郭海燕

[摘 要] “數(shù)學圖式”將抽象的數(shù)學概念形象化、復雜的數(shù)學計算簡約化、孤立的知識點結構化，體現(xiàn)了操作性強、理解性好的特質. 不僅如此，“數(shù)學圖式”的衍生還與兒童的思維特質高度吻合，給了兒童具體的思維支撐、想象支撐、問題解決支撐.

[關鍵詞] 小學數(shù)學；數(shù)學圖式；幫助

“數(shù)學圖式”是由數(shù)學符號、數(shù)學圖象信息、數(shù)學示意圖等構成的具有解釋意義和解釋框架的數(shù)學認識組塊或模式. 數(shù)學圖式往往兼有形象與抽象的雙重表征和特質. 一方面，數(shù)學圖式建基于兒童的已有知識經驗；另一方面，數(shù)學圖式指向數(shù)學的新知識建構. “數(shù)學圖式”對于培養(yǎng)兒童的數(shù)學化能力（數(shù)學理解、數(shù)學分析、模型化等）具有重要的意義，對于讓抽象的數(shù)學概念形象化也有著重要的作用. 可以說，數(shù)學圖式是開啟兒童數(shù)學學習的“金鑰匙”！

“數(shù)學圖式”在兒童數(shù)學教學

中的意義

1. 兒童的思維發(fā)展意義

兒童的思維是從動作思維向形象思維再向抽象思維進行逐步發(fā)展提高的. 在小學階段，兒童的思維表征主要為半形象半抽象的思維. “數(shù)學圖式”正是“準抽象”思維的載體，兼有形象和抽象的特征. 兒童的思維處于成長和發(fā)展階段，其思維支撐需要借助數(shù)學工具進行輔助，“數(shù)學圖式”是數(shù)學工具輔助的腳手架. 例如，教學圓的半徑、直徑、周長和面積后，不少兒童對于r，d，C之間的關系經?；煜? 于是筆者在r和d之間建立2倍的關系，在d和C之間建立π的關系，在r和C之間建立2π的關系. 3個圖式——2，π，2π，讓兒童對公式之間的變形與轉換有了抓手，雜亂的數(shù)學知識學習起來顯得很有條理. 孩子的思維得到了有效的支撐和引導. 如此，公式轉換從模糊變得清晰！

2. 數(shù)學知識的形象化意義

抽象化的數(shù)學知識容易讓兒童的思維受阻，“數(shù)學圖式”能夠讓抽象化的數(shù)學知識形象化；點狀的數(shù)學知識點不容易整合，“數(shù)學圖式”可以幫助兒童對數(shù)學知識進行系統(tǒng)建構，讓兒童建立完整的意義結構，形成結構化的數(shù)學知識；數(shù)學知識作為一種“符號表征”，容易被兒童遺忘，“數(shù)學圖式”卻能夠幫助建立穩(wěn)定的數(shù)學記憶，讓兒童在提取數(shù)學知識時有 “拐杖”等. “數(shù)學圖式”讓兒童更好地理解概念的數(shù)學本質，理解數(shù)量之間的關系，促進兒童對數(shù)學知識進行深度地知識建構，進而有效地提升兒童的數(shù)學素養(yǎng). 例如，兒童對“分數(shù)的意義”的理解總是不到位，于是筆者教學時將分數(shù)的書寫與分數(shù)的意義聯(lián)通起來，讓分母表示平均分的份數(shù)，分子表示有這樣的多少份，如“二分之一”讀作“二份之一”. 如此，讓兒童借助“書寫圖式”理解了分數(shù)的本質內涵！

“數(shù)學圖式”在兒童數(shù)學教學

中的運用

建構主義理論認為，兒童數(shù)學學習不是由教師或其他人傳授的，而是他本人主動根據(jù)已有的數(shù)學經驗、認知結構進行的一種主動建構的過程. 兒童本身具備一定的數(shù)學學習和數(shù)學認知經驗，“數(shù)學圖式”讓兒童能夠順利地進行“同化”與“順應”，從而讓兒童能夠主動地探尋“新知”.

1. 實踐圖式：讓兒童的表象映象更深刻

數(shù)學實踐是兒童認識數(shù)學概念的源泉，也是兒童形成數(shù)學表象的重要手段. 瑞士心理學家皮亞杰認為，智慧發(fā)端于操作，切斷動手操作，兒童的智慧就無從談起. 在數(shù)學教育中，教師要給兒童充分的動手操作機會，讓兒童充分經歷數(shù)學化活動，讓兒童主動建構屬于自我的數(shù)學知識. 例如，教學“長方形的面積”時，傳統(tǒng)教法是教師讓兒童膚淺地經歷數(shù)學知識的操作活動，比如教師提供一種或給定一種規(guī)格的長方形，兒童動手用單位長度1厘米的正方形擺放. 從兒童的視角看，兒童完全是在經歷一種“被實踐”“被操作”；從數(shù)學的角度看，數(shù)學歸納應該讓兒童經歷不完全歸納的全過程，同時數(shù)學操作不是機械地動手實踐，而應該蘊涵數(shù)學味道. 基于此，筆者給兒童提供多個結構性材料：長是3厘米、寬是2厘米的長方形；長是4厘米、寬是3厘米的長方形；長是7厘米、寬是3厘米的長方形；10個1平方厘米的小正方形. 首先，筆者讓孩子們探索“長是3厘米、寬是2厘米”的長方形的面積. 由于“小正方形”的個數(shù)夠用，孩子們的操作完全是擺和放，并沒有多少真正的思維參與. 接著筆者讓孩子們探索“長是4厘米、寬是3厘米”的長方形面積，這時小正方形不夠用了，怎么辦？兒童的思維有了初步介入，并且兒童對第一個實踐活動進行觀察、反思，觀察長的個數(shù)、寬的個數(shù)與長方形面積的關系，并提出初步猜想；最后，筆者讓孩子們探索“長是7厘米、寬是3厘米”的長方形的面積計算，這時孩子們紛紛提出準確的數(shù)學猜想，再通過小組合作進行驗證. 孩子們自然而然地得出科學的數(shù)學結論. 如此，實踐圖式深深地印刻在兒童的心中. 在這里，兒童不是完成指令的“操作工”，而是有著深刻的、獨特的數(shù)學猜想與驗證. “操作圖式”也成為一種“有意義的圖式”，由此積極地建構起數(shù)學新知.

