李遠(yuǎn)遠(yuǎn)，羅 勇，胡亦鄭

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

具有不同頻率脈沖控制的周期環(huán)境下捕食系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)

李遠(yuǎn)遠(yuǎn)，羅 勇?，胡亦鄭

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

研究了一類在周期環(huán)境下具有不同頻率脈沖控制的綜合害蟲治理捕食系統(tǒng)模型，利用脈沖微分方程相關(guān)理論，分別給出了不同策略下害蟲滅絕周期解的存在性與全局漸近穩(wěn)定的充分條件，用數(shù)值模擬分析了系統(tǒng)參數(shù)、害蟲和天敵的殘存率、噴灑殺蟲劑的次數(shù)等對臨界值的影響．

脈沖控制；綜合治理；全局漸近穩(wěn)定；捕食系統(tǒng)

綜合害蟲管理策略（IPM）是一套害蟲治理系統(tǒng)．這個(gè)系統(tǒng)考慮到害蟲的種群動態(tài)及其有關(guān)環(huán)境，利用適當(dāng)方法和技術(shù)，采用盡可能互相配合的方式來控制害蟲種群，使其不引起經(jīng)濟(jì)危害．害蟲綜合治理主要包括生物防治和化學(xué)控制等方法．天敵助增（天敵的人工繁殖和釋放）是近年來備受重視的生物防治的一個(gè)領(lǐng)域，因其可避免使用化學(xué)藥劑帶來的問題而日益受到重視．化學(xué)控制是通過噴灑殺蟲劑來控制害蟲，它能使害蟲數(shù)量迅速減少，尤其當(dāng)害蟲數(shù)量太大，釋放天敵數(shù)量不足以控制害蟲時(shí)，必須使用殺蟲劑來控制害蟲．實(shí)踐證明，IPM比任何一種經(jīng)典方法（如化學(xué)控制，生物控制）都更加有效[1-2]．已有許多學(xué)者對具有固定時(shí)刻脈沖的綜合害蟲管理模型進(jìn)行了研究，并且取得了顯著的成就[3-8]，其中文[7]建立周期環(huán)境下捕食系統(tǒng)模型，研究了固定時(shí)刻脈沖下內(nèi)稟增長率改變時(shí)的捕食系統(tǒng)的害蟲根除周期解的存在性與全局穩(wěn)定性．文[8]考慮害蟲感染疾病，研究了具有脈沖控制的害蟲-天敵相互作用和食餌-害蟲相互作用的害蟲治理SI模型，得出易感害蟲滅絕周期解存在性與全局吸引性的閾值條件以及控制參數(shù)對閾值條件的影響．本文基于文[7]和文[8]模型，建立不同頻率使用殺蟲劑和釋放自然天敵的兩種脈沖控制策略來治理害蟲，利用Floquet理論[9]和脈沖微分方程比較定理[10]和分析方法，系統(tǒng)研究了所提出模型的動力學(xué)性質(zhì)，給出了兩種策略下的害蟲滅絕周期解的存在性和全局漸近穩(wěn)定的充分條件．

1 模型建立

本文考慮如下具有不同頻率脈沖控制的周期環(huán)境下捕食系統(tǒng)模型：

其中x( t),y( t)分別為t時(shí)刻害蟲和天敵種群數(shù)量；r, a, b, c, d均為正常數(shù)，a+rsinωt為害蟲的內(nèi)稟增長率在周期環(huán)境下的變化，b為捕食率，h是消化率，d是捕食者的死亡率，λbx( t)(1+bhx( t))是食餌的轉(zhuǎn)化率；q1和q2分別是噴灑農(nóng)藥時(shí)害蟲和天敵的存活率，τ為按常數(shù)投放天敵，q3為按比例投放天敵，τ,qi( i =1,2,3)與捕食者的種群數(shù)量無關(guān)，τ＞0,0≤q1＜1，0≤q2＜1,q3≥1；τn為噴灑農(nóng)藥的時(shí)刻，λm為釋放天敵的時(shí)刻．

根據(jù)投放天敵與使用殺蟲劑不同頻率的使用模式來研究捕食系統(tǒng)的害蟲根除周期解的存在性，找出全局漸近穩(wěn)定的的充分條件，分析不同頻率脈沖控如何影響害蟲控制策略．

情況1 殺蟲劑的使用比自然天敵釋放更頻繁．

假設(shè)：?m∈Z+，λm+1-λm=TM，其中TM是天敵的釋放周期，如果存在一個(gè)正整數(shù)kp使得τn+kp=τn+TM，即在每個(gè)釋放天敵TM周期內(nèi)噴灑kp次殺蟲劑，那么稱系統(tǒng)（1）為TM周期系統(tǒng)．

情況2 自然天敵的釋放比殺蟲劑的使用更頻繁．

假設(shè)：?n∈Z+，τn+1-τn=TN，其中TN是殺蟲劑的噴灑周期，如果存在一個(gè)正整數(shù)kq使得λm+kq=λm+TN，即在每個(gè)殺蟲周期內(nèi)釋放kq次有病害蟲，那么稱系統(tǒng)（1）為TN周期系統(tǒng)．

