王壽斌，王麗敏，張 娣

(蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070)

一類具有脈沖接種和非線性傳染率的SEIR傳染病模型的分析

王壽斌，王麗敏，張 娣

(蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，甘肅蘭州 730070)

研究了一類具有脈沖接種和非線性傳染率的SEIR傳染病模型，利用Floquet乘子理論和脈沖微分系統(tǒng)比較定理，證明了無(wú)病周期解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的條件．

非線性傳染率，脈沖接種，周期解，持久性

傳染病的流行給人類和動(dòng)物的生存帶來(lái)了巨大的災(zāi)難，為了對(duì)傳染病進(jìn)行控制，常常在給定的時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行預(yù)防接種，在每個(gè)接種時(shí)刻，用很短的時(shí)間給種群提供疫苗，一部分易感者獲得了免疫力而成為移出者．脈沖接種作為一種有效預(yù)防和控制傳染病的手段，許多學(xué)者[1-11]對(duì)具有脈沖接種的動(dòng)力學(xué)行為作了相關(guān)研究．在文獻(xiàn)[1-5]中給出了模型的閾值，并分別得到了無(wú)病周期解的存在性，無(wú)病周期解的全局吸引性質(zhì)．在文獻(xiàn)[6]中是對(duì)一類具有非線性傳染率的傳染病模型的定性研究．文獻(xiàn)[7]討論了一類潛伏期和傳染期均有傳染力的傳染病模型．文獻(xiàn)[8]則對(duì)一類潛伏期、染病期和恢復(fù)期均有傳染力且傳染率是一般傳染率的傳染病模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了討論．文獻(xiàn)[9]研究了具有垂直和水平傳染的SIR傳染病模型，在脈沖接種的情況下，對(duì)系統(tǒng)周期解進(jìn)行了分析．文獻(xiàn)[10]則是對(duì)具有連續(xù)和脈沖預(yù)防接種的SIRS傳染病模型，研究了其周期解的存在性和穩(wěn)定性，通過(guò)分叉理論，給出了超臨界分叉發(fā)生條件，得到了決定疾病流行與否的閾值．在文獻(xiàn)[11]中是對(duì)一類具有非線性傳染率的脈沖免疫接種的SIRSV模型的無(wú)病周期解、全局穩(wěn)定性和系統(tǒng)的持續(xù)生存做了研究．本文考慮了具有垂直傳染、潛伏期和恢復(fù)期內(nèi)的染病者具有傳染力的SEIR模型，應(yīng)用Floquet乘子理論和脈沖微分系統(tǒng)比較理論，研究了模型的動(dòng)力學(xué)行為，得出模型無(wú)病周期解的存在性和全局穩(wěn)定性的條件，并通過(guò)文獻(xiàn)[11]中理論來(lái)判定系統(tǒng)的一致持久性，最后應(yīng)用文獻(xiàn)[12]中討論接種策略的方法，通過(guò)控制接種比例，應(yīng)用脈沖接種方法，進(jìn)而選擇適當(dāng)?shù)慕臃N間隔期，以達(dá)到防控效果．

1 模型的建立

根據(jù)不同階段流行病的特征，假設(shè)種群分為四類：易感者類、潛伏者類、染病者類、恢復(fù)者類．染病能獲得免疫力，但恢復(fù)者不能獲得終生免疫，無(wú)因病死亡．根據(jù)以上假設(shè)，可得SEIR傳染病模型的脈沖微分方程為：

其中b,μ,ω,β,α,η,δ,γ,p,q 為正參數(shù)，且0＜p＜1，0＜q＜1．b為出生率，μ表示自然死亡率，ω為染病者進(jìn)入染病者倉(cāng)室的比例，η表示種群因病死亡率，δ表示因病治愈所獲得免疫的平均喪失率系數(shù)，α＞0,γ＞0分別表示發(fā)病率和恢復(fù)率，q表示垂直傳染率，p表示nτ時(shí)刻成功接種比例．τ是脈沖接種周期，τ+是應(yīng)用脈沖接種的時(shí)間．本文所引用的非線性傳染率βSIφ(I)是βIpS(1+aIp)的推廣[6]，并且當(dāng)φ(I)=1時(shí)，該傳染率為雙線性傳染率．假設(shè)函數(shù)φ(I)滿足φ(0)=1，即對(duì)于I≥0有φ(I)≥1．1φ(I)表示當(dāng)染病者的數(shù)量增加時(shí)，易感者的行為變化將阻礙傳染，即易感者和染病者間的接觸會(huì)減少．

