陸效敬

【內(nèi)容摘要】排列組合分為兩部分，即排列和組合。排列指從已知的元素中取出部分元素進(jìn)行排列，組合是指將取出的部分元素進(jìn)行組合。排列組合與概率論關(guān)系密切，進(jìn)行排列組合問題分析時(shí)，往往運(yùn)用概率論的知識。排列組合是高中數(shù)學(xué)的一部分，對于學(xué)生們來說，也是學(xué)習(xí)比較難的一部分。為了幫助學(xué)生掌握好排列組合的學(xué)習(xí)，老師們要研究出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方案，讓學(xué)生們少走彎路。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 排列組合 教學(xué)思考

排列組合在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置，也是高考的考點(diǎn)之一，用以了解學(xué)生的分析能力，閱讀能力以及數(shù)學(xué)建模能力。因此，學(xué)好排列組合對于學(xué)生們掌握好高中知識，順利通過高考，進(jìn)入夢想大學(xué)顯得至關(guān)重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨(dú)特，要想準(zhǔn)確掌握好這種思想，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學(xué)生們學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)鉆入死胡同，這個(gè)時(shí)候，老師的指點(diǎn)和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。

一、排列組合學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)知識

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數(shù)）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，當(dāng)m=n時(shí)，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。

（2）組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

（3）排列與組合的區(qū)別：排列問題與元素之間的順序有緊密關(guān)系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關(guān)系。

2.排列組合中的兩個(gè)重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計(jì)數(shù)法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯(lián)系實(shí)際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運(yùn)用在排列組合求解時(shí)的一些常用方法策略。

1.分部法

對于一些比較復(fù)雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進(jìn)行求解。運(yùn)用分部處理法就是將復(fù)雜問題進(jìn)行簡化，劃分為簡單的小問題分部進(jìn)行求解。

2.捆綁法

對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個(gè)問題必須相鄰，處理這種問題時(shí)，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個(gè)大元素，然后再進(jìn)行排列組合，此時(shí)需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進(jìn)行排序。

3.插空法

插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個(gè)元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個(gè)需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問題的解決過程中，常常會(huì)遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會(huì)有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時(shí)可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。

5.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

在排列組合問題的解決過程中，有時(shí)候會(huì)遇到一些非常規(guī)的問題，這個(gè)時(shí)候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為常見排列組合問題時(shí)，解決會(huì)變得很容易。因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化法常常作為解決非常規(guī)問題的最佳途徑。

以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時(shí)雖然是分開介紹，但是遇到實(shí)際問題時(shí)，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個(gè)方法不是相互獨(dú)立的，是相輔相成的。遇到問題時(shí)要綜合各種方法，靈活運(yùn)用。

三、典型例題分析

排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節(jié)目有5×4×3×2×1種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節(jié)目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。

四、結(jié)論

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的一部分，頻繁出現(xiàn)在高考題目中，并且還作為高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的準(zhǔn)備知識，因此學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨(dú)特，常用方法有轉(zhuǎn)化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準(zhǔn)確掌握排列組合解決方法，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時(shí)也需要老師們的熱心指導(dǎo)和無私幫助。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 北京師范學(xué)院數(shù)學(xué)系編寫組. 中學(xué)數(shù)學(xué)辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴臀塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M]. 南京：江蘇教育出版社，2004：20.

（作者單位：江蘇省濱海縣八灘中學(xué)）

【內(nèi)容摘要】排列組合分為兩部分，即排列和組合。排列指從已知的元素中取出部分元素進(jìn)行排列，組合是指將取出的部分元素進(jìn)行組合。排列組合與概率論關(guān)系密切，進(jìn)行排列組合問題分析時(shí)，往往運(yùn)用概率論的知識。排列組合是高中數(shù)學(xué)的一部分，對于學(xué)生們來說，也是學(xué)習(xí)比較難的一部分。為了幫助學(xué)生掌握好排列組合的學(xué)習(xí)，老師們要研究出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方案，讓學(xué)生們少走彎路。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 排列組合 教學(xué)思考

排列組合在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置，也是高考的考點(diǎn)之一，用以了解學(xué)生的分析能力，閱讀能力以及數(shù)學(xué)建模能力。因此，學(xué)好排列組合對于學(xué)生們掌握好高中知識，順利通過高考，進(jìn)入夢想大學(xué)顯得至關(guān)重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨(dú)特，要想準(zhǔn)確掌握好這種思想，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學(xué)生們學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)鉆入死胡同，這個(gè)時(shí)候，老師的指點(diǎn)和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。

一、排列組合學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)知識

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數(shù)）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，當(dāng)m=n時(shí)，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。

（2）組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

（3）排列與組合的區(qū)別：排列問題與元素之間的順序有緊密關(guān)系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關(guān)系。

2.排列組合中的兩個(gè)重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計(jì)數(shù)法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯(lián)系實(shí)際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運(yùn)用在排列組合求解時(shí)的一些常用方法策略。

1.分部法

對于一些比較復(fù)雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進(jìn)行求解。運(yùn)用分部處理法就是將復(fù)雜問題進(jìn)行簡化，劃分為簡單的小問題分部進(jìn)行求解。

