曾艷

[摘 要] 數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，它對解決數(shù)學問題具有重要的指導作用。數(shù)學思想方法是數(shù)學知識、技能和方法的本質(zhì)體現(xiàn)。數(shù)學思想能促進學生思維變通性、廣闊性發(fā)展，能有效提高學生分析問題和解決問題的能力。課堂教學中教師在要求學生掌握相關(guān)數(shù)學知識的同時，也要有意識地滲透一些數(shù)學思想，以增強學生的數(shù)學應(yīng)用意識。

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；課堂教學；數(shù)學思想；滲透

數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，在數(shù)學教學中，教師要結(jié)合新課程新教材要求，不斷創(chuàng)新教學方法，在講解知識和習題訓練中，不斷引導學生培養(yǎng)類比、歸納、推理、轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思維方法，形成解決數(shù)學問題的基本策略，不斷提高對滲透思想方法重要性的認識。

一、在構(gòu)建課堂教學情境中滲透數(shù)學思想

中學的數(shù)學學習中公式多，概念多，符號多，學生學習時，往往感到吃力、枯燥。用傳統(tǒng)的教學模式教學，很難激發(fā)學生的學習興趣。此時，在數(shù)學教學中，教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變教學觀念，更新教學模式。新授教學內(nèi)容需創(chuàng)設(shè)一定的教學情境時，若有意識地滲透數(shù)學思想，能吸引學生學習的注意力，使學生較快地投入到數(shù)學學習中。

著名數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休?！睌?shù)形結(jié)合，直觀顯現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合的思想主要是構(gòu)建數(shù)與形之間的關(guān)系，通過以形助數(shù)、以數(shù)助形和數(shù)形互助的方式，充分地將直觀和抽象的知識統(tǒng)一融合，達到靈活解題的目的。向量具有“數(shù)”與“形”的雙重特征，向量“數(shù)”的特征表現(xiàn)在其具有大小、良好的運算特征；向量“形”的特征表現(xiàn)在其具備方向、長度、夾角等特征。平面幾何中的許多問題，如平行、垂直、長度、夾角等都可用向量法探析。

在應(yīng)用向量解決物理問題時，需要將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，同時用數(shù)學模型解釋有關(guān)的物理現(xiàn)象。平面向量的應(yīng)用較為廣泛，已經(jīng)成為中學數(shù)學知識的一個交會點，同時也是高考考查的一個熱點。之后引出“平面向量在平面幾何中的應(yīng)用”，用向量知識解決平面幾何中證明線段相等或平行問題，一般是轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的向量（或它的長度）等來解決。

二、在數(shù)學概念解讀過程中滲透數(shù)學思想

數(shù)學的概念多且難于理解，在概念教學中可適時運用數(shù)學建模思想來加以解讀。建模思想就是通過建立數(shù)學模型來解決實際問題的一種思維方法。如，在講“導數(shù)的概念”時，可給予兩種模式：一種是變速直線運動的瞬時速度，另一種是非恒定電流的電流強度。對于這里提到的兩種不同的模型，如果能拋開其實際的意義，只看數(shù)學結(jié)構(gòu)，它們具有相同的形式，同樣可以歸結(jié)為一個數(shù)學模型。換言之，就是函數(shù)的自變量與改變量之間的比值。當其中的自變量以及改變量都趨向零時，就突破形式的極限，這在數(shù)學的定義上為函數(shù)的導數(shù)。當有了導數(shù)的定義之后，前面的兩個模型就容易解決，這不僅衍生了導數(shù)的概念，也可以讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的魅力。

函數(shù)和方程是兩個最基本的數(shù)學概念，兩者都是含有未知數(shù)的等式，我們可以說它們是同根生的一棵并蒂蓮。函數(shù)和方程的關(guān)系是：所有的函數(shù)解析式都是方程，而所有的方程并非都是函數(shù)解析式，只有滿足函數(shù)定義的方程才是函數(shù)?；谶@種同根性，兩者可以互相轉(zhuǎn)化。

三、在數(shù)學問題推導過程中滲透數(shù)學思想

在實際生活中，普遍存在著利潤最大、面積最小、距離最短等最優(yōu)化問題，常常需要構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型，將待解決的問題納入模型的范圍，并運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問題。如：某種商品，當商品進貨單價為45元時，若按50元一個售出，能賣出50個。如果銷售單價每漲一元，銷售數(shù)量減少2個，為獲得最大利潤，此商品的最佳銷售單價應(yīng)定為多少元？

