朱學(xué)堯

《教學(xué)月刊》2015年第6期刊載了張奠宙和戎松魁兩位教師撰寫的《正本清源，通過“數(shù)數(shù)”活動理解運算律》文章，文章的副標(biāo)題是：“關(guān)于加法和乘法交換律的討論”（以下簡稱《正》文）。筆者也曾撰文寫過關(guān)于對加法交換律和結(jié)合律教學(xué)思考的文章，并在課堂教學(xué)中實踐過，收到很好的教學(xué)效果。拜讀《正》文后，深受感觸，受兩位教師文末的“六個”觀點的啟發(fā)，又一次引起了筆者對蘇教版教材“運算律”單元教學(xué)的思考。

蘇教版教材在四年級下冊把“運算律”單設(shè)單元，來完成加法和乘法的5個定律，單設(shè)單元集中教學(xué)幾個“運算律”，其目的是便于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)，集中體現(xiàn)用字母表示幾個運算規(guī)律的概括性和簡潔性。但是筆者以為，此時沒有必要再花時間和創(chuàng)設(shè)情境來讓學(xué)生經(jīng)歷幾個運算律的發(fā)現(xiàn)、猜想和驗證的過程。因為學(xué)生在一、二年級時，對加法和乘法的意義以及幾個運算律已經(jīng)積累了一定的經(jīng)驗，只不過這時的經(jīng)驗是感性的、模糊的、零碎的，僅需要教師提供回顧、梳理、歸納和概括的平臺，讓學(xué)生借助加法和乘法的意義，從本源上來說清道理，從“運算律”生長的“根”上來理性地分析。

一、基于學(xué)生對“運算律”已有認知經(jīng)驗的分析

筆者以為，在學(xué)習(xí)交換律之前，學(xué)生對加法和乘法的交換律的認知并不是一張空白紙，如在一年級加法單元教學(xué)，不同版本教材都創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生在解決問題的過程中來建構(gòu)加法意義和各部分名稱。以蘇教版教材為例：

教材創(chuàng)設(shè)了小朋友澆花的情境，學(xué)生在回答“澆花的一共有多少個小朋友”的問題時，由于還沒有正式學(xué)過用一個加法算式來表示，因而，大部分同學(xué)用“數(shù)數(shù)”累加的方法。如先數(shù)正在澆花的有3個小朋友，再數(shù)又來的2個小朋友，也就是從3往后累加數(shù)2個，即澆花的一共有5個小朋友。當(dāng)然，也有部分同學(xué)是從2往3來累加數(shù)的。然后，教師會引導(dǎo)學(xué)生想：“怎樣把剛才數(shù)的過程，用一個算式來表示呢？”教師再適時介紹3+2=5或2+3=5這兩個加法算式。從這里可以看出，從一年級“加法認識”單元教學(xué)開始，學(xué)生就已經(jīng)接觸了加法的交換律。先數(shù)左邊3個同學(xué)再接著數(shù)右邊2個同學(xué)與先數(shù)右邊2個同學(xué)再接著數(shù)左邊3個同學(xué)，其結(jié)果是不變的，這就是加法交換律的“雛形”，是“具體”的、“情景化”的。隨著經(jīng)驗的積累，這種“雛形”將日益完善，這個“規(guī)律”將被學(xué)生逐步內(nèi)化成：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)用加法來計算，合并是不考慮先后的認知經(jīng)驗的。

同樣，學(xué)生對乘法交換律的“雛形”，早在二年級就已經(jīng)有了初步的感知。如二年級上冊第一單元“乘法認識”。教學(xué)時教材創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：

依托情境圖讓學(xué)生分別列出求各有多少只小動物，然后讓學(xué)生觀察這些算式的特點都是求幾個相同加數(shù)和的運算（這就是乘法的意義）。這種特殊的加法算式還可以用一道乘法算式來表示，由此，引出乘法算式。如2+2+2可以寫成2×3或3×2。老教材突出2+2+2表示3個2相加，寫成乘法算式是2×3，3+3表示2個3相加，寫成乘法算式是3×2;兩位教授在《正》文中，特別強調(diào)了此事，說把“2×7和7×2看作是同一件事，混淆了兩種不同的計算過程，使乘法交換律變得沒有意義，缺乏科學(xué)性。”其實，若避開具體的情境來看2+2+2這個算式，把這三個相同的加數(shù)寫成兩個相同加數(shù)的形式就是3+3，同樣，3+3若寫成三個相同加數(shù)的形式就是2+2+2。從這一點來說，兩個乘法算式的計算結(jié)果雖然是一樣的，所體現(xiàn)的過程（實際上也是意義）是不一樣的，如《正》文所說。但筆者以為，教材不再讓學(xué)生來區(qū)分2×3和3×2過程上的不同，是基于教師易教、學(xué)生易理解的角度上考慮的。因而，在后面的解決問題以及“乘法口訣”教學(xué)時，只要是涉及用乘法列式的，學(xué)生就不會考慮兩個乘數(shù)的前后位置關(guān)系了。

