牛應(yīng)林

[摘 要] 隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)工具逐漸進(jìn)入課堂. 本文著重闡述了張景中院士所帶團(tuán)隊(duì)開發(fā)的《Z+Z超級畫板》，講述了其功能以及特點(diǎn)，如能讓數(shù)學(xué)變得形象且容易理解；讓數(shù)學(xué)變得有趣且具有吸引力.

[關(guān)鍵詞] Z+Z超級畫板；形象；有意義

當(dāng)社會的許多領(lǐng)域都在享受信息技術(shù)的發(fā)展所帶來的進(jìn)步成果時(shí)，數(shù)學(xué)教育自然也對信息技術(shù)的進(jìn)步寄予厚望：技術(shù)能否使抽象的數(shù)學(xué)變得更直觀、更容易理解？技術(shù)能否讓數(shù)學(xué)變得更有趣、更有吸引力？技術(shù)能否有助于初中生有意義地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

在數(shù)學(xué)軟件行業(yè)中，人們普遍的做法是：為處理平面幾何問題而開發(fā)了動(dòng)態(tài)幾何軟件（DGS），為處理代數(shù)運(yùn)算問題而開發(fā)了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（CAS），為處理模擬隨機(jī)過程問題而開發(fā)了隨機(jī)過程模擬平臺（PSP），為處理學(xué)生編程問題而開發(fā)了兒童編程語言（KPE），為處理課件制作問題而開發(fā)了課件整合工具（CDS）. 張景中院士帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)所開發(fā)的《Z+Z超級畫板》為代表的動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)軟件得到廣泛應(yīng)用. 《Z+Z超級畫板》能夠處理幾何、代數(shù)、三角、概率、統(tǒng)計(jì)、算法、積分等數(shù)學(xué)知識中絕大多數(shù)模塊的內(nèi)容，它適用于小學(xué)、初中、高中和大學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育. 《Z+Z超級畫板》研發(fā)團(tuán)隊(duì)還提供了整套的課程資源庫，具有以下特點(diǎn)：幾乎涵蓋初中階段數(shù)學(xué)課程的每一個(gè)知識內(nèi)容，能夠形象展示數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，動(dòng)態(tài)性高；可以重復(fù)演示，任意設(shè)定展示的步驟和過程，交互性強(qiáng)；字體、顏色、文本內(nèi)容、方程表達(dá)式等統(tǒng)統(tǒng)可以編輯、修改，實(shí)現(xiàn)一件多用；可以增加對象、添加署名、保存設(shè)置，進(jìn)行個(gè)性化設(shè)計(jì).

具體來說，《Z+Z超級畫板》針對初中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)主要具有以下功能.

作圖：通過鼠標(biāo)或者命令能夠直接作出幾十種常見的幾何圖形. 圖形可以平移、旋轉(zhuǎn)或放縮.

變換：指定要進(jìn)行的變換后，選擇被變換的對象執(zhí)行變換命令，即可得到變換后的圖形. 若變換的條件是動(dòng)態(tài)的或者是參數(shù)，可以輕松展示圖形動(dòng)態(tài)變換的過程.

動(dòng)態(tài)測量計(jì)算：能夠直接測量點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程、圓的面積等，測量的結(jié)果還可以進(jìn)一步參與運(yùn)算；幾何對象發(fā)生變化時(shí)，測量和計(jì)算的結(jié)果會發(fā)生相應(yīng)的改變.

函數(shù)方程作圖：輸入表達(dá)式即可作出對應(yīng)的曲線. 方程可以是顯性方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、超越方程等. 方程中能夠帶有參數(shù)，參數(shù)改變則曲線的性質(zhì)對應(yīng)改變.

智能文本公式：在文本框中輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式后，即可同步顯示為傳統(tǒng)格式的數(shù)學(xué)公式. 文本內(nèi)的變量或公式還能參與數(shù)值計(jì)算和符號運(yùn)算，大大提高輸入數(shù)學(xué)公式的效率.

數(shù)值符號運(yùn)算：能夠方便進(jìn)行一般浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)值運(yùn)算，還能對分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、變量等進(jìn)行精確的符號運(yùn)算. 另外，系統(tǒng)內(nèi)部還提供了進(jìn)行各種運(yùn)算的函數(shù).

程序運(yùn)行環(huán)境：支持賦值、判斷、循環(huán)等語句結(jié)構(gòu)，能夠自定義函數(shù)，與一般高級程序語言中的語法習(xí)慣一致，能夠滿足基礎(chǔ)教育階段利用算法解決一般數(shù)學(xué)問題的需求.

隨機(jī)過程模擬：根據(jù)系統(tǒng)提供的隨機(jī)函數(shù)以及屏幕自動(dòng)刷新的機(jī)制，可以直觀模擬翻硬幣、拋豆子、擲骰子、布豐投針等隨機(jī)過程，并自動(dòng)記錄統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

統(tǒng)計(jì)表格生成：統(tǒng)計(jì)表格能夠自動(dòng)記錄某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)表達(dá)式的測量結(jié)果，亦可通過手工輸入數(shù)據(jù). 統(tǒng)計(jì)表格能方便地變?yōu)檎劬€圖、條形圖、扇形圖等.

自動(dòng)推理證明：系統(tǒng)能夠自動(dòng)記錄用戶作圖過程中對象之間的幾何關(guān)系，然后根據(jù)內(nèi)部的規(guī)則（定理）進(jìn)行推理和計(jì)算. 根據(jù)推理得到的信息，用戶可以得到或簡或繁的解答過程.