2. 圖形圖式：培養(yǎng)兒童數(shù)形結合意識和能力

“圖形圖式”是圖式的重要組成，是兒童進行問題解決的重要抓手. 著名數(shù)學家華羅庚曾經說過，“數(shù)形結合百般好”“數(shù)缺形時少直觀”“形缺數(shù)時難入微”. 所謂“圖形圖式”，就是在兒童的數(shù)學學習過程中把抽象的數(shù)學符號、數(shù)量關系用直觀的、形象的圖形表示出來，從而“以形助數(shù)”，讓抽象的數(shù)學形象化，讓理性的數(shù)學問題感性化. 例如教學“解決問題的策略——轉化”，對于1+3+5+7+9+11，筆者首先出示問題，孩子們紛紛動筆計算，一會兒便解決了問題；接著，筆者將問題拓展為1+3+5+…+99，激發(fā)了兒童的認知沖突；筆者適時提示孩子可以借助圖形來表示，于是一些孩子畫出了正方形，但孩子沒有體現(xiàn)問題本質；接著，筆者讓孩子們進行小組討論. 于是孩子們畫出如圖1所示的圖式.

“圖形圖式”讓繁雜的計算變得簡單，對接了兒童的形象思維與抽象思維，溝通了數(shù)與形之間的關系，凸顯了數(shù)學的本質. 在接下來教學“■+■+■+■”時，兒童“見數(shù)思形”，積極主動地將這個算式與圖形結合，很快便探索出把整個正方形看做“1”，平均分成2份，得到■；然后將剩下的圖形也平均分成2份，得到■……最后，孩子們從“1”里減去■，得到■. 這說明，兒童的“圖形圖式”已經根植于思維和思想深處，成為一種解決問題的策略，同時獲得了“形感”！

3. 結構圖式：培養(yǎng)兒童靈活應用的能力

數(shù)學教材中的數(shù)學知識是按照“點”的形式呈現(xiàn)的，知識點之間缺少深刻的聯(lián)系. 為此，教師必須有意識地引導兒童探索數(shù)學的知識結構，讓兒童主動建構數(shù)學的“結構圖式”，讓“知識點”形成“知識鏈”，織成“知識網(wǎng)”，讓獨立又相互聯(lián)系的知識點“圖式”形成“網(wǎng)絡結構圖”，以便兒童在運用時靈活與方便地提取. 例如，教學“因數(shù)與倍數(shù)”“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”時，筆者讓兩個跨年級的大單元知識進行知識整合，建構兒童的數(shù)學知識“結構圖式”. “因數(shù)—公因數(shù)—最大公因數(shù)”“倍數(shù)—公倍數(shù)—最小公倍數(shù)”“奇數(shù)與偶數(shù)”“素數(shù)與合數(shù)”等. 明晰的“結構圖式”讓兒童清晰地掌握了數(shù)學知識的“來龍去脈”、數(shù)學知識的“源”與“流”，為概念的判斷與問題的靈活解決奠定了堅實的基礎. 再如，教學“圓的面積”后，筆者有意識地建構兒童的“結構圖式”，將“長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形”有機地整合在一起，并且將數(shù)學思想——“轉化”、圖形面積的推導過程用“結構圖式”表現(xiàn)得淋漓盡致，達到知識點之間的照應.

“數(shù)學圖式”將抽象的數(shù)學概念形象化、復雜的數(shù)學計算簡約化、孤立的知識點結構化，體現(xiàn)了操作性強、理解性好的特質. 不僅如此，“數(shù)學圖式”的衍生還與兒童的思維特質高度吻合，給了兒童具體的思維支撐、想象支撐、問題解決支撐，兒童在“數(shù)學圖式”的引領下，左右腦協(xié)同運作，其想象力和創(chuàng)造力都得到應有的系統(tǒng)發(fā)展. 其中，“操作圖式”讓兒童依靠操作活動表征數(shù)量之間的關系；“圖形圖式”表征著數(shù)與形之間的微妙關系；“結構圖式”讓兒童對數(shù)學知識進行集約化處理. 由此，兒童能夠積極主動地探索數(shù)學新知，自主地經歷數(shù)學知識點、知識脈絡形成的全過程.endprint