王莉娜，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

正交各向異性磁電彈性圓板的哈密頓體系方法

王莉娜，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

基于哈密頓體系求解方法，針對(duì)具有軸對(duì)稱(chēng)性的正交各向異性磁電彈性圓板的彎曲問(wèn)題進(jìn)行求解．解決問(wèn)題的基本思路為：首先將該問(wèn)題的基本方程導(dǎo)入哈密頓體系，得到哈密頓方程；然后研究哈密頓方程的零本征值對(duì)應(yīng)的本征解；最后得到原問(wèn)題的解析解．與該問(wèn)題的其它求解方法相比較，哈密頓體系方法具有明顯的優(yōu)越性．

正交各向異性；哈密頓體系方法；本征解；磁電彈性圓板

隨著各種各樣智能材料的不斷涌現(xiàn)，人們對(duì)壓電材料和壓磁材料的研究更為深入，尤其是將壓電和壓磁材料有機(jī)結(jié)合起來(lái)的復(fù)合材料更是引起了廣大學(xué)者的極大關(guān)注．早在1972年，Van Suchtelen就指出，壓電和壓磁材料的結(jié)合會(huì)導(dǎo)致新的材料特性即磁電耦合效應(yīng)的出現(xiàn)[1]，隨后，于1974年，Van Run和Van Den Boomgaar等學(xué)者對(duì)BaTiO3-CoFe2O4壓電、壓磁復(fù)合材料進(jìn)行了測(cè)定，得到該材料具有非凡磁電耦合效應(yīng)的結(jié)論[2]．之后，這種具有獨(dú)特非凡的磁電耦合效的智能材料在工程中得到了廣泛應(yīng)用．在彈性力學(xué)中，求磁電彈性圓板的解析解是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題．文獻(xiàn)[3]給出了橫觀(guān)各向同性層合圓板軸對(duì)稱(chēng)彎曲問(wèn)題的解析解，文獻(xiàn)[4]得到了彈性薄板混合邊界問(wèn)題的解析解，文獻(xiàn)[5]用邊界積分法分析了薄圓板，文獻(xiàn)[6-8]也用不同方法求得解析解．就作者所知，目前尚未有文獻(xiàn)采用哈密頓體系方法對(duì)正交各向異性磁電彈性圓板的彎曲問(wèn)題進(jìn)行解析求解．本文將采用文獻(xiàn)[9]提出的哈密頓體系方法，對(duì)正交各向異性磁電彈性圓板進(jìn)行解析求解．具體思路為：首先將該問(wèn)題的基本方程導(dǎo)入哈密頓體系，通過(guò)分離變量得到哈密頓方程；然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楣茴D空間算子矩陣的本征問(wèn)題，研究哈密頓方程的零本征值對(duì)應(yīng)的本征解，再對(duì)本征解的各階約當(dāng)型分析求解，這樣理性地推導(dǎo)下去；最后得到問(wèn)題的解析解．哈密頓體系方法是一種普通、理性的方法，采用該方法求解具有明顯的優(yōu)越性．

1 正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問(wèn)題的基本方程

選取柱坐標(biāo)（r,θ,z），其中r表示圓板的徑向坐標(biāo)，θ表示圓板的角度坐標(biāo)，z表示圓板的對(duì)稱(chēng)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)在材料的對(duì)稱(chēng)軸中點(diǎn)處．材料厚度設(shè)為2h，直徑設(shè)為2a．下面將給出正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問(wèn)題的基本方程．

應(yīng)力平衡方程和電學(xué)、磁學(xué)方程為：

磁電彈性圓板的本構(gòu)方程為：

其中，cij為彈性剛度系數(shù)，eij為壓電常數(shù)，qij為壓磁常數(shù)，βii為介電常數(shù)，dii為磁電常數(shù)，μii為磁性常數(shù)；Ei, Hi分別為電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度；u, w為位移，Dr, Dz為電位移，Br, Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度；φ, φ分別為電勢(shì)和磁勢(shì)；σij為應(yīng)力，εij為應(yīng)變．

