宋健泳 范新林

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一就是要幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展思維能力。這里所說的思維經(jīng)驗(yàn)，主要是指思維活動(dòng)中所獲得的過程性體驗(yàn)?？梢?，思維經(jīng)驗(yàn)的積累與學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維參與程度密切相關(guān)，思維介入越積極，所獲得的體驗(yàn)也就越深刻。那么在具體的教學(xué)實(shí)踐中，思維經(jīng)驗(yàn)該如何體現(xiàn)？教師又應(yīng)該如何幫助學(xué)生積累思維經(jīng)驗(yàn)？筆者將結(jié)合“平面圖形的認(rèn)識”的教學(xué)作一些探討。

“平面圖形的認(rèn)識”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。小學(xué)階段認(rèn)識的平面圖形包括：線和角、三角形、四邊形、圓和扇形等。一般來說，認(rèn)識圖形的特征需要經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)包括描繪、抽象、分類等。因此，在設(shè)計(jì)和開展這些數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)該具有明確的目標(biāo)意識和過程意識，這是有效積累思維經(jīng)驗(yàn)的前提。

一、在圖形的描繪中提取思維的元素

思維的元素是指思維活動(dòng)的基本構(gòu)成單位，如概念、命題等。在圖形認(rèn)知的思維活動(dòng)中，基本的思維元素是點(diǎn)、線、面、體，教師可以通過圖形的描繪認(rèn)識這些基礎(chǔ)的幾何概念。

事實(shí)上人們對圖形的抽象就是從描繪物體的外部形象開始的，也就是將三維空間的物體用線條描繪在二維平面。同樣，小學(xué)生認(rèn)識圖形首先也要經(jīng)歷描繪圖形的過程。教材中針對小學(xué)生的思維特點(diǎn)，一般將生活中的三維物體處理成圖片的形式呈現(xiàn)（如圖1，“角的初步認(rèn)識”人教版二上第39頁），從而簡化了抽象的過程。

教材中的圖片是靜態(tài)呈現(xiàn)的，描繪圖形則是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。這就需要教師在教學(xué)中改變圖片的呈現(xiàn)方式，使學(xué)生借助觀察、操作等實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)歷從實(shí)物圖片中描繪、勾勒數(shù)學(xué)圖形的過程，從而積累思維經(jīng)驗(yàn)。

圖1

1.出示課本實(shí)物，找一找課本封面的角在哪里？學(xué)生大都指向角的頂點(diǎn)。

2.多媒體呈現(xiàn)課本圖片，并動(dòng)態(tài)演示（隱去原圖，留下一個(gè)點(diǎn)，如圖2）。請學(xué)生判斷是不是角。

學(xué)生都認(rèn)為這只是一個(gè)點(diǎn)，不是角。

3.進(jìn)一步思考，怎樣畫才能形成一個(gè)角？學(xué)生認(rèn)為還要畫上兩條邊（動(dòng)態(tài)演示，圖3）。

4.用水彩筆描出右面圖中（圖4）的角。

5.反饋后多媒體動(dòng)態(tài)演示（圖5）。

6.說一說數(shù)學(xué)中的角是什么樣的。

從上述教學(xué)活動(dòng)中可以看到，盡管“點(diǎn)、線、面、體”這些概念非常抽象，學(xué)生卻可以通過描繪和勾勒在自然而然的狀態(tài)下提煉出來?？梢?，描繪對于圖形的抽象是極其重要的，這是從生活到數(shù)學(xué)的抽象，因而是最直接、也是最本源的思維經(jīng)驗(yàn)。除此以外，在教學(xué)活動(dòng)中還拓寬了學(xué)生的思維視角。如一開始學(xué)生只關(guān)注局部，他們把物體“尖尖的部分”看成是角，這是源于生活中對桌角、墻角等的認(rèn)識，與作為幾何圖形的“角”是不同的。但是，錯(cuò)誤也是一種經(jīng)驗(yàn)。在動(dòng)態(tài)演示（舍去實(shí)物的圖片背景）中，學(xué)生逐步認(rèn)識到“尖尖的部分”只是一個(gè)點(diǎn)，只是“角”的一個(gè)部分。要完整地表示一個(gè)“角”，需要關(guān)注圖形的整體，即還要在“點(diǎn)”的基礎(chǔ)上輔上兩條邊。顯然，這樣的認(rèn)識是直觀的，也是深刻的。

