連玉平，李德奎

(1．定西師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅定西 743000；2．甘肅中醫(yī)學(xué)院理科教學(xué)部，甘肅蘭州 730000)

參數(shù)未知混沌系統(tǒng)的分段函數(shù)投影同步及參數(shù)辨識(shí)

連玉平，李德奎

(1．定西師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅定西 743000；2．甘肅中醫(yī)學(xué)院理科教學(xué)部，甘肅蘭州 730000)

利用牽制控制技術(shù)，基于Lyapunov穩(wěn)定性原理，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器和參數(shù)辨識(shí)法則，實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的分段函數(shù)投影同步，對(duì)系統(tǒng)的未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，數(shù)值仿真表明了控制器和參數(shù)辨識(shí)法則的有效性．

混沌系統(tǒng)；分段函數(shù)投影同步；參數(shù)辨識(shí)

混沌控制及其同步因其在通訊、信息科學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域的巨大應(yīng)用價(jià)值，得到國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注，自從Pecora和Carroll提出[1]了兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步概念以來(lái)，完全同步[2]、廣義同步[3]、投影同步[4]等混沌同步方式先后被學(xué)者提出．最近，Hu等在文獻(xiàn)[5-6]中深入研究了混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，文獻(xiàn)[7-11]中通過(guò)自適應(yīng)控制策略實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型的函數(shù)投影同步．分段函數(shù)投影同步是指響應(yīng)系統(tǒng)的各狀態(tài)變量和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的相應(yīng)狀態(tài)變量之間分別以不同的函數(shù)比例實(shí)現(xiàn)同步，相對(duì)于常數(shù)比例因子和函數(shù)投影同步，分段函數(shù)投影同步的同步方式更加復(fù)雜，應(yīng)用分段函數(shù)投影同步實(shí)現(xiàn)保密通信，會(huì)使得通信信息更加安全．基于此，本文研究了參數(shù)未知混沌系統(tǒng)的分段函數(shù)投影，通過(guò)構(gòu)造自適應(yīng)控制器和未知參數(shù)的辨識(shí)法則，使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了分段函數(shù)的投影同步，數(shù)值仿真結(jié)果表明了控制器和參數(shù)辨識(shí)法則的有效性．

1 混沌系統(tǒng)

考慮一個(gè)n維混沌動(dòng)力系統(tǒng)，將系統(tǒng)分成兩部分，其中一部分不含系統(tǒng)參數(shù)，另一部分含有系統(tǒng)參數(shù)

其中x=(x1, x2,…,xn)T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f:Rn→Rn是不含系統(tǒng)參數(shù)的向量函數(shù)，F(xiàn): Rn→Rn×k是矩陣函數(shù)，θ是系統(tǒng)的k維參數(shù)向量．

以系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，任取一n維的響應(yīng)混沌系統(tǒng)為：

其中y=(y1, y2,…,yn)T∈Rn是響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，g: Rn→Rn非線性向量函數(shù)，u( x, y)是施加在響應(yīng)系統(tǒng)上的自適應(yīng)控制器．

2 分段函數(shù)投影同步

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差向量為：

其中α(t)是時(shí)間t的連續(xù)可微分段函數(shù)．

當(dāng)矩陣α(t)分別為單位矩陣I和-I時(shí)，我們稱(chēng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）分別實(shí)現(xiàn)完全同步和反同步．當(dāng)矩陣α(t)分別為常對(duì)角矩陣α?xí)r，稱(chēng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）分別實(shí)現(xiàn)投影同步．當(dāng)對(duì)角矩陣α(t)對(duì)角線上的元素為函數(shù)（可以不是時(shí)間t的分段函數(shù)）時(shí)，稱(chēng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）實(shí)現(xiàn)函數(shù)投影同步．因此，分段函數(shù)投影同步是函數(shù)投影同步的特殊情況．

根據(jù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差（3），可得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）之間的誤差系統(tǒng)為：

為了實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）的分段函數(shù)投影同步，利用牽制控制技術(shù)，設(shè)置如下的自適應(yīng)控制器：

根據(jù)式（5），同步誤差系統(tǒng)（4）進(jìn)一步描述為：

若誤差系統(tǒng)（6）的零解全局穩(wěn)定，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）的分段函數(shù)投影同步．

為了證明對(duì)任意的初值條件，誤差e( t)的零解是全局漸近穩(wěn)定的，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

構(gòu)造未知參數(shù)θ和η的辨識(shí)法則為：

根據(jù)式（6）和（8），則V對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可知誤差e( t)的零解是全局漸近穩(wěn)定的，所以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）能夠?qū)崿F(xiàn)分段函數(shù)投影同步．

3 數(shù)值仿真

選取著名的Lorenz系統(tǒng)[12]作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=10、b=28、c=8/3時(shí)，Lorenz系統(tǒng)具有如圖1所示的蝴蝶型混沌吸引子．

圖1 Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子

以Lorenz系統(tǒng)[12]為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)（1）式，式（10）可寫(xiě)成如下形式：

