劉 娟，張子振，孫禮俊

(1．蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽蚌埠 233030；2．安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的Hopf分支

劉 娟1，張子振2，孫禮俊1

(1．蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系，安徽蚌埠 233030；2．安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

研究了一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)和HollingII類功能性反應(yīng)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)．通過分析相關(guān)的特征方程，以捕食者的消化時(shí)滯為參數(shù)，討論了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性．進(jìn)一步，利用規(guī)范型理論和中心流形定理，給出了確定Hopf分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式．最后利用仿真實(shí)例證明了理論分析結(jié)果的正確性．

階段結(jié)構(gòu)；時(shí)滯；Hopf分支；周期解

自然界中的許多生物個(gè)體在成長(zhǎng)中都會(huì)經(jīng)歷幼年和成年兩個(gè)階段，所以具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型更加具有實(shí)際意義．對(duì)具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型的研究成果有很多[1-3]．文獻(xiàn)[4]對(duì)一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)（1）進(jìn)行了研究，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性和持久性的條件：

其中，x1( t)，x2( t)，y( t)分別表示未成年食餌和成年食餌及捕食者在時(shí)刻t的種群密度；a，a1，a2，b，b1，m，r，r1，r2均為正常數(shù)，具體生態(tài)含義可以參考文[4]；τ為捕食者消化時(shí)滯．

眾所周知，動(dòng)力系統(tǒng)的性質(zhì)除了穩(wěn)定性和持久性以外，還有其它重要性質(zhì)，如系統(tǒng)的全局吸引性[5]、Hopf分支[6]以及周期解[7]等，尤其是周期解的性質(zhì)，近年來受到了眾多研究學(xué)者的關(guān)注，而文獻(xiàn)[4]只是研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和持久性，并沒有分析系統(tǒng)Hopf分支的存在性，以及Hopf分支的方向和分支周期解的穩(wěn)定性．基于此，本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，并考慮到捕食者的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)，將對(duì)如下模型的Hopf分支的存在性與Hopf分支的周期解進(jìn)行研究：

其中，c為捕食者的種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，其它所有參數(shù)的含義均與系統(tǒng)（1）相同．

1 系統(tǒng)局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

2 Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性

3 仿真實(shí)例

本節(jié)利用上述計(jì)算方法得到一些數(shù)據(jù)，再由Matlab軟件繪制出系統(tǒng)的相圖，以此驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性．將系統(tǒng)（2）的系數(shù)取特定的常數(shù)，可以得到系統(tǒng)（2）的一個(gè)實(shí)例系統(tǒng)（16）：

根據(jù)定理1可得理論上結(jié)論：當(dāng)τ∈[0,4.7641)時(shí)，系統(tǒng)（16）的正平衡點(diǎn)E*(0.285 2, 0.101 0,1.250 0)是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ＞4.764 1時(shí)，系統(tǒng)（16）的正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的．令初值為“0.45,0.12,2.25”，取τ=4.050 0，畫出系統(tǒng)的波形圖和相圖，如圖1所示，由圖1可知正平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的；取τ=4.950 0，畫出系統(tǒng)的波形圖和相圖，如圖2所示，由圖2可知正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的．

圖1 系統(tǒng)的波形圖和相圖 (τ=4.050 0)

圖2 系統(tǒng)的波形圖和相圖 (τ=4.950 0)

另外通過計(jì)算得，μ2=7.2570＞0，β2=-1.770 7＜0，T2=1.830 5＞0．所以，由定理2可知，系統(tǒng)（16）在正平衡點(diǎn)E*(0.285 2,0.101 0,1.250 0)處的Hopf分支方向是超臨界的，分支周期解是穩(wěn)定的．

[1] Zhang L, Lin Z G. A Holling type II prey-predator model with stage structure and nonlocal delay [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(10): 5000-5010.

[2] 梁桂珍, 李坤. 非自治的具有階段結(jié)構(gòu)和時(shí)滯的捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2011, 31(3): 415-422.

[3] Zheng L F, Zhao H Y. Research on a predator-prey model with age-structure [J]. Journal of Biomathematics, 2011, 26(1): 48-56.

[4] Xu, R. Global dynamics of a predator-prey model with time delay and stage structure for the prey [J]. Nonlinear Anal. RWA. 2011, 12, 2151-2162.

[5] Zhu, Y L, Wang K. Existence and global attractivity of positive periodic solutions for a predator-prey model with modified Leslie-Gower Holling-type II schemes [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011, 384, 400-408.

[6] Ma Y F. Global Hopf bifurcation in the Leslie-Gower predator-prey model with two delays [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2012, 13(1): 370-375.

[7] Tian Y L, Weng P X. Stability analysis of diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower and Hollingtype III schemes [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(7): 3733-3745.

[8] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981: 190-205.

Hopf Bifurcation of a Time-lag Predator-prey System With Stage-structure for Prey

LIU Juan1, ZHANG Zizhen2, SUN Lijun1
(1. Department of Mathematics and Physics, Bengbu College, Bengbu, China 233030; 2. School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, China 233030)

This paper probes into a time-lag predator-prey system with stage-structure and Holling II functional response. The local stability and the existence of Hopf bifurcation are demonstrated by analysing the relevant characteristic equation and regarding the digestion-lag of predators as the parameter. Furthermore, the computational formula which determines the orientation of Hopf bifurcation and the stability of its periodic solution by utilizing the normal form method and center manifold theorem is provided. Finally, the validity of theoretical analysis result tends to be testified by means of simulation examples.

Stage-structure; Time-lag; Hopf Bifurcation; Periodic Solution

O175.12

A

1674-3563(2015)02-0028-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-05-05

安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2013B137)；安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2012B009)

劉娟(1976- )，女，江蘇泗洪人，講師，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)