)的拓展和延伸[13]。在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，通常利用平面機(jī)構(gòu)中的高副低代原理[14?15]，將齒輪高副接觸瞬時(shí)替代為鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)。本文作者進(jìn)一步利用高副低代原理，在保持原有自由度基礎(chǔ)上，通過在2個(gè)齒輪之間添加構(gòu)件的方法，將點(diǎn)、線接觸轉(zhuǎn)變?yōu)榍嬷g的低副接觸，減小齒面間接觸應(yīng)力，最終形成一個(gè)脈動(dòng)輸出運(yùn)動(dòng)的傳動(dòng)形式，這種類型的傳動(dòng)適用于低速、重載對(duì)傳動(dòng)精度要求不高的場(chǎng)合。

1 共軛齒廓的形成原理

1.1 齒輪傳動(dòng)的瞬心與齒廓曲率中心位置

圖1所示為1對(duì)共軛齒廓瞬時(shí)嚙合位置。從圖1可見：在1對(duì)相互嚙合的齒輪中，1和2是2個(gè)齒輪的回轉(zhuǎn)中心，齒輪齒廓分別為和，且在點(diǎn)處切觸，直線′是通過接觸點(diǎn)兩齒廓的公法線，從圖1中可以看到兩齒廓曲率中心1和2，虛線表示曲率圓，曲率半徑為和。

齒輪作為構(gòu)件可以用1和2來標(biāo)記，機(jī)架用構(gòu)件0來表示。根據(jù)瞬心定義，齒輪相對(duì)機(jī)架的瞬心就在轉(zhuǎn)動(dòng)副中心處，記為01和02；兩齒廓接觸點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)副類型為平面高副，齒輪1相對(duì)齒輪2的瞬心在過接觸點(diǎn)公法線方向。

根據(jù)三心定理，2個(gè)齒輪的相對(duì)瞬心12應(yīng)在直線0102與′的交點(diǎn)處，容易得到2個(gè)齒輪瞬時(shí)傳動(dòng) 比為

在嚙合某一瞬時(shí)，齒廓接觸點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為矢量12，根據(jù)齒廓嚙合基本定理，切點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度必定在公切線方向，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

1.2 齒輪傳動(dòng)中的高副低代原理

對(duì)于含有高副的平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究分析時(shí)，可以將機(jī)構(gòu)中的高副根據(jù)一定條件虛擬地以低副替代，這種方法稱為高副低代[4]。進(jìn)行替代時(shí)必須滿足以下2個(gè)條件：

圖1 1對(duì)共軛齒廓瞬時(shí)嚙合位置

1) 替代前后機(jī)構(gòu)的自由度相同。

2) 替代前后機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度相同。

在平面齒輪機(jī)構(gòu)中，齒廓之間的接觸形式為點(diǎn)接觸或線接觸，從運(yùn)動(dòng)副角度來看，這2種接觸形式均為高副接觸，主動(dòng)、從動(dòng)齒輪分別繞各自回轉(zhuǎn)中心做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，那么在某一瞬時(shí)可以采用高副低代原理進(jìn)行研究。在瞬時(shí)嚙合點(diǎn)處，可用桿件12連接2個(gè)齒廓曲線和的曲率中心1和2，曲率中心分別與各自回轉(zhuǎn)中心1和2連接，這樣組成了鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)1122(圖2)。接觸點(diǎn)處的高副由中間桿件兩端低副1和2代替，中間連桿12作為新添加的第3個(gè)構(gòu)件，瞬時(shí)替代鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的自由度、瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度均與替代前齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)保持不變。

