梁小松

【摘 要】本文首先介紹了RMI原理，即關(guān)系（Relation）、映射（Mapping）、反演（Inversion） 原理。結(jié)合目前中職數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的問題，闡述了筆者在教學(xué)中應(yīng)用RMI原理與信息技術(shù)整合對學(xué)生進行解題訓(xùn)練的幾個實例，希望對同類教學(xué)有一定的幫助。

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué)；RMI原理；信息技術(shù)；整合

【中圖分類號】G712 【文獻標(biāo)識碼】B

【論文編號】1671-7384（2015）09-0083-03

RMI原理概述

1. RMI原理即關(guān)系映射反演原理

RMI原理即關(guān)系映射反演原理（關(guān)系Relation、映射Mapping、反演Inversion），是由中國著名數(shù)學(xué)教育家徐利治教授于1983年首先得出的，它是經(jīng)過建立一種映射，把所研究的對象從一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中映射到另一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中去，利用新的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的知識，研究問題的解，然后再通過反演，得到原來問題的解答的一種解決問題的思維方法。它是實現(xiàn)化歸的一種重要的、規(guī)范化的原理。因此，在較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題解決過程中，可以考慮借助于RMI這一模式簡化數(shù)學(xué)問題，達到解決問題的目的。

RMI原理的內(nèi)容可用框圖表示如圖1所示。

圖1 RMI原理

簡單地解釋這個框圖就是：我們要求的未知目標(biāo)原象x是一個不容易求出的量，通過含有x的原象關(guān)系結(jié)構(gòu)R，利用映射M（一一對應(yīng)）將所求問題映射到映象關(guān)系結(jié)構(gòu)R*，從R*中找出未知原象x的映象x*，如果x*可以確定下來，再通過反演即逆映射M-1就可以將未知目標(biāo)原象x確定下來。值得注意的是，這里用到的映射M與反演M-1必須是確實可行的，否則整個過程都將無任何意義。

2. RMI原理的具體應(yīng)用

人們一看到RMI原理，會產(chǎn)生很多的疑問，不知道其是何意。其實，早在我國古代就已經(jīng)有人運用它來解決問題了，“曹沖稱象”就是一個典型的實例。在當(dāng)時的技術(shù)條件下，直接稱大象的質(zhì)量是很難辦到的，于是曹沖就想到了利用現(xiàn)代物理學(xué)的有關(guān)浮力的原理，把稱量大象的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為稱量與其等重的石塊的質(zhì)量，稱量大象轉(zhuǎn)化為稱量石塊，問題一下子就被解決了。簡單地說，RMI原理的基本思想就是數(shù)學(xué)的化歸思想。

此外，我們在利用對數(shù)來計算龐大的數(shù)字的乘、除、乘方、開方等運算時，常常用的就是這一模式。一般是先取其對數(shù)，然后利用對數(shù)的性質(zhì)將乘、除、乘方、開方等運算轉(zhuǎn)化為加、減、乘、除等運算，計算出結(jié)果后再求反對數(shù)，就得到所需計算的結(jié)果。

中職數(shù)學(xué)教學(xué)中RMI原理與信息技術(shù)的整合

1.在解決幾何問題中的整合應(yīng)用

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)它的知識內(nèi)容，還要掌握數(shù)學(xué)的思維、思想和方法。掌握基本數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解與記憶，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法是通向正遷移大道的“光明之路”。結(jié)合中職數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法，不僅能使學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，更有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，初步理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的精神，感受數(shù)學(xué)科學(xué)的精髓和思想。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意這種思想在中職數(shù)學(xué)中的滲透，使學(xué)生領(lǐng)會RMI這種重要的數(shù)學(xué)思想，使他們學(xué)會運用這種思想解決在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難，從而達到鍛煉思維、激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的目的。而適時引入多媒體、網(wǎng)絡(luò)等信息化教學(xué)手段進行教學(xué)，可以大大加快學(xué)生對知識理解的進程。

例如，中職數(shù)學(xué)教材中有這樣一個問題：在鐵路的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在路邊建一個貨場C，使A、B兩地到貨場C的距離之和最小，如圖2所示。問貨場C應(yīng)在什么位置？

圖2

要解決這個問題首先要把它數(shù)學(xué)化，把它變成一個幾何問題，即用到建模的思想，然后利用RMI原理進一步求解。因此，可把此問題映射到平面幾何中對稱的結(jié)論，作A以鐵路為軸的對稱點A，連結(jié)AB，AB與鐵路的交點就是貨場C，此過程中我利用幾何畫板制作了一個課件，利用軟件繪制的生動、形象的圖形，讓學(xué)生通過對直觀圖形進行觀察和測量，理解抽象的理論概念，從而證明C點到AB兩點距離之和最短。再反演回到問題的開始，即可得出結(jié)論，在整個解題過程中滲透此原理，而信息化教學(xué)手段的應(yīng)用又降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，達到了很好的整合效果。