情況3 噴灑殺蟲劑的周期和投放自然天敵的周期不同．

假設(shè)：?m∈Z+，λm+1-λm=TM，且?n∈Z+,τn+1-τn=TN，其中TM是天敵的釋放周期，TN是殺蟲劑的噴灑周期．令ρ=TMTN，那么ρ是有理數(shù)或是無理數(shù)．若ρ是有理數(shù)，那么ρ=p q，且p與q是互素的，此時(shí)令T0=pTN=qTM，則系統(tǒng)（1）是T0周期系統(tǒng)．因此，若ρ是有理數(shù)，系統(tǒng)（1）可以應(yīng)用情況1或情況2的方法進(jìn)行研究；若ρ是無理數(shù)，那么系統(tǒng)（1）就變得十分復(fù)雜，對于這種特殊的情況，我們不做考慮．

2 情況1的動力學(xué)性質(zhì)分析

情況1中，每個(gè)TM天敵釋放周期內(nèi)噴灑kp次殺蟲劑，考慮到實(shí)際生物意義，令kp≥1．首先，考慮（1）的子系統(tǒng)：

3 情況2的動力學(xué)分析

4 數(shù)值模擬

為了更好了解噴灑殺蟲劑的次數(shù)和投放天敵的比例及個(gè)數(shù)，通過以下數(shù)值模擬來進(jìn)行分析．

圖1 噴灑殺蟲劑的次數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)對臨界值的影響

圖1（a – c）中，只改變害蟲殘存率（q1），其他參數(shù)設(shè)為a=1.35，r=0.219，b=1.2，d=0.28，q3=1，τ=7，TM=19．圖1（a – c）中，選擇天敵的殘存率q2=0.98時(shí)，只讓q1變化，其他參數(shù)不變，發(fā)現(xiàn)圖1（b）中存在一個(gè)最優(yōu)的噴灑殺蟲劑次數(shù)，這時(shí)噴灑殺蟲劑的次數(shù)增加或者減少反而可能導(dǎo)致害蟲爆發(fā)．如果再繼續(xù)增加或者減少殺蟲劑的劑量，臨界值R0關(guān)于噴灑次數(shù)則變?yōu)閱握{(diào)了．可以看出，合理選擇參數(shù)至關(guān)重要．圖1（d – f），只讓q2變化，發(fā)現(xiàn)天敵的殘存率對臨界值R0的影響比較大，當(dāng)q2=0.89時(shí)，臨界值關(guān)于噴灑殺蟲劑的次數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)q2增大到0.95時(shí)，臨界值關(guān)于噴灑殺蟲劑的次數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)；而當(dāng)q2=0.92時(shí)，圖形是一個(gè)非單調(diào)函數(shù)，這暗示著要慎重選擇噴灑殺蟲劑次數(shù)．

圖2 噴灑殺蟲劑次數(shù)對臨界值的影響

圖2說明害蟲q1和天敵的殘存率q2、噴灑殺蟲劑次數(shù)kp、系統(tǒng)的周期TM對臨界值的影響．圖2參數(shù)如下：（a）q2=0.96，TM=19，τ=7；（b）q1=0.7，TM=19，τ=7；（c）q1=0.7，q2=0.93，TM=19；（d）q1=0.7，q2=0.92，τ=7．在圖2（b）和（c）中讓天敵的殘存率q2和投放常數(shù)τ變化，可以發(fā)現(xiàn)臨界值是隨著天敵的殘存率q2和投放常數(shù)τ的增大而減??；在（a）和（d）中臨界值隨著噴灑殺蟲劑的次數(shù)kp增加而減小，隨著天敵的殘存率q1和系統(tǒng)周期TM的增大而增大．也就是說，為了更好地控制害蟲，我們應(yīng)該增加固定周期內(nèi)天敵的投放量，或者增加噴灑殺蟲劑的次數(shù)或者縮短周期的長度，從而使經(jīng)濟(jì)危害最?。?/p>

5 結(jié) 論

種群增長必然會受到季節(jié)、氣候、食物資源等周期波動的影響．本文研究了一個(gè)在周期環(huán)境下固定時(shí)刻脈沖的綜合害蟲治理捕食系統(tǒng)模型，討論了不同頻率使用殺蟲劑和投放自然天敵兩種脈沖控制策略，得到了系統(tǒng)在兩種策略下根除害蟲周期解存在與全局漸近穩(wěn)定的充分條件．在實(shí)際的害蟲治理問題中，了解害蟲的生物、化學(xué)控制之間的相互作用至關(guān)重要．文中的數(shù)值模擬分析了系統(tǒng)參數(shù)、害蟲和天敵的殘存率、噴灑殺蟲劑的次數(shù)等對臨界值的影響，這些結(jié)果對人們在控制害蟲時(shí)合理選擇噴灑殺蟲劑次數(shù)及農(nóng)藥類、投放天敵常數(shù)、脈沖周期提供一定幫助．

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Dynamic Behaviors of a Predator-Prey System under the Condition of Periodic Environment with Impulsive Control of Different Frequency

LI Yuanyuan, LUO Yong, HU Yizheng
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper tends to study the comprehensive pest prey-predator system model with impulsive control of different frequency under the condition of periodic environment. With the theory of impulsive differential equations, the existence of pest extinction periodic solution and the sufficient condition of global asymptotic stability were obtained under different strategies. By the numerical simulation result, the impact of system parameters, survival rate of pests and natural enemies, and the numbers of the spraying on the critical value were respectively analyzed.

Impulsive Control; Integrated Management; Global Asymptotic Stability; Prey-predator System

O193

A

1674-3563(2015)02-0036-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.006

(編輯：封毅)

2014-04-26

國家自然科學(xué)基金(11001204)

李遠(yuǎn)遠(yuǎn)(1986- )，女，河南新蔡人，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)．? 通訊作者，luoyong@wzu.edu.cn