加法和乘法的結(jié)合律，是交換律的拓展，可以把它看作一種“特殊”交換律來教學(xué)。因為有了兩個加數(shù)交換位置和不變的經(jīng)驗，學(xué)生便可類推出三個加數(shù)甚至更多個加數(shù)相加，任意交換它們的位置和也會不變的。之所以可以這樣說，因為學(xué)生已有了加法和乘法意義的支撐。如口算2+3+4，表示三個數(shù)合并在一起，既然是合并（累加）就不分先后。同樣，在口算3×2×4時，學(xué)生能體會到先算3×2得6，6×4與4×6結(jié)果又是一樣的，因此，3、2、4這三個乘數(shù)可以先任意兩個數(shù)相乘。這就是加法結(jié)合律構(gòu)建的“萌芽”時期，這是在“做”中積累的經(jīng)驗。教學(xué)結(jié)合律時，需要讓學(xué)生進一步明白的是：三個數(shù)在一起計算，是有一定順序的，不像兩個數(shù)相加（乘），只存在位置上的變化，不存在順序上的改變。為了體現(xiàn)這種運算順序的改變，在計算時，我們一般要用“（）”來表示，這樣，便于讓學(xué)生感知結(jié)合律就是交換律的拓展和延伸，體會結(jié)合律產(chǎn)生的必要性和價值，更突出了兩個運算律的聯(lián)系和區(qū)別。

同樣，乘法的分配律，學(xué)生在二年級計算一位數(shù)乘法時，也初步體會到這種規(guī)律的存在，如對于12×4，學(xué)生都知道它表示12+12+12+12相加的結(jié)果，在用加法計算時，需要4個2相加和4個10相加，再把兩次相加的結(jié)果合在一起。因此，用4乘12時，自然需要把12分成10和2的和與4相乘，也就是（10+2）×4=10×4+2×4。這個等式從右往左看，是和中的每一個加數(shù)都要與4相乘一次，這是基于對12×4豎式計算運算合理性的一種表示;若從右往左看，是10個4再加2個4，結(jié)果是12個4，左右是恒等道理一清二楚。從乘法計算的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來建構(gòu)乘法的分配律，是尋“根”的過程。

二、意義框架下幾個運算律教學(xué)的路徑

（一）加法的交換律和結(jié)合律

第一層次：可出示教材情境圖

在學(xué)生得出28+17=17+28之后，教師可喚起學(xué)生已有的經(jīng)驗，不讓學(xué)生舉例，引導(dǎo)學(xué)生回顧加法意義，讓學(xué)生運用已有的生活經(jīng)驗和認知經(jīng)驗來解釋交換兩個加數(shù)和不變的原因，并概括出這一運算律。

第二層次：在學(xué)生得出28+17+23=？之后，引導(dǎo)學(xué)生想一想：兩個數(shù)相加可以交換兩個加數(shù)位置和不變，三個數(shù)相加也可以這樣交換嗎？為什么？進而得出三個數(shù)相加與兩個數(shù)相加不同點是三個數(shù)相加有先后順序，交換位置，意味著運算順序改變了，為了體現(xiàn)順序的改變，需要用“（）”來表示，并借機用字母概括出這一運算律。

（二）乘法的交換律和結(jié)合律

第一層次：喚醒學(xué)生已有的乘法意義的認知。如3+3和2+2+2可以寫成什么樣的乘法形式？既然乘法是特殊加法算式的一種簡便運算，由加法兩個運算律，能類推出乘法是否也有這樣的運算律？讓學(xué)生運用乘法的意義和已有的生活經(jīng)驗加以解釋和說明。在此環(huán)節(jié)，也可配合使用《正》文中提及的“以形解數(shù)”的方法。如讓學(xué)生數(shù)數(shù)這堆石子有多少顆？

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最后得出不管豎著數(shù)還是橫著數(shù)，結(jié)果都是6，所以2×3=3×2。

第二層次：引導(dǎo)學(xué)生想一想，兩個數(shù)相乘可以交換兩個乘數(shù)的位置積不變，三個數(shù)相乘也可以這樣交換嗎？為什么？同樣得出三個數(shù)相乘，有運算的先后順序，任意交換兩個乘數(shù)的位置，其運算順序改變了，需要用“（）”來表示的道理，并借機引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用字母概括的過程。

（三）乘法的分配律

第一層次：師生交流，乘法的交換律和結(jié)合律，在乘法計算時，有普遍的運用，教師適時出示12×4的豎式計算題。引導(dǎo)學(xué)生回憶每一步計算的過程，以及為什么可以這樣計算？教師可適時用圖來“以形解數(shù)”。 如右圖長方形面積可以怎樣計算？

第二層次：引導(dǎo)學(xué)生想一想，由乘法豎式計算還可以概括出一種什么樣的運算律？并用字母概括這一規(guī)律。

三、基于意義框架下，運算律單元教學(xué)整體思路的調(diào)整

教學(xué)思路由原來借助具體情境下解決實際問題，依托列出的算式，基于在發(fā)現(xiàn)、列舉、驗證和歸納中得出運算律的感性認知，走向喚醒學(xué)生已有的認知經(jīng)驗，依托算式內(nèi)部的意義，進行理性分析的過程。然后再把這一運算律進行抽象概括并在解決實際問題中加以運用。教學(xué)思路是：感悟、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的存在—經(jīng)歷規(guī)律的尋根過程—規(guī)律的運用過程?！斑\算律”的存在，是蘊含在算式的意義和計算的算理之中，是“固有”的，而不是依靠在解決同一問題時，出現(xiàn)了幾種不同的算式，然后再進行驗證、歸納、總結(jié)的過程，這勢必會有點“本末顛倒”之感。

把運算律單元教學(xué)變成一節(jié)知識的回顧、梳理、提升的總結(jié)課，這樣簡化了教學(xué)過程，幾個規(guī)律的概括由原來三四節(jié)課的課時量變成了一節(jié)課的課時量，留出更多的時間，讓學(xué)生經(jīng)歷體會幾個運算律之間的聯(lián)系和區(qū)別上，體會運用運算律來解決實際問題的意識和價值上，這樣的探索經(jīng)歷的過程更具有數(shù)學(xué)味。

（安徽蚌埠禹會區(qū)教育局教研室 ? 233000）