1.3 面接觸齒輪傳動(dòng)形成原理

為改變齒輪副之間的接觸形式，可以考慮把齒廓之間的點(diǎn)、線接觸轉(zhuǎn)變?yōu)榍媾c曲面接觸。圖2所示為齒輪傳動(dòng)等效鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)。以圖2所示的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)為原型，同樣利用高副低代原理，將中間桿件12替換為兩側(cè)呈凹面的滑動(dòng)塊。圖3所示為增加滑動(dòng)塊的瞬時(shí)替代機(jī)構(gòu)。從圖3可見：相應(yīng)2個(gè)齒廓取凸圓弧齒廓和，其圓心在原齒廓曲率中心處，滑塊兩側(cè)曲面與凸圓弧齒廓等半徑且始終貼合，滑塊兩側(cè)中點(diǎn)用1和2來標(biāo)記。

忽略與原齒輪傳動(dòng)的瞬時(shí)速度、加速度對(duì)比，保持機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目不變，使凸圓弧齒廓作為主動(dòng)輪，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)微小角度，齒廓推動(dòng)滑動(dòng)塊運(yùn)動(dòng)，滑動(dòng)塊擠壓從動(dòng)齒廓逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，滑動(dòng)塊作為1個(gè)傳遞運(yùn)動(dòng)的活動(dòng)構(gòu)件，始終與兩側(cè)齒廓曲面貼合并且相對(duì)滑動(dòng)，得到下一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)圖，如圖4 所示。

圖2 齒輪傳動(dòng)等效鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)

圖3 增加滑動(dòng)塊的瞬時(shí)替代機(jī)構(gòu)

上述1對(duì)齒在嚙合過程中，最大特點(diǎn)是凸圓弧齒廓與中間活動(dòng)滑塊實(shí)現(xiàn)了曲面與曲面之間的滑動(dòng)接觸，齒廓單位面積壓力減小，但輸出傳動(dòng)比不再是定值，但通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)尺寸能夠減少傳動(dòng)比波動(dòng)情況。

為使這種以面接觸為特點(diǎn)的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)連續(xù)不間斷傳遞運(yùn)動(dòng)，將圓形齒廓分別繞其回轉(zhuǎn)中心圓周布置若干齒數(shù)，滑動(dòng)塊和其中1個(gè)齒輪齒數(shù)相同，通過復(fù)位元件使滑塊貼合齒面且與齒輪徑向呈一定初始角度。主動(dòng)齒輪連續(xù)推動(dòng)從動(dòng)齒輪上的齒運(yùn)動(dòng)，這樣形成了面齒輪傳動(dòng)形式。圖5所示為面接觸齒輪傳動(dòng)嚙合原理圖。

圖4 替代機(jī)構(gòu)的下一時(shí)刻姿態(tài)

(a) 外嚙合傳動(dòng)；(b) 內(nèi)嚙合傳動(dòng)

2 面接觸齒輪傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

用復(fù)數(shù)矢量表示為

對(duì)式(5)實(shí)部虛部分離：

對(duì)式(4)進(jìn)行求導(dǎo)得

3 嚙合特點(diǎn)分析

即當(dāng)后面1對(duì)齒進(jìn)入嚙合時(shí)，必然會(huì)因?yàn)樗俣炔疃a(chǎn)生碰撞會(huì)導(dǎo)致前1對(duì)齒的脫離，在實(shí)際嚙合過程中僅有1對(duì)齒處在工作狀態(tài)，而且為保證面接觸齒輪正常工作，從動(dòng)輪齒廓必須始終在主動(dòng)輪齒廓的同 一側(cè)。

4 滑動(dòng)塊的幾何參數(shù)與約束條件

4.1 滑動(dòng)塊幾何參數(shù)

滑動(dòng)塊是實(shí)現(xiàn)面接觸傳動(dòng)的重要媒介，滑動(dòng)塊的各項(xiàng)幾何參數(shù)均影響傳動(dòng)比變化規(guī)律，為研究方便起見，定義滑動(dòng)塊的基本幾何參數(shù)如圖7所示。

圖7 滑動(dòng)塊幾何參數(shù)

滑動(dòng)塊的兩側(cè)曲面均為圓弧形，分別與相接觸的凸圓弧齒廓曲率半徑相同，最薄處厚度記為；滑動(dòng)塊寬度方向與中間端面對(duì)稱，寬度為；滑動(dòng)塊兩側(cè)邊緣形成的中心角分別為和，有以下關(guān)系：