設(shè)銷售單價漲x元，則每個售價為（50+x）元。每個商品的利潤為（5+x）元，此時售出（50-2x）個，其利潤函數(shù)為y=（5+x）（50-2x）=-2（x-10）2+450。此題是構(gòu)建二次函數(shù)模型的數(shù)學方法，并求最大值的應(yīng)用類型，結(jié)合“利潤=（售價-進價）×銷售量”就能推導出最佳銷售單價為60元。

四、在數(shù)學習題訓練過程中滲透數(shù)學思想

常見的數(shù)學思想有：比較、類比、分類、方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學建模思想和變與不變等思想。數(shù)學思想對解決數(shù)學問題，提高解題效率具有明顯的指導作用。在平時的數(shù)學課堂教學及習題訓練中，教師一定要有意識地重視對常用數(shù)學思想方法的總結(jié)與提煉，并在解題中不斷滲透，它們是解題的指導思想，可以提高數(shù)學教學及解決數(shù)學問題的有效性。

如：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。

（1）y=|x-2|；

（2）y=x2-3|x|+1/4。

在對函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究上，恰當運用數(shù)形結(jié)合思想，能使問題化難為簡，達到事半功倍的效果。例題中可將這兩個函數(shù)的圖像畫出來，根據(jù)圖像即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。在高中數(shù)學解題中運用數(shù)形結(jié)合思想的也比比皆是，“數(shù)”與“形”是相互依賴、相互滲透的。數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學語言和直觀圖形結(jié)合起來，發(fā)揮直觀對抽象的支撐作用。在解決“與奇偶性有關(guān)的問題”時，運用數(shù)形結(jié)合思想，可以把抽象的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當?shù)膱D形。利用圖形的直觀性發(fā)現(xiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。在高中數(shù)學解題的過程中，時常會碰到“三角函數(shù)”的問題，這些數(shù)學問題往往都能利用數(shù)形結(jié)合的思想進行解答；在初中階段的“不定式與不等式組”“數(shù)據(jù)的分析”等問題的訓練中，數(shù)形結(jié)合思想也是常用的思維方式。數(shù)形結(jié)合思想的探討主要體現(xiàn)在兩個方面：一是“以數(shù)解形”，即借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性；二是“以形助數(shù)”，即借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系。

又如：一塊電路板的AB線段之間有60個串聯(lián)的焊接點，知道電路不通是由焊口脫落造成的，要想一定能檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測的次數(shù)是（ ）

A.4 B. 6 C. 8 D. 30

在審題后，我們利用二分法的思想，就可以解決這一類對稱問題，省時省力，提高效率。每查一次，待查的工作量就會縮減一半。就例題而言，利用二分法的思想，不斷二分焊接點。第一次縮小到需要檢測30個焊接點；第二次縮小到需要檢測15個焊接點；第三次縮小到需要檢測8個焊接點；第四次縮小到需要檢測4個焊接點；第五次縮小到需要檢測2個焊接點；第六次檢測出焊口脫落處。故選B。二分法是求方程根的一種算法，其理論依據(jù)是零點存在的結(jié)論。利用二分法，我們可以探求零點，尋找零點所在區(qū)間，利用二分法的思想，可以提高工作效率，使同學們學會碰到問題時用數(shù)學思維去思考，進而使同學們變得更聰明，更具有數(shù)學素養(yǎng)。再如“一元一次方程”和“一元二次方程”的解法，同學們都已經(jīng)學過，但是一元三次或更高次的方程應(yīng)該怎樣求解呢？這里也就可以滲透“二分法”的思想，應(yīng)用二分法求方程的近似解。在確定近似解時，要注意精確度的要求，必須是二分區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值達到精確度要求后的值為同一個值，這個值才為方程的近似解。

總之，數(shù)學思想的了解和認識看起來簡單，但是只有經(jīng)過反復的練習和應(yīng)用，通過一題多解、一題多變，多題歸類、分類變化，在討論與探究中讓學生展開思維，進行觀察、分析、推理、歸納等，不斷加深對數(shù)學思想的認識和理解并結(jié)合習題靈活運用，才能真正提高解題效率。

責任編輯 王 慧