胡淑芳

[摘 要] 如何實施數(shù)學(xué)概念教學(xué)？本文從合理設(shè)置概念教學(xué)方向性出發(fā)，從讓學(xué)生認識概念邏輯性、區(qū)分概念層次性、理解概念抽象性、領(lǐng)悟概念擴展性等方面進行深度概念教學(xué)，深化概念教學(xué)，進而認識數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和內(nèi)涵.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；概念；新課程；抽象性；邏輯性；層次性；擴展性

新課程對于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理念是：積極探索、主動建構(gòu). 這一理念在新課程積極推廣之初獲得了教師的普遍支持和實施，隨著教學(xué)改革熱情的漸漸趨于平淡，以及應(yīng)試的依舊存在，筆者發(fā)現(xiàn)不少教師漸漸對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探索式實施越來越不關(guān)注，或僅僅只在公開課進行課程理念教學(xué)示范，而在常態(tài)課階段，教師以傳統(tǒng)的概念講解—典例分析—大量訓(xùn)練—變式鞏固來進行數(shù)學(xué)概念教學(xué). 這種方式短期內(nèi)獲得了一定的效果，因此依舊備受教師的青睞. 江蘇省數(shù)學(xué)特級教師李庾南在談及新課程數(shù)學(xué)概念教學(xué)時說：很多教師不是在教數(shù)學(xué)概念，而是在教如何模仿做題. 概念沒教懂，只似懂非懂地教學(xué)生解題，這樣的概念教學(xué)方式是誤人子弟. 教概念，要教會學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念為什么這么定義，教會學(xué)生這些概念如何從實際情境中抽象而來，教會學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)、認知的過程等. 筆者認為，李老師的一席話極大地指明了我們現(xiàn)階段數(shù)學(xué)概念教學(xué)的短板和不足，并沒有給學(xué)生指明概念學(xué)習的道路，而是用不斷重復(fù)訓(xùn)練的手段在磨滅概念學(xué)習過程中的創(chuàng)造力，因此，本文將結(jié)合案例和筆者自身的一些實踐，系統(tǒng)而嚴密地談?wù)劯拍罱虒W(xué)中必須倚仗、改變的一些關(guān)鍵要素，讓學(xué)生在清晰獲得概念的過程中，增強數(shù)學(xué)學(xué)習的學(xué)習力.

概念邏輯性的認識

教數(shù)學(xué)概念一般都會教兩個方面，即概念的內(nèi)涵與外延. 眾所周知，內(nèi)涵指的是數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，它著重強調(diào)學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念抽象的理解；外延指的是數(shù)學(xué)概念所包括的所有對象，指出了我們所要研究的對象的總和. 筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生無法清晰地將概念的內(nèi)涵和外延弄清楚，例如，一次公開課上，筆者聽到某老師在談到有理數(shù)和實數(shù)這兩個數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，教師問■，■，-2是否是有理數(shù)？是實數(shù)嗎？學(xué)生甲無法正確區(qū)分有理數(shù)和實數(shù)，教師則大聲呵斥學(xué)生：怎么連這兩者都無法區(qū)分？然后又面對其他學(xué)生問同樣的問題，結(jié)果依舊出現(xiàn)不少學(xué)生無法正確區(qū)分. 此時，該教師匆匆忙忙將上述三個數(shù)字分類后直接結(jié)束了相關(guān)課程. 筆者驚訝的是：若少數(shù)學(xué)生沒有區(qū)分清楚，那是正常的教學(xué)現(xiàn)象，教師可以通過回顧、復(fù)習幫助學(xué)生回憶，但假如不少學(xué)生都無法正確區(qū)分有理數(shù)和實數(shù)這兩個數(shù)學(xué)概念，筆者認為該教師在概念教學(xué)的邏輯性上存在著較大的問題，僅靠一味地做相關(guān)數(shù)學(xué)題目無法解決這種教學(xué)現(xiàn)象. 而且，會在后期類似的教學(xué)過程中出現(xiàn)類似錯誤. 因此，筆者認為，要講清概念的邏輯性，應(yīng)該尊崇從大到小的原則（即從大概念到小概念，一般稱之為種概念到屬概念），將后續(xù)附加條件、特征（稱之為屬差）進行滲透，這樣，在概念邏輯性上的認識才是比較完整和有框架的. 如講解四邊形概念時，先介紹種概念平行四邊形，給出屬差①：若鄰邊相等是什么？得到屬概念①菱形；給出屬差②：若有一個內(nèi)角是直角？得到屬概念②矩形；給出屬差③：鄰邊相等且有一個角是直角是什么圖形？得到屬概念③正方形.