2.捆綁法

對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個(gè)問題必須相鄰，處理這種問題時(shí)，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個(gè)大元素，然后再進(jìn)行排列組合，此時(shí)需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進(jìn)行排序。

3.插空法

插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個(gè)元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個(gè)需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問題的解決過程中，常常會(huì)遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會(huì)有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時(shí)可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。

5.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

在排列組合問題的解決過程中，有時(shí)候會(huì)遇到一些非常規(guī)的問題，這個(gè)時(shí)候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為常見排列組合問題時(shí)，解決會(huì)變得很容易。因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化法常常作為解決非常規(guī)問題的最佳途徑。

以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時(shí)雖然是分開介紹，但是遇到實(shí)際問題時(shí)，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個(gè)方法不是相互獨(dú)立的，是相輔相成的。遇到問題時(shí)要綜合各種方法，靈活運(yùn)用。

三、典型例題分析

排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節(jié)目有5×4×3×2×1種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節(jié)目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。

四、結(jié)論

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的一部分，頻繁出現(xiàn)在高考題目中，并且還作為高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的準(zhǔn)備知識，因此學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨(dú)特，常用方法有轉(zhuǎn)化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準(zhǔn)確掌握排列組合解決方法，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時(shí)也需要老師們的熱心指導(dǎo)和無私幫助。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 北京師范學(xué)院數(shù)學(xué)系編寫組. 中學(xué)數(shù)學(xué)辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴臀塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M]. 南京：江蘇教育出版社，2004：20.

（作者單位：江蘇省濱?？h八灘中學(xué)）

【內(nèi)容摘要】排列組合分為兩部分，即排列和組合。排列指從已知的元素中取出部分元素進(jìn)行排列，組合是指將取出的部分元素進(jìn)行組合。排列組合與概率論關(guān)系密切，進(jìn)行排列組合問題分析時(shí)，往往運(yùn)用概率論的知識。排列組合是高中數(shù)學(xué)的一部分，對于學(xué)生們來說，也是學(xué)習(xí)比較難的一部分。為了幫助學(xué)生掌握好排列組合的學(xué)習(xí)，老師們要研究出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方案，讓學(xué)生們少走彎路。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 排列組合 教學(xué)思考

排列組合在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置，也是高考的考點(diǎn)之一，用以了解學(xué)生的分析能力，閱讀能力以及數(shù)學(xué)建模能力。因此，學(xué)好排列組合對于學(xué)生們掌握好高中知識，順利通過高考，進(jìn)入夢想大學(xué)顯得至關(guān)重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨(dú)特，要想準(zhǔn)確掌握好這種思想，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學(xué)生們學(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)鉆入死胡同，這個(gè)時(shí)候，老師的指點(diǎn)和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。

一、排列組合學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)知識

1.排列組合的基本定義

（1）排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數(shù)）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，當(dāng)m=n時(shí)，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。

（2）組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。

（3）排列與組合的區(qū)別：排列問題與元素之間的順序有緊密關(guān)系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關(guān)系。

2.排列組合中的兩個(gè)重要原理

（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

（2）分步計(jì)數(shù)法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。

二、排列組合中的一般方法策略

在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯(lián)系實(shí)際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運(yùn)用在排列組合求解時(shí)的一些常用方法策略。

1.分部法

對于一些比較復(fù)雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進(jìn)行求解。運(yùn)用分部處理法就是將復(fù)雜問題進(jìn)行簡化，劃分為簡單的小問題分部進(jìn)行求解。

2.捆綁法

對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個(gè)問題必須相鄰，處理這種問題時(shí)，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個(gè)大元素，然后再進(jìn)行排列組合，此時(shí)需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進(jìn)行排序。

3.插空法

插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個(gè)元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個(gè)需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。

4.排除法

在排列組合問題的解決過程中，常常會(huì)遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會(huì)有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時(shí)可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。

5.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

在排列組合問題的解決過程中，有時(shí)候會(huì)遇到一些非常規(guī)的問題，這個(gè)時(shí)候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為常見排列組合問題時(shí)，解決會(huì)變得很容易。因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化法常常作為解決非常規(guī)問題的最佳途徑。

以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時(shí)雖然是分開介紹，但是遇到實(shí)際問題時(shí)，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個(gè)方法不是相互獨(dú)立的，是相輔相成的。遇到問題時(shí)要綜合各種方法，靈活運(yùn)用。

三、典型例題分析

排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。

（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？

（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？

解析：（1）先排歌唱節(jié)目有5×4×3×2×1種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。

（2）先排舞蹈節(jié)目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。

說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。

四、結(jié)論

排列組合作為高中數(shù)學(xué)的一部分，頻繁出現(xiàn)在高考題目中，并且還作為高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的準(zhǔn)備知識，因此學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨(dú)特，常用方法有轉(zhuǎn)化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準(zhǔn)確掌握排列組合解決方法，需要學(xué)生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時(shí)也需要老師們的熱心指導(dǎo)和無私幫助。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 北京師范學(xué)院數(shù)學(xué)系編寫組. 中學(xué)數(shù)學(xué)辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.

[2] 弗賴臀塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.

[3] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀[M]. 南京：江蘇教育出版社，2004：20.

（作者單位：江蘇省濱?？h八灘中學(xué)）