由于系統(tǒng)（1）的前三個(gè)方程均不含R，所以只需考慮系統(tǒng)（1）的子系統(tǒng)：

而系統(tǒng)（2）的初始條件為：(φ1( θ),φ2( θ),φ3( θ))∈C+=C([-τ,0],R),φi( θ)＞0,i =1,2,3．

考慮到模型的生物學(xué)意義，則系統(tǒng)（2）的可行區(qū)域?yàn)椋?/p>

易知Ω為正不變集．

當(dāng)系統(tǒng)（2）無(wú)染病者，即E=I=0時(shí)，系統(tǒng)（2）變?yōu)椋?/p>

2 無(wú)病周期解的穩(wěn)定性

3 一致持續(xù)生存

4 結(jié)論和討論

本文利用Floquet乘子理論和脈沖微分系統(tǒng)比較定理，證明了無(wú)病周期解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性的條件：

（1）當(dāng)R2＜1時(shí)，系統(tǒng)（2）的無(wú)病周期解(?(t),0,0)是全局吸引的；當(dāng)R1＜R2＜1時(shí)，系統(tǒng)（2）的無(wú)病周期解(S?(t),0,0)全局漸近穩(wěn)定的．

（2）當(dāng)R2＞1時(shí)，系統(tǒng)（2）是持久的．

系統(tǒng)持久性從生物學(xué)意義來(lái)看通俗的是指?jìng)魅静÷?、發(fā)展成為地方病，即在一段時(shí)間內(nèi)，感染者數(shù)量一直保持一定水平．對(duì)于潛伏期、染病期和恢復(fù)期有傳染力的疾病，不但要控制染病期的病人，還要控制潛伏期和恢復(fù)期的病人，才能更加有效的控制疾病蔓延．若疾病在潛伏期的傳染力越小，即模型（1）中的ω,β值越小，閥值也越小，越有利于疾病的消除；反之，則不然．而預(yù)防接種是一種行之有效的控制疾病的方法，在文獻(xiàn)[12]中討論接種策略的方法，通過(guò)控制接種比例p(p＜p*)，其中p*=(R2-1)(eμτ-1)，來(lái)控制疾病，應(yīng)用脈沖接種策略，選擇適當(dāng)?shù)慕臃N間隔期，來(lái)預(yù)防控制疾病蔓延成地方病，來(lái)達(dá)到防控效果．

[1] Donofrio A. On pulse vaccination strategy in the SIR epidemic model with vertical transmission [J]. Applied Mathematics Letters, 2005, 18(7): 729-732.

[2] Liu X Z. Absolute stability of impulsive control systems with time delay [J]. Nonlinear Analysis, 2005, 62(3): 429-453.

[3] 熊佐亮, 王欣. 具有脈沖預(yù)防接種的SIRS傳染病模型[J]. 南昌大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 32(2): 21-24.

[4] Gao S J, Chen L S, Teng Z D. Analysis of an SEIRS epidemic model with time delays and pulse vaccination [J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 2008, 38(5): 1385-1402.

[5] 付景超, 井元偉. 具垂直感染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型的研究[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 23(2): 273-278.

[6] 王拉娣, 李建全. 一類帶有非線性傳染率的SEIS傳染病模型的定性分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 27(5): 591-596.

[7] 于宇梅, 衡強(qiáng). 一類潛伏期和傳染期均有傳染力的模型的穩(wěn)定性分析[J]. 大連交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 33(6): 98-102.

[8] 王蓮花, 剛毅, 張鳳琴. 具有常數(shù)輸入的模型的穩(wěn)定性分析[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2009, 39(18): 208-214.

[9] Chen L S. The effect of constant and pulse vaccination on SIR epidemic model with horizontal and vertical transmission [J]. Mathematical and Computer Modeling, 2002, 36: 1039-1057.

[10] 郝麗杰, 蔣貴榮, 鹿鵬. 具有垂直傳染和脈沖接種的SIRS傳染病模型的周期解[J]. 東北師大學(xué)報(bào), 2013, 45(3): 35-40.

[11] 李海霞, 賈建文. 一類具有非線性傳染率的脈沖免疫接種的SIRSV模型[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2011, 41(21): 148-154.

[12] 羅芬. 連續(xù)接種和脈沖接種在流行病模型中的效應(yīng)[D]. 武漢: 華中師范大學(xué), 2008: 19-20.

Analysis of an SEIR Epidemic Model with Pulse Vaccination and Nonlinear Infectious Rate

WANG Shoubin, WANG Limin, ZHANG Di
(Department of Mathematics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

In this paper, an SEIR epidemic disease model with nonlinear infectious rate and pulse vaccination is investigated. Based on Floquet multiplier theory and comparison theorem of impulsive differential equation, the research proves that the existence of the disease free periodic solution and conditions of overall asymptotic stability are meanwhile involved.

Nonlinear Infectious Rate; Pulse Vaccination; Periodic Solution; Persistence

O175

A

1674-3563(2015)02-0044-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.007 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-12-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11061017)

王壽斌(1990- )，男，甘肅武威人，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)