假設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)a, b, c是未知的，應(yīng)用參數(shù)辨識(shí)法則，未知參數(shù)a, b, c將在圖4中得到準(zhǔn)確辨識(shí)．

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，不妨選取分段函數(shù)為：

著名的R?ssler系統(tǒng)[12]的動(dòng)力學(xué)方程為：

其中當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a1=0.2,b1=0.2,c1=5.7時(shí)，R?ssler系統(tǒng)具有如圖2所示的混沌吸引子．

圖2 R?ssler系統(tǒng)的混沌吸引子

根據(jù)響應(yīng)系統(tǒng)（2），給系統(tǒng)（13）添加自適應(yīng)控制器u( x, y)，得到響應(yīng)系統(tǒng)為：

其中自適應(yīng)控制器為：

根據(jù)式（8），驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的未知參數(shù)a, b, c的辨識(shí)法則為：

根據(jù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的誤差定義式（3），驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）的誤差e ( t)的軌線如圖3所示．

圖3 參數(shù)未知的Lorenz系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)(14)的誤差軌線

由圖3可看出，誤差e( t)在t∈[0,50]，t∈(50,100]，t∈(100,150]的各時(shí)間段內(nèi)都趨向0，說(shuō)明在自適應(yīng)控制器（15）的作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）依比例函數(shù)（12）實(shí)現(xiàn)分段函數(shù)投影同步．根據(jù)分段函數(shù)（12），從一個(gè)時(shí)間段向另一個(gè)時(shí)間段過(guò)渡時(shí)，同步比例發(fā)生變化，所以誤差軌線有一定幅度的震蕩．

圖4 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(10)和響應(yīng)系統(tǒng)(14)相圖

圖4為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）相圖．

由圖4可知，響應(yīng)系統(tǒng)（14）和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）依分段函數(shù)（12）實(shí)現(xiàn)函數(shù)投影同步，響應(yīng)系統(tǒng)的相圖大小分別是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)大小的4倍、3倍和2倍．同時(shí)，根據(jù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）的未知參數(shù)參數(shù)辨識(shí)法則（16），未知參數(shù)的辨識(shí)如圖5所示．

由圖5可知，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）的未知參數(shù)辨識(shí)曲線趨向系統(tǒng)參數(shù)的固有值a=28，b=10，c=8/3，說(shuō)明了未知參數(shù)辨識(shí)法則（16）的有效性．

圖6為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）的同步比例圖．

由圖6可知，在時(shí)間段t∈[0,50]，t∈(50,100]，t∈(100,150]內(nèi)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）分別以比例2、3、4實(shí)現(xiàn)同步，說(shuō)明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（11）和響應(yīng)系統(tǒng)（14）依比例函數(shù)（12）實(shí)現(xiàn)分段函數(shù)投影同步．

圖5 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(11)的未知參數(shù)a, b, c的辨識(shí)

圖6 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(11)和響應(yīng)系統(tǒng)(14)的同步比例

4 結(jié) 論

本文研究了參數(shù)未知混沌系統(tǒng)的分段函數(shù)投影同步及參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，利用牽制控制技術(shù)，基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器和系統(tǒng)未知參數(shù)的辨識(shí)法則，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的分段函數(shù)投影同步，并對(duì)系統(tǒng)的未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)．?dāng)?shù)值仿真表明自適應(yīng)控制器和未知參數(shù)辨識(shí)法則的有效性．

分段函數(shù)投影同步與以常數(shù)比例的投影同步相比較，同步方式更加復(fù)雜，同樣也比函數(shù)投影同步的同步方式復(fù)雜，因?yàn)榉侄魏瘮?shù)投影同步是在不同的時(shí)間段內(nèi)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)以不同的函數(shù)比例同步．因此，分段函數(shù)投影同步可看做是對(duì)混沌同步方式的延伸與發(fā)展．

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On Projective Synchronization and Parameter Identification of Piecewise Function in Unknown Chaotic System

LIAN Yuping, LI Dekui
(1. Department of Mathematics, Dingxi Normal College, Dingxi, China 743000; 2. Department of Science Education, Gansu Institute of Traditional Chinese Medicine, Lanzhou, China 730000)

This paper introduces the design of self-adaptive controller and parameter identification rules by means of the pinning control technology, based on the Lyapunov stability theorem. In order to realize the piecewise function projective synchronization in chaotic systems, the system's unknown parameters are identified. Numerical simulation shows the effectiveness of the controller as well as the parameter identification rules.

Chaotic System; Piecewise Function Projective Synchronization; Parameter Identification

O415.5

A

1674-3563(2015)02-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-06-28

教育部科技研究重點(diǎn)項(xiàng)目(212180)；甘肅省國(guó)際科技合作計(jì)劃項(xiàng)目(1104WCGA195)；定西師范高等專(zhuān)科學(xué)校青年人才工程資助項(xiàng)目(1329)

連玉平(1964- )，男，甘肅渭源人，副教授，碩士，研究方向：非線形分析