由于本文研究的磁電彈性圓板具有軸對(duì)稱(chēng)性，故環(huán)向位移為零，且與環(huán)向有關(guān)的剪切力以及電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度也為零．因此在本構(gòu)方程和以后的計(jì)算中都不再考慮．

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)物體表面不受體力，也沒(méi)有自由電荷與磁場(chǎng)作用．這樣拉格朗日系統(tǒng)下的拉格朗日函數(shù)可以表示為：L（ u, w,φ, φ）=U（u,w,φ,φ），勢(shì)能可由以下積分表示：

2 導(dǎo)入哈密頓體系

在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解之前，首先通過(guò)勒讓德變換給出該問(wèn)題的哈密頓體系描述．令原變量q=｛u, w,φ, φ｝Τ，引入對(duì)偶變量p=｛p1, p2,p3,p4｝Τ，對(duì)偶變量可由以下方法獲得：

由（1）式、（2）式和（7）式得：

3 問(wèn)題的零本征解及其約當(dāng)型

上面采用哈密頓體系方法給出了具有軸對(duì)稱(chēng)的正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問(wèn)題對(duì)應(yīng)的方程．現(xiàn)在要在此基礎(chǔ)上對(duì)該方程進(jìn)行求解，采用的主要方法是分離變量法：令ν=ΨZ（ z ），其中Z（ z）是有關(guān)z的函數(shù)，Ψ是與z無(wú)關(guān)的2n維向量．將ν=ΨZ（ z）代入（9）式，得到：

這里λ是本征值，而Ψ是本征向量．

因?yàn)榇嬖谧杂蛇吔纾瓎?wèn)題必然存在零本征解，而且零本征向量會(huì)存在階數(shù)不同的約當(dāng)型，不同形式的約當(dāng)型解被賦予不同的物理意義．

3.1 零本征值本征解

當(dāng)λ=0時(shí)，尋求其本征解，此時(shí)（10）式可變?yōu)椋?/p>

求解上式，可得到零本征值的本征解：

對(duì)應(yīng)的物理意義分別為：沿軸向的剛體平移、電勢(shì)的整體移動(dòng)、磁勢(shì)的整體移動(dòng)．

3.2 各階約當(dāng)型本征解

對(duì)于零本征解，有方程：

如果（13）式存在既符合問(wèn)題的邊界條件，同時(shí)也滿(mǎn)足（14）式的本征解，那么就稱(chēng)其為零本征解的第n+1階約當(dāng)型解．這里要說(shuō)明的是，第n階約當(dāng)型解都不是原問(wèn)題的解，但是可以利用它們得到原問(wèn)題的解．具體來(lái)說(shuō)，原問(wèn)題的解可以表示為：

1）一階約當(dāng)型解

利用方程（13）得到一階約當(dāng)型的控制方程為：

對(duì)該方程進(jìn)行求解，得到：

結(jié)合（14）式與（16）式，得到原問(wèn)題的一階約當(dāng)型解為：

對(duì)應(yīng)的物理意義分別為：均勻拉伸、均勻電場(chǎng)、均勻磁場(chǎng)．

2）二階約當(dāng)型解

二階約當(dāng)型解的控制方程為：

考慮到方程（18）的解不滿(mǎn)足原問(wèn)題的邊界條件，其對(duì)應(yīng)的約當(dāng)型解鏈到此中斷．

綜上得到零本征值問(wèn)題的所有本征解，也就是對(duì)偶方程的所有基本解向量，而它們覆蓋了所有的圣維南解．

4 哈密頓體系方法的優(yōu)越性

文獻(xiàn)[6]提供了一種解析求解磁電彈性圓環(huán)板純彎曲問(wèn)題的方法，在該文獻(xiàn)中講到在勢(shì)函數(shù)中，令D1j=0（j=1,2,3,4），可以平行推導(dǎo)出圓板r0=0的解析解．下面運(yùn)用該方法直接給出圓板的解析解．邊界條件為：

對(duì)應(yīng)應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力、電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為：