二、在圖形的抽象中實(shí)現(xiàn)思維的聚焦

經(jīng)歷圖形的描繪過程使學(xué)生認(rèn)識了平面圖形的構(gòu)造方式——點(diǎn)和線的組合。但要深入了解圖形，還需要進(jìn)一步抽象圖形的基本特征。所謂抽象，就是“對同類事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征，舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程”。這個(gè)取舍的過程從思維的角度講就是一個(gè)聚焦的過程。以“長方形和正方形的認(rèn)識”的教學(xué)為例，過程如下：

1.呈現(xiàn)用各種顏色彩紙剪成的四邊形（圖6），從中找出長方形。

圖6

學(xué)生一致認(rèn)為圖①、圖③和圖⑦是長方形，對圖④是不是長方形有爭議，大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為它是正方形而不是長方形。

2.討論：圖①、圖③和圖⑦顏色不同、大小不同，為什么它們都是長方形？你們是怎么判斷的？

討論后學(xué)生的意見趨于一致，即兩條標(biāo)準(zhǔn)：四個(gè)角都是直角、相對的邊相等。

3.對圖①、圖③和圖⑦進(jìn)行操作驗(yàn)證（量一量、折一折）。

4.進(jìn)一步討論：圖④是一個(gè)正方形，如果用長方形的標(biāo)準(zhǔn)去判斷，它符合要求嗎？

經(jīng)過充分討論和思辨，學(xué)生開始認(rèn)可圖④也是一個(gè)長方形。

5.思考：正方形是特殊的長方形，特殊在哪里？

從本質(zhì)上講，圖形的抽象就是舍去顏色、質(zhì)地等物理屬性，研究形狀、大小、位置關(guān)系等數(shù)學(xué)屬性。對于長方形和正方形，學(xué)生在一年級時(shí)已有了初步認(rèn)識（圖7）。這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是認(rèn)識長方形和正方形的特征，其中難點(diǎn)在于理解和接受“正方形是特殊的長方形”這一具有從屬關(guān)系的概念。為此，一方面教學(xué)中有意識地設(shè)置了一些干擾因素，如不同的顏色、不同的大小、擺放的角度，還包括長方形的形狀也有所區(qū)別。這樣設(shè)計(jì)的意圖在于延長思維聚焦的體驗(yàn)過程，即擺脫一些非本質(zhì)因素的影響，有選擇地將思維關(guān)注點(diǎn)逐步聚焦于決定圖形特征的兩個(gè)要素：邊和角。或者說，讓學(xué)生充分理解只要符合對邊相等、四個(gè)角都是直角的四邊形，不管是什么顏色、多少大小、長的、扁的、正著放、斜著放都叫長方形;同樣，判斷一個(gè)四邊形是不是正方形也只要看是不是符合四個(gè)直角、四邊相等就可以了，與其他因素?zé)o關(guān)。另一方面，在這個(gè)過程中學(xué)生還學(xué)會了用一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)去進(jìn)行判斷，并以此認(rèn)識了長方形和正方形之間的從屬關(guān)系，突破了教學(xué)難點(diǎn)。判斷是一種較高層次的思維形式，在這里也可以理解為是一種思維經(jīng)驗(yàn)的具體體現(xiàn)。

三、在圖形的分類中梳理思維的脈絡(luò)

分類是認(rèn)識事物的一種重要的方法。分類的基礎(chǔ)是比較，在認(rèn)識圖形的教學(xué)中分類的過程就是通過比較不斷尋找圖形之間共性和差異的思維過程，也是對圖形本質(zhì)特征的認(rèn)識不斷深化的過程。如果從思維的角度看，分類活動(dòng)包含了思維的起點(diǎn)、“拐”點(diǎn)、條理和層次等，我們稱之為思維的“脈絡(luò)”。如三角形的分類：

