陳俊斌

同構(gòu)是數(shù)學(xué)中一個重要的概念，若兩代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)，則其上的對象會有相同的屬性和性質(zhì)，對某個系統(tǒng)成立的命題在另一個系統(tǒng)上也就成立.因此，如果在某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了一個對象結(jié)構(gòu)同構(gòu)于某個結(jié)構(gòu)，且對于該系統(tǒng)已經(jīng)得到許多結(jié)論，那么這些結(jié)論就可以應(yīng)用到另一領(lǐng)域.

高中數(shù)學(xué)新課程選修系列中增加了“矩陣與變換”的內(nèi)容，本文將證明復(fù)數(shù)系統(tǒng)與某類矩陣系統(tǒng)同構(gòu)，從而可以從矩陣與變換的觀點看復(fù)數(shù)，另外，把矩陣與變換的問題轉(zhuǎn)換成學(xué)生熟悉的復(fù)數(shù)問題，再從復(fù)數(shù)的某些運算性質(zhì)猜測相應(yīng)的矩陣與行列式運算性質(zhì)，還可從復(fù)數(shù)的分類看該類矩陣結(jié)構(gòu)中矩陣的分類，旨在提供矩陣方面與復(fù)數(shù)的一種視角，同時也能加強這兩部分知識間的聯(lián)系.

1.3兩代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)

2.從矩陣與變換的觀點看復(fù)數(shù)

高中數(shù)學(xué)新課程選修系列中矩陣與變換知識的出現(xiàn)，使相關(guān)知識逐漸為人們所熟悉.而在復(fù)數(shù)的教學(xué)實踐中，虛數(shù)單位的理解是個難點，因此，從矩陣也變換的觀點看復(fù)數(shù)，既能加強這兩部分知識的聯(lián)系，又能加深學(xué)生對虛數(shù)單位數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

4.共軛復(fù)數(shù)運算與矩陣行列式運算

合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng).由于矩陣與復(fù)數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)，使得它們具體相似的性質(zhì)，因此可以采用類比的方法推測它們可能具有的性質(zhì).

5.從復(fù)數(shù)分類看部分矩陣的分類

對任一a+bi∈C■，根據(jù)a、b的不同取值情況，可將復(fù)數(shù)分為四大類：①零（a=0，b=0）；②非零實數(shù)（a≠0，b=0）；③純虛數(shù)（a=0，b≠0）；④非實數(shù)且非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.由對應(yīng)法則（Ⅰ）有，上述四類復(fù)數(shù)分別對于矩陣0 00 0，a 00 a，0 -bb 0，a -bb a（a≠0，b≠0），亦即我們也可將C■中矩陣細分為上述四大類，而由矩陣知識我們可知四大類分別為零矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、“第四類矩陣”（a≠0，b≠0）（指C■中除前三類外的）.事實上，對任一方陣A，我們有A=B+C，其中B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣，對應(yīng)在C■中，即如下運算：a -ba a=a 00 a+0 -bb 0.應(yīng)用對應(yīng)法則（Ⅰ）則可得，任一復(fù)數(shù)（非實數(shù)的）復(fù)數(shù)可唯一地表示為一個實數(shù)與一個純虛數(shù)的和.

數(shù)學(xué)中看似兩個不相關(guān)的領(lǐng)域——復(fù)數(shù)和矩陣，經(jīng)抽象概括后，可得到相同的數(shù)學(xué)理論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系.應(yīng)用同構(gòu)的觀點，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，進一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力.