由（20）表達(dá)式看出，應(yīng)力表達(dá)式與彈性力學(xué)中的表達(dá)式一樣，純彎曲問(wèn)題不會(huì)引起電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，但是電勢(shì)和磁勢(shì)卻發(fā)生了變化，因此只要求解下面式（21）方程組求出C3j，再代入式（22）中即可得出位移、電勢(shì)和磁勢(shì)的顯示表達(dá)式．

下面利用哈密頓體系方法求解文獻(xiàn)[6]的問(wèn)題．

其中η11,η12,η13為待定系數(shù)，由邊界條件式（19）決定．

由（2）式及應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系可得：

代入具體參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)哈密頓體系方法和文獻(xiàn)[6]給出的湊合法是吻合的，這兩種方法最重要的區(qū)別是：哈密頓體系方法是通過(guò)給出材料所要研究問(wèn)題的基本方程，導(dǎo)入哈密頓體系，再通過(guò)解哈密頓方程等的理性推導(dǎo)求得解析解；傳統(tǒng)的湊合法則采用的是一種試探式方法，先假設(shè)出一個(gè)解，然后代入要解決的問(wèn)題中，判斷是否滿(mǎn)足邊界條件從而求得解析解．由此可以看出，哈密頓體系方法的優(yōu)勢(shì)在于它提供的是一種普通、理性的方法，并且可以滿(mǎn)足邊界條件．

[1] Van Run A M J G, Terrell D R, Scholing J H. An in situ grown eutectic magnetoelectric composite material. Part2: Physical properties [J]. J Mater Sci, 1974, 9: 1710-1714.

[2] Van Den Boomgaard J, Terrell D R, Bom R A J, et al. An in situ grown eutectic magnetoelectric composite material. Part1: Composition and unidirection solidification [J]. J Mater Sci, 1974, 9: 1705-1709.

[3] 盛宏玉. 彈性地基上自由層合圓板彎曲問(wèn)題的解析解[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2000, 22(3): 323-326.

[4] 徐鷹. 彈性薄圓板混合邊界問(wèn)題的解析解法: 分區(qū)聯(lián)合解法[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 1995, 27(3): 319-325.

[5] Celep Z. Circular plate on tensionless Winkler foundation1 [J]. Eng Mech Div, 1988, 114(10): 1723-1739.

[6] Nath Y. Large amplitude response of circular plates on elastic foundations1 Int [J]. Non-linear Mech, 1982, 17(4): 285-296.

[7] 陳江瑛, 侯鵬飛, 丁浩江. 磁電彈性圓環(huán)板的三個(gè)解析解[J]. 寧波大學(xué)學(xué)報(bào): 理工版, 2002, 15(4): 8-21.

[8] 陳江瑛, 丁皓江, 侯鵬飛. 磁電彈性旋轉(zhuǎn)圓環(huán)(圓盤(pán))的三維分析[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào): 工學(xué)版, 2003, 37(4): 440-444.

[9] 鐘萬(wàn)勰. 彈性力學(xué)求解新體系[M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 1995: 12-19, 156-183.

Hamiltonian System Method of Orthotropic Magneto Electric-elastic Circular Plate

WANG Lina, HE Wenming
(College of Mathematics and Information science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035 )

Based on the Hamiltonian-system’s solving method, this paper mainly solves the problems of axial-symmetry perpendicular-anisotropy of magnetic-elastic circular-plate’s solution. The basic train of thought to solve this problem is as follows. First, the basic equations of the problem have to be guideded into the Hamiltonian-system to get the Hamiltonian-equation. Then, the Hamiltonian-equation’s zero eigen value is studied as well as its corresponding eigen solution vector. Finally, the analytic solution of the original problem is obtained. It is obvious that Hamiltonian-system method possesses the superiority compared with other solutions of solving meothods.

Orthogonal Anisotropy; Hamiltonian-system Method; Eigen Solution; Magnetoelectric-elastic Circular-plate

O24

A

1674-3563(2015)02-0019-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2014-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金(11171257)

王莉娜(1989- )，女，山西陽(yáng)泉人，碩士研究生，研究方向：計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)控制