讓數(shù)學(xué)變得形象且容易理解

《Z+Z超級畫板》能夠讓抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得更直觀、更形象、更容易理解，通過動(dòng)手、觀察、猜測、驗(yàn)證等過程，幫助學(xué)生理解變化對象中不變的數(shù)學(xué)關(guān)系，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識.

例如，通過《Z+Z超級畫板》中的隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生深刻理解概率和頻率等概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)等.

讓數(shù)學(xué)變得有趣且具有吸引力

利用《Z+Z超級畫板》中繪制的數(shù)學(xué)對象在變化中能夠保持其不變的性質(zhì)，使得很多數(shù)學(xué)問題可以動(dòng)手操作、探索實(shí)驗(yàn)了，從而讓數(shù)學(xué)看得到、摸得著，變得更有趣、更具吸引力.

例如，解析幾何中的“梯子下滑問題”：有一個(gè)長5米的梯子，其一端靠在墻上、另一端放在地面上，當(dāng)梯子沿著墻面下滑的過程中：（1）求梯子中點(diǎn)的軌跡方程；（2）求梯子上距離墻角最近的點(diǎn)的軌跡方程；（3）求梯子所掃描區(qū)域的邊界的曲線方程……

在傳統(tǒng)學(xué)習(xí)手段條件下，學(xué)生只能通過推理和計(jì)算得到一個(gè)一個(gè)的方程，而有了計(jì)算機(jī)和《Z+Z超級畫板》之后，就能觀察到這些方程所對應(yīng)的漂亮的、有吸引力的圖案（圖2）. 這些美麗的、有趣的圖案對學(xué)生的吸引力，必將慢慢轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)對學(xué)生的吸引力.

讓數(shù)學(xué)變得開放且具有挑戰(zhàn)性

當(dāng)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)和《Z+Z超級畫板》學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)歷一段時(shí)間之后，處理問題的方式會更加多樣化，思考問題的方式會更加具有開放性. 原來想到而沒做到的問題，現(xiàn)在開始努力嘗試解決；原來沒有考慮到的問題，現(xiàn)在開始不斷思考.

例如，對于紙上的點(diǎn)來說，利用計(jì)算機(jī)作出的點(diǎn)能夠運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)的方式又有很多種：隨意運(yùn)動(dòng)、沿直線運(yùn)動(dòng)、沿圓周運(yùn)動(dòng)、沿曲線運(yùn)動(dòng)、沿多邊形邊界運(yùn)動(dòng)、單方向運(yùn)動(dòng)、往返運(yùn)動(dòng)、連續(xù)運(yùn)動(dòng)、跳躍運(yùn)動(dòng)，等等. 因此，對于下面這個(gè)開放性的問題來說，極具挑戰(zhàn)性.

例如，如圖3，點(diǎn)A為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為圓O′上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在各自所在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)C的軌跡.

點(diǎn)A和點(diǎn)B可以以不同的方向、不同的起始位置、不同的速度在各自的圓上運(yùn)動(dòng)，在計(jì)算機(jī)中利用《Z+Z超級畫板》均能動(dòng)態(tài)模擬和直觀展示這些過程，但點(diǎn)C的軌跡是什么形狀的曲線？有哪些性質(zhì)呢？并不是馬上就能講得清楚.

如果三個(gè)點(diǎn)分別在三個(gè)不同的圓上運(yùn)動(dòng)，它們之間連線上的一點(diǎn)的軌跡可能是什么形狀的曲線呢？如果一個(gè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)而另外一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)多邊形上運(yùn)動(dòng)，它們之間連線上的一點(diǎn)的軌跡有什么性質(zhì)呢？因此，《Z+Z超級畫板》能夠幫助學(xué)生開拓思維、擴(kuò)展視野.

讓數(shù)學(xué)變得系統(tǒng)且具有理論性

與物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)不同的是，在計(jì)算機(jī)中得到一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果之后還需進(jìn)一步通過數(shù)學(xué)上的推理與計(jì)算.

例如，滾動(dòng)的車輪邊沿上一點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡曲線，是一段圓弧嗎？是半個(gè)橢圓嗎？還是其他什么曲線？這就需要從數(shù)學(xué)上進(jìn)行推導(dǎo)和驗(yàn)證.

再如，長半軸與短半軸之和為定值（假設(shè)是5）的橢圓包絡(luò)的邊界，兩端點(diǎn)分別在x軸和y軸上滑動(dòng)的定長線段（假設(shè)是5）包絡(luò)的邊界，都是在半徑為5的定圓內(nèi)滾動(dòng)的動(dòng)圓（直徑為2.5）邊界上一點(diǎn)所生成的擺線. 但是若要在數(shù)學(xué)上說明它們?yōu)橥环N曲線，則數(shù)學(xué)上需要進(jìn)一步證明.

不是通過直觀觀察已經(jīng)得到結(jié)果了嗎，為什么還需要證明呢？請看下面的例子：

可見，計(jì)算機(jī)的恰當(dāng)使用并不會削弱學(xué)生的思考，反而會啟發(fā)學(xué)生更加深入、積極地思考.

大量案例和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，《Z+Z超級畫板》在實(shí)施數(shù)學(xué)新課程的理念、幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、改善學(xué)習(xí)方式、提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、提高數(shù)學(xué)成績尤其是提高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績等方面發(fā)揮了積極、顯著的作用. 《Z+Z超級畫板》下的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義.endprint