概念教學(xué)只有抓住屬差和種概念，才能將邏輯性的滲透做到清晰、有條不紊，這樣存儲于學(xué)生腦海中的知識才不會是凌亂、無框架的，可以使相關(guān)概念的儲藏條理化、系統(tǒng)化、網(wǎng)格化，也不會出現(xiàn)類似上述教師關(guān)于數(shù)學(xué)概念有理數(shù)和實數(shù)教授不清的狀況.

理解概念抽象性

我們知道，數(shù)學(xué)概念之所以簡捷，是緣自其強烈的抽象性，它把生活中各種具備具體形態(tài)的物體、性質(zhì)經(jīng)過提煉、抽象，用形式化的語言表述，從而形成了具備共性、本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念. 比如，從圓的面積公式找到了其與半徑之間的關(guān)系式、正方形面積與其邊長之間的關(guān)系式等，這些抽象出來的關(guān)系式所闡述的就是學(xué)生后來了解的函數(shù)關(guān)系式，其本質(zhì)就是研究一個變量經(jīng)過不同的對應(yīng)關(guān)系得到另一個變量的過程. 筆者認為，函數(shù)概念正是中學(xué)數(shù)學(xué)中理解概念抽象性最重要、最核心的一個數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)家萊布尼茲用了多年，在此之前很多數(shù)學(xué)家都沒有能夠清晰地弄清楚函數(shù)概念，因此，要學(xué)生在短時間內(nèi)掌握函數(shù)概念的抽象本質(zhì)有一定的困難. 依據(jù)學(xué)生特有的心理特征，為了扎實地理解函數(shù)概念的抽象性，可以借助一些感性的實物模型、教具等，將抽象性的特點以具體形態(tài)展示出來. 筆者認為，函數(shù)概念的變化其實可以看成一種原材料的加工機，比如將自變量x寓意成石塊原料，經(jīng)過加工機得到不同的函數(shù)值（可以看成石板、粉塵、石頭雕像等），這些不同的加工孕育出了不同的函數(shù)，這樣的形象解釋有助于心理結(jié)構(gòu)比較感性的中學(xué)生進行理解，也有助于他們進一步學(xué)習函數(shù)知識.

領(lǐng)悟概念擴展性

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延是相輔相成的，而且存在著相互壓縮的依賴關(guān)系，即概念的外延多則內(nèi)涵相對少，概念的外延少則內(nèi)涵相對多. 比如，三角形是一個大概念（種概念），其屬性相對較少；等腰三角形是個較小的屬概念，其屬性相對而言就多了；正三角形是再小的屬概念，其要求三條邊相等、三個角相等，這些共同屬性就更多了. 從這一概念的擴展我們知道，概念教學(xué)需要抓住其擴展性來研究. 例如，我們在研究數(shù)出現(xiàn)的過程時，利用概念外延不斷擴大的過程進行概念的逐一呈現(xiàn)（見圖1）.

再比如，對于圖形認識中出現(xiàn)的四邊形概念，這是一個概念外延收縮的過程（如圖2）. 上述兩個案例向教師指出了在教學(xué)中某些概念的教學(xué)必須尊崇一定的概念收縮或擴散原則，利用圖形化的結(jié)構(gòu)圖梳理知識的系統(tǒng)化、嚴密化，能讓概念之間的種、屬位置關(guān)系利用內(nèi)涵特征進行合理地區(qū)分與辨別，這種合理的擴展性領(lǐng)悟大大加深了學(xué)生對于某一知識體系概念的理解、加深和記憶. 筆者認為，教師將此類種屬概念明確的知識體系放在一種典型的樹狀圖教學(xué)，對于學(xué)生真正理解這些概念、牢記這些概念，進而將這些概念內(nèi)化在自身知識體系中，對于概念的合理擴展等大有幫助.

總之，新課程盡管從理論上加深了數(shù)學(xué)概念要提高效率的指導(dǎo)性方向，但在具體教學(xué)中或多或少被應(yīng)試所影響，筆者認為，解題很重要，但不能替代概念教學(xué)的合理性，因此以本文所闡述的三方面拙見，讓教師在概念教學(xué)關(guān)鍵之處進行一些細致地實施，讓學(xué)生在茫茫題海中適當解脫出來，真正領(lǐng)會形式化概念的本質(zhì).endprint