2.在解決應(yīng)用問題時的整合應(yīng)用

應(yīng)用問題從來都是中職學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個難點，教學(xué)過程中如何突破難點是一個需要認(rèn)真思考的問題。數(shù)學(xué)思想方法總是蘊含在具體的數(shù)學(xué)基本知識里，處于潛形態(tài)。如何挖掘問題中深層次的信息是關(guān)鍵，要獲得問題的答案，當(dāng)然會想到把它化歸成我們熟悉的問題來解決，RMI原理的應(yīng)用就順理成章了。例如，在人教版中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）上冊（2009版）3.3中有下列例題：一家旅社有客房300間，每間房租20元，每天都客滿，旅社欲提高檔次并提高租金，如果每間房租每增加2元，客房出租數(shù)會減少10間，不考慮其他因素時，旅社將房租租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？

我們先設(shè)提高x個2元時，利潤為y元，把問題映射到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)，求出函數(shù)的最值，再反演回到問題的開始的原象，問題便得以解決。具體過程思維框圖如圖3所示。

圖3

教師可用多媒體課件把配方的過程加以演示，以提高教學(xué)效率。

3.在求函數(shù)值域問題中的整合應(yīng)用

又如求函數(shù)f（x）=0.2-x+1（x∈R）的值域，由于直接求原函數(shù)的值域有困難，學(xué)生很難想出思路，教師適時進行引導(dǎo)，把此問題映射為求其反函數(shù)f -1（x）= log（x-1），再求反函數(shù)的定義域x>1，反演回到原函數(shù)的值域y>1，具體過程思維框圖如圖4所示。

圖4

此時，教師“另辟蹊徑”，利用教學(xué)軟件給出函數(shù)y=0.2-x+1（x∈R） 的圖像，如圖5所示。

圖5

學(xué)生直接從圖像上即可看出函數(shù)的值域，遵循了教學(xué)的直觀性原則，可見“數(shù)形結(jié)合”的重要性，也體現(xiàn)了信息化教學(xué)的優(yōu)點。

4.求函數(shù)解析式時的整合應(yīng)用

函數(shù)中的換元法，也是RMI原理應(yīng)用的一種表現(xiàn)，即將函數(shù)的“自變量”或某個關(guān)系式代之以一個新的變量（中間變量），然后找出函數(shù)對中間變量的關(guān)系，從而取表達式。我們看如下例子：

已知 ，求f（x）的表達式。

本題很難用定義法解決，即通過配方、湊項等使之變形為關(guān)于“自變量x”的表達式。因此，可用一個新的變量代替函數(shù)中原來的自變量表達式，在此過程中要注意自變量的范圍。其過程用框圖表示如圖6所示。

圖6

解題過程：令u=（u≠1），

則x=，

于是f（u）=，

以x代u得：f（x）=x2-x+1。

我在講授時利用PPT制作了課件，把整個化簡的過程加以展示，上課時只須用鼠標(biāo)作“一指禪”，每次輕輕一點，相關(guān)的步驟就自動展現(xiàn)出來。課件還有一個優(yōu)點就是具有可重復(fù)性，老師可根據(jù)學(xué)生的接受情況，隨時返回需要重復(fù)的內(nèi)容，這樣提高了課堂的效率，增大了課堂的容量。

以上內(nèi)容闡述了筆者在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中把RMI原理的應(yīng)用與信息技術(shù)整合的幾個教學(xué)實例，使RMI原理這棵“老樹”在信息化教學(xué)手段下發(fā)出了“新芽”，達到了預(yù)期的整合目的。當(dāng)然，RMI原理的思想方法作為數(shù)學(xué)思維的重要特點之一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象性，是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的重要體現(xiàn)。它也不是萬能的，因為它并不能獨立解題，而是基于應(yīng)有的數(shù)學(xué)知識之上，尋求一種將“未知、復(fù)雜、困難”的問題轉(zhuǎn)化為“簡單、容易”的映射。在新的領(lǐng)域中，使問題得到解決，再“反演”回原來的領(lǐng)域中去。 筆者同時也認(rèn)為，信息化教學(xué)手段更不是萬能的，首先，不是每個數(shù)學(xué)知識點都能用上多媒體，用得不好還有可能分散學(xué)生的注意力，干擾學(xué)生的解題思維，削弱課堂教學(xué)效果，數(shù)學(xué)課件的設(shè)計始終應(yīng)將解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題放在第一位；其次，應(yīng)用多媒體課件上課，教學(xué)密度加大了，留給學(xué)生思考的時間卻少了，有可能產(chǎn)生學(xué)生對一些內(nèi)容感到“一知半解”的結(jié)果。因此，我們要不斷地探索和實踐，這是我們廣大教師的責(zé)任和追求。

參考文獻

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（作者單位：云南昆明市盤龍職業(yè)高級中學(xué)）