4.2 尺寸約束條件

面接觸齒輪的各項(xiàng)基本尺寸必須在一定取值范圍之內(nèi)，根據(jù)12與主、從動(dòng)輪徑向是否共線，可以得到理想條件下尺寸之間的約束關(guān)系。

滿足三角形法則：

保持主動(dòng)輪始終沿一個(gè)方向推動(dòng)從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，而不發(fā)生反轉(zhuǎn)情況：

式中：“+”適用于外嚙合；“?”適用于內(nèi)嚙合。

5 內(nèi)、外嚙合的齒數(shù)選擇

5.1 齒數(shù)選擇范圍的臨界條件

對(duì)于面接觸齒輪傳動(dòng)而言，當(dāng)1個(gè)圓形齒廓和滑塊能夠剛好能夠進(jìn)入2齒之間時(shí)，是區(qū)別與分度圓內(nèi)側(cè)齒廓還是外側(cè)齒廓嚙合的臨界條件，以下按照不同場(chǎng)合來討論。

(a) 從動(dòng)輪臨界嚙合位置；(b) 主動(dòng)輪臨界嚙合位置

式中：“+”適用于外嚙合；“?”適用于內(nèi)嚙合。

5.2 齒輪的最少齒數(shù)

實(shí)際傳動(dòng)中，2齒輪的齒數(shù)不能太少，必須保證2對(duì)齒在鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)“死點(diǎn)”位置之間，否則傳動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生中斷。因此，可以得到最少齒數(shù)為

5.3 齒輪的最多齒數(shù)

齒輪齒數(shù)越多，越容易發(fā)生干涉現(xiàn)象，所以，要根據(jù)臨界條件分別討論主動(dòng)輪、從動(dòng)輪最多齒數(shù)?，F(xiàn)以外嚙合傳動(dòng)為例，內(nèi)嚙合與此類似過程。

6 齒根過渡與仿真分析

面接觸齒輪傳動(dòng)的齒面接觸應(yīng)力變小，但為了提高齒根彎曲強(qiáng)度，相鄰?fù)箞A弧齒之間采用圓弧過渡。圖9所示為齒輪安裝細(xì)節(jié)?；瑒?dòng)塊的中心角影響齒根危險(xiǎn)截面的寬度，通過計(jì)算得知：在相同外形尺寸和齒數(shù)的條件下，采用較小的滑動(dòng)塊，面接觸齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度高于漸開線齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度。

圖9 齒輪安裝細(xì)節(jié)

現(xiàn)給定以下1組基本結(jié)構(gòu)參數(shù)：齒輪中心距= 100 mm；齒輪1分度圓半徑1=50 mm；齒輪2分度圓半徑2=50 mm；齒輪1齒廓曲率半徑3=8 mm；齒輪2齒廓曲率半徑4=8 mm；滑塊中心厚度=2 mm；滑塊的寬度=6 mm。利用齒數(shù)判斷條件，初選齒輪1齒數(shù)1=8；齒輪2齒數(shù)2=8，對(duì)齒輪各元件裝配并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真。

根據(jù)式(13)可以得到傳動(dòng)比曲線如圖10所示。從圖10可見：虛線段為極限位置之間的理想傳動(dòng)比曲線；實(shí)線段為實(shí)際嚙合過程中，1對(duì)齒的傳動(dòng)比變化范圍；進(jìn)入、脫離嚙合1次過程中的平均傳動(dòng)比為；實(shí)際傳動(dòng)比變化的極差。計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)中心距存在誤差時(shí)，平均傳動(dòng)比的值變化很小，說明面接觸齒輪傳動(dòng)對(duì)中心距誤差不敏感，有利于實(shí)際應(yīng)用。