1.出示下圖（圖8），給圖中的三角形分一分類。

圖8

反饋：

方案一：圖④、圖⑦為一類;圖①、圖②、圖③、圖⑤、圖⑥為一類;

理由：有直角的分一類，沒有直角的分一類;

方案二：圖④、圖⑦為一類;圖③、圖⑥為一類;圖①、圖②、圖⑤為一類;

理由：有直角的分一類;有鈍角的分一類;都是銳角的分一類;

方案三：圖②、圖⑥、圖⑦為一類;圖①、圖③、圖④為一類;圖⑤為一類;

理由：有兩條邊一樣長的分一類;三條邊都一樣長的分一類。

2.比較這四種不同的分法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生討論后得出：前兩種方案都是根據(jù)三角形的“角”來分類的，方案三則是根據(jù)“邊”的長度來分類的。

3.揭示：如果按“角”分，一般分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。想一想，一個(gè)三角形會不會既是直角三角形又是銳角三角形？

生：有可能，因?yàn)橹苯侨切卫镆灿袖J角。

生：不可能。任何一個(gè)三角形里都有銳角的，銳角三角形必須三個(gè)都是銳角。所以直角三角形不可能是銳角三角形。

師：也就是說如果按“角”分類，那么一個(gè)三角形不可能同時(shí)具備兩類不同的特征。這樣的關(guān)系我們可以用一幅圖來表示。（呈現(xiàn)圖9）

4. 揭示：如果按“邊”分，有兩類特殊的三角形：等腰三角形、等邊三角形。想一想，等邊三角形是不是等腰三角形？

生：是的。只要兩條邊長度相等就是等腰三角形，等邊三角形三條邊的長度都相等，當(dāng)然也是等腰三角形。

師：我們可以把等邊三角形看作是特殊的等腰三角形。它們的關(guān)系也可以用怎樣的圖來表示呢？（呈現(xiàn)圖10）

分類時(shí)首先要考慮的是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，這是思維的起點(diǎn)。對于平面圖形來說，分類的主要標(biāo)準(zhǔn)是“邊” 和“角”。其中，按“邊”分類主要考慮的是條數(shù)、長度和位置關(guān)系（如對邊是否平行）;按“角”分類則主要考慮直角，如有沒有直角（本質(zhì)上還是邊的位置關(guān)系——鄰邊是否垂直）或者以直角為“分水嶺”。這樣的經(jīng)驗(yàn)在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生其實(shí)已經(jīng)有所感悟，因而在上述案例中可以看作是思維經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用。教學(xué)中要求學(xué)生陳述分類的理由，分享分類的經(jīng)驗(yàn)，這是幫助學(xué)生體驗(yàn)思維邏輯性和條理性：思維的起點(diǎn)（分類的標(biāo)準(zhǔn)）不同，所得到的結(jié)論迥然相異。進(jìn)一步，教師還要引導(dǎo)學(xué)生感悟思維的層次性，即按照這兩種標(biāo)準(zhǔn)分類后，各類三角形相互之間的關(guān)系是不一樣的。按角分類重點(diǎn)關(guān)注的是“差異性”，所分得的三類三角形是“互不兼容”的并列關(guān)系;按邊分除了關(guān)注差異還要關(guān)注“共性”，如等邊三角形既然三條邊都相等，則必然其中有兩條邊相等，也就是具備了等腰三角形的特征，這是一種從屬關(guān)系（包含關(guān)系）。這種思維經(jīng)驗(yàn)的積累將為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)中研究圖形之間的關(guān)系打下良好的基礎(chǔ)。

綜上，可以看到思維經(jīng)驗(yàn)是一種基于主觀的、富有感性特征的過程性體驗(yàn)。盡管它是一種隱性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但在教學(xué)中幫助學(xué)生有效積累思維的經(jīng)驗(yàn)也并非無跡可循。只要教師有意識地展開數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，積極引導(dǎo)學(xué)生展開思維活動(dòng)，那么思維層面的體驗(yàn)與感悟?qū)⒉粩嘭S富、不斷積淀，最終會形成特有的數(shù)學(xué)思維方式，并逐步建立一定的數(shù)學(xué)直觀。

（浙江省湖州市鳳凰小學(xué) ?313000

浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) ?313000）