倪玲羚

[摘 要]思維能力是學(xué)生重要的能力之一。數(shù)學(xué)教學(xué)中，可通過(guò)“借助動(dòng)手操作，讓思維有物可參”“呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖式，讓思維有跡可循”“鼓勵(lì)合情推理，讓思維有據(jù)可依”三個(gè)途徑，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生獲得發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思維 能力培養(yǎng) 動(dòng)手操作 動(dòng)態(tài)圖式 合情推理

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）23-036

數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何促進(jìn)表面的認(rèn)識(shí)與深層的理解兩者間的有效融合，是教師重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該根據(jù)學(xué)生“學(xué)”的脈絡(luò)，深入落實(shí)“教”的本質(zhì)，讓學(xué)生的思維參與其中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、借助動(dòng)手操作，讓思維有物可參

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“要提倡‘做數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，在具體操作中實(shí)現(xiàn)思維的提升。”實(shí)物操作，是學(xué)生思維的具體化，可以幫助學(xué)生逐步形成概念，增強(qiáng)對(duì)新知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)。

例如，教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，圓心是用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)針尖固定的一點(diǎn)，從字面上理解就是圓的中心點(diǎn)，這是學(xué)生的先知，在教學(xué)中是否僅僅呈現(xiàn)這一點(diǎn)就行了呢？從知識(shí)的發(fā)展來(lái)看，不僅要讓學(xué)生“知其然”，更要讓學(xué)生“知其所以然”。那么，該如何證明圓心這一點(diǎn)就是這個(gè)圓的中心呢？課堂上，教師可把問(wèn)題拋給學(xué)生，讓學(xué)生結(jié)合自己的已知去嘗試探究新知。通過(guò)對(duì)實(shí)物的操作，學(xué)生對(duì)圓心的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“針尖固定的點(diǎn)”這一淺層的直觀表面上，而是深入到“點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)的距離”這一深層的本質(zhì)關(guān)系中。關(guān)于“圓心確定位置”這一知識(shí)點(diǎn)，教師可通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生得出：把圓心點(diǎn)在桌上，圓就畫(huà)在了桌上；把圓心點(diǎn)在紙上，圓就畫(huà)在了紙上……所以圓心決定了圓的位置。而事實(shí)上，大部分學(xué)生都認(rèn)為，圓的位置是由老師決定的，因?yàn)槔蠋煱褕A畫(huà)在哪里，那么這個(gè)圓就畫(huà)在了哪里。如何讓學(xué)生真正理解“圓心決定圓的位置”這一結(jié)論呢？教師可以結(jié)合數(shù)對(duì)的知識(shí)，利用計(jì)算機(jī)命令畫(huà)圓的方法，讓學(xué)生在表格里先動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，然后觀察比較并說(shuō)一說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。通過(guò)直觀的操作和觀察，使學(xué)生深刻理解了“圓心決定圓的位置”這一結(jié)論。

二、呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖式，讓思維有跡可循

在皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中，圖式是指一個(gè)有組織、可重復(fù)的行為模式或心理結(jié)構(gòu)，是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)的單元。而動(dòng)態(tài)圖式，則是圖式的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，通過(guò)圖式的運(yùn)動(dòng)與變化的過(guò)程，使數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的思維中不斷深刻，從而促進(jìn)系統(tǒng)的知識(shí)建構(gòu)。

課堂上，學(xué)生已經(jīng)知道半徑是連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，同一個(gè)圓的半徑有無(wú)數(shù)條并且都相等。面對(duì)學(xué)生的已知，作為教師，如何讓學(xué)生的思維更深入、更接近知識(shí)的本質(zhì)呢？從知識(shí)的形成角度來(lái)講，教師不僅要關(guān)注知識(shí)本身，更要關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展。在初步揭示圓的半徑的概念后，教師可出現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖式（如），讓學(xué)生判斷這里的線段是不是圓的半徑。在這樣動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程中，學(xué)生明白了什么是圓的半徑，從而理解何為“連接圓心與圓上的線段是半徑”了。在學(xué)生借助動(dòng)態(tài)圖式深刻建構(gòu)圓的半徑的概念后，教師可結(jié)合學(xué)生的操作與匯報(bào)，再次借助動(dòng)態(tài)圖式，讓學(xué)生直觀感知圓是無(wú)數(shù)點(diǎn)的集合，明白連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，并通過(guò)一條半徑的旋轉(zhuǎn)得出“同一圓內(nèi)所有半徑都相等”的結(jié)論。通過(guò)動(dòng)態(tài)圖式，既突破了學(xué)生認(rèn)知的局限，又提升了學(xué)生想象的空間。本節(jié)課中，還可以通過(guò)動(dòng)態(tài)圖式（），引導(dǎo)學(xué)生理解圓是一個(gè)無(wú)限正多邊形，讓學(xué)生感受到正多邊形隨著邊數(shù)的增加越來(lái)越逼近圓。這種極限思想的感悟，對(duì)學(xué)生而言是一種力量的震撼，使學(xué)生的思維不再是空中樓閣，而是有跡可循。

三、鼓勵(lì)合情推理，讓思維有據(jù)可依

通過(guò)推理，可以深刻理解數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間的邏輯關(guān)系。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”，所以教師教學(xué)時(shí)要運(yùn)用有關(guān)類比的方法，結(jié)合學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷類比的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

如圓的直徑和半徑這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是相互依存的，教師教學(xué)直徑的特征時(shí)完全可以通過(guò)類比，借助合情推理，引導(dǎo)學(xué)生深入研究。課堂上，教師可結(jié)合直徑的概念提出問(wèn)題：“直徑有什么特征？直徑和半徑有什么關(guān)系？”學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)物的觀察類比、合情推理就能得出：在同一個(gè)圓中，直徑是半徑的兩倍，半徑是直徑的一半。既然在同一個(gè)圓中半徑的長(zhǎng)度都相等，那么在同一個(gè)圓中直徑的長(zhǎng)度也相等；同理，在同一個(gè)圓中，因?yàn)榘霃接袩o(wú)數(shù)條，所以在同一個(gè)圓中直徑也有無(wú)數(shù)條。最后，借助動(dòng)態(tài)圖式論證這一推理。這樣教學(xué)，既引領(lǐng)學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又通過(guò)合情推理，使學(xué)生的思維有據(jù)可依。

總之，課堂上，教師要從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們參與各種數(shù)學(xué)活動(dòng)，提升學(xué)生思維的深度與廣度。

（責(zé)編 杜 華）