面接觸齒輪傳動(dòng)適用于低速重載的場(chǎng)合，仿真時(shí)假設(shè)主動(dòng)齒輪進(jìn)行慢速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為1=10 r/min。圖11所示為從動(dòng)輪仿真轉(zhuǎn)速曲線。從圖11可見：通過仿真軟件得到從動(dòng)輪的角度速度在62 rad/s附近，并且呈現(xiàn)周期性波動(dòng)變化，變化趨勢(shì)與理論計(jì)算相近，驗(yàn)證了傳動(dòng)可行性。

圖10 傳動(dòng)比曲線

圖11 從動(dòng)輪仿真轉(zhuǎn)速曲線

7 結(jié)論

1) 以增大齒輪齒面間接觸面積為目標(biāo)，考慮降低齒面間的運(yùn)動(dòng)副類型，利用平面連桿機(jī)構(gòu)中的高副低代原理，在齒與齒間添加滑動(dòng)塊，并且改變相互嚙合齒廓形狀，最終形成1種面接觸齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。

2) 建立了面接觸齒輪傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，說明該機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比為變量，當(dāng)齒輪連續(xù)傳動(dòng)時(shí)，輸出的運(yùn)動(dòng)為脈動(dòng)形式。

3) 面接觸齒輪傳動(dòng)齒數(shù)受到中心距、分度圓半徑、滑動(dòng)塊等方面參數(shù)的限制，在推薦數(shù)值范圍內(nèi)，配對(duì)齒數(shù)有多種組合選擇。

4) 滑動(dòng)塊作為實(shí)現(xiàn)面接觸的中間媒介，可安裝主動(dòng)齒輪或從動(dòng)齒輪，但須由彈性元件保證滑動(dòng)塊的初始位置，并起到復(fù)位作用。

5) 齒根采用圓弧過渡，其彎曲強(qiáng)度比一般漸開線齒輪的高。面接觸齒輪傳動(dòng)適合低速重載場(chǎng)景，能夠預(yù)見，以此原理研制成的減速器可用于千斤頂或船舶起拋，因此，從工程實(shí)際角度來看，該傳動(dòng)類型具有一定的應(yīng)用價(jià)值，若要進(jìn)一步推廣，還需進(jìn)行深入 研究。

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(編輯 羅金花)

Transmission principle and geometric design method of face contact gear

SONG Hongzhou, WEI Shimin, LIAO Qizheng, GUO Lei

(School of Automation, Beijing University of Post and Telecommunications, Beijing 100876, China)

In order to enlarge the contact area between the gear and the tooth surface and reduce the stress, a transmission method was proposed based on face contact gear. According to the lower pair replacing higher pair principle, the point contact or line contact of the tooth surface were turned into face contact with the adding of a sliding block and the changing of the shape of the tooth profile. The kinematic model of the internal and external meshing transmission was established based on the complex number vector method, and the equations of transmission ratio, angular velocity and angular acceleration were derived. The characteristics of continuous transmission and the relative position between the tooth profile and the slide block were analyzed, and the critical condition of selecting between a driving gear and a driven gear was obtained. Meanwhile, the teeth number selection range was further discussed under different situations. Furthermore, the structure design and simulation analysis of face contact gear transmission was gotten with three-dimensional modeling tool. The results show that the simulation results of the face contact gear transmission coincide with those of the theoretical prediction. Thus, a theoretical basis is provided for the promotion and application of surface contact gear transmission.

gear; face contact; meshing; sliding block; lower pair replacing higher pair

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.012

TH132.4

A

1672?7207(2015)09?3245?07

2014?11?29；

2015?01?28

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)項(xiàng)目(2011AA040203)；國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2013BAD17B06)；糧食公益行業(yè)科研專項(xiàng)(201313009-06) (Project(2011AA040203) supported by the National High Research Development Program (863 Program) of China; Project(2013BAD17B06) supported by National Science and Technology Support Program of China; Project(201313009-06) supported by Special Funds for Grain Research in the Public Interest)

魏世民，教授，博士生導(dǎo)師，從事機(jī)械傳動(dòng)及機(jī)械設(shè)計(jì)研究；E-mail: wsmly@bupt.edu.cn