徐海燕

[摘 要] 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ). 初中數(shù)學(xué)抽象能力與概括能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，在基礎(chǔ)與途徑上做文章，具體包括基于數(shù)學(xué)概念與命題、基于數(shù)學(xué)建模與方法等.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)概括；能力培養(yǎng)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的能力培養(yǎng)是關(guān)鍵，而能力培養(yǎng)又不是一個(gè)空洞的概念，能力總是與一個(gè)學(xué)科具體的特點(diǎn)有著密切的聯(lián)系，理解這一點(diǎn)，那能力培養(yǎng)就不會(huì)成為一句空話(huà). 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，數(shù)與形總是以抽象的形態(tài)出現(xiàn)在人們面前，而抽象的結(jié)果又是經(jīng)過(guò)概括等過(guò)程產(chǎn)生的，因而學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的基礎(chǔ). 初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以概念、命題和規(guī)律為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)方法為途徑，因此數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，在基礎(chǔ)與途徑上做足文章.

基于數(shù)學(xué)概念與命題的抽象概

括能力

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念就是在數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中，基于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性而進(jìn)行的抽象概括過(guò)程. 因此，概念學(xué)習(xí)本身就是抽象概括能力培養(yǎng)的過(guò)程. 基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者以為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)在概念教學(xué)之時(shí)給學(xué)生提供豐富的事例，以讓學(xué)生能夠?qū)@些實(shí)例進(jìn)行充分地分析與綜合、歸納與演繹，這樣才能讓學(xué)生在對(duì)實(shí)例進(jìn)行分析的過(guò)程中，領(lǐng)略一種共同屬性，而這便是概念的本質(zhì)意義所在.

譬如，在“分式”（人民教育出版社《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)）的教學(xué)中，分式概念的建立就是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，這種重要性不僅體現(xiàn)在分式概念是后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，更體現(xiàn)在分式概念建立過(guò)程中可以進(jìn)一步有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力上. 在教材中，通過(guò)學(xué)習(xí)一艘輪船在順?biāo)澳嫠泻叫械睦?，給出輪船的航速及相關(guān)數(shù)據(jù)，要學(xué)生求出江水的流速. 在學(xué)生解答的過(guò)程中，自然會(huì)生出■和■的式子，從而引入分式的概念. 如果注意教材的編排，便會(huì)發(fā)現(xiàn)緊跟其后還有兩個(gè)例子：一是與長(zhǎng)方形面積相關(guān)的例子；二為圓柱形容器的體積與水的高度的關(guān)系. 如果再仔細(xì)分析的話(huà)，還會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)例子中分別用數(shù)據(jù)和符號(hào)提出了問(wèn)題，并要求學(xué)生求解. 這三個(gè)例子，建立在了學(xué)生原有熟悉的數(shù)學(xué)事例基礎(chǔ)上，因而從學(xué)生學(xué)習(xí)心理的角度來(lái)看，可以以原有的直覺(jué)進(jìn)行加工，而三個(gè)例子的分析則可以讓學(xué)生在不同的情境中獲得同樣的分式認(rèn)知，在此基礎(chǔ)上去綜合三個(gè)例子的共同點(diǎn)，并分析這些共同點(diǎn)與分?jǐn)?shù)有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，便會(huì)發(fā)現(xiàn)分式（當(dāng)然此時(shí)分式概念尚未給出）與分?jǐn)?shù)具有相同的形式，但分式的分母上都含有字母. 這實(shí)際上便完成了一個(gè)概括的過(guò)程！而分式的定義“一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子■就叫做分式”本身就是抽象的結(jié)果——從實(shí)例抽象成具體的分式定義. 從這個(gè)時(shí)候起，“分式”這一概念就包括了定義所述的內(nèi)容，并不斷運(yùn)用于新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中.

又如“函數(shù)”概念的建立，關(guān)鍵在于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到變量之間的關(guān)系并用表達(dá)式描述之. 多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，函數(shù)概念的建立對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不是一件輕而易舉的事情，而其中的原因又多是因?yàn)閷W(xué)生在函數(shù)概念建立的過(guò)程中未曾經(jīng)歷一個(gè)充分的抽象與概括的過(guò)程. 筆者在教學(xué)過(guò)程中，先給學(xué)生設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題：（1）如果一汽車(chē)行進(jìn)的速度是60 km/h，求其路程與時(shí)間的關(guān)系；（2）某容器內(nèi)溶液的體積與溶液深度的關(guān)系；（3）某城市某年溫度與時(shí)間的關(guān)系. 對(duì)學(xué)生而言，根據(jù)三種情況下的關(guān)系列出相應(yīng)的等式并不是一件難事，難的是對(duì)三者的分析，并在此基礎(chǔ)上概括出各例中兩個(gè)變量之間的關(guān)系. 這個(gè)時(shí)候往往需要教師的引導(dǎo)，并讓學(xué)生最終發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)變量之間總存在一定的依存關(guān)系，一個(gè)變量總會(huì)隨著另一個(gè)變量而變化，并且在有的情形之下，變量存在變化范圍. 這實(shí)際上是一個(gè)概括的過(guò)程，在概括的基礎(chǔ)上可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象，從而得出對(duì)函數(shù)的初步理解. 比如，有學(xué)生會(huì)說(shuō)：“如果一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量而變化，那這個(gè)變量就叫做另一個(gè)變量的函數(shù)”，也有學(xué)生會(huì)說(shuō)“如果兩個(gè)變量之間存在著對(duì)應(yīng)的變化關(guān)系或依存關(guān)系，那一個(gè)變量就叫做另一個(gè)變量的函數(shù)”，這是一個(gè)初步抽象的過(guò)程，進(jìn)一步的抽象與概括，可以引導(dǎo)學(xué)生將抽象出的本質(zhì)屬性推廣到其他同類(lèi)事物，進(jìn)而形成科學(xué)的函數(shù)概念，并賦予一定的定義.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)概念從形式上看有著明顯的區(qū)別，但從生成過(guò)程上來(lái)看，同樣具有抽象與概括等思維過(guò)程，因此數(shù)學(xué)概念與命題得出的過(guò)程既是抽象與概括的過(guò)程，又是培養(yǎng)學(xué)生抽象與概括能力的過(guò)程.

基于數(shù)學(xué)建模與方法的抽象概

括能力

相對(duì)于數(shù)學(xué)概念與命題而言，隱藏在它們后面的數(shù)學(xué)建模等思想與方法，與數(shù)學(xué)抽象與概括也有著密切的關(guān)系，換句話(huà)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模與方法也是培養(yǎng)學(xué)生抽象與概括能力的好時(shí)機(jī).

筆者在教學(xué)中曾經(jīng)嘗試給學(xué)生這樣一個(gè)例子：已知a，b，x，y均屬于正實(shí)數(shù)，且a，b滿(mǎn)足a2+b2=1的關(guān)系，x，y滿(mǎn)足x2+y2=1的關(guān)系. 試證明：ax+by≤1. 這是筆者在中考復(fù)習(xí)過(guò)程中給學(xué)生提供的一個(gè)例子. 在傳統(tǒng)的解題思路中，教師往往會(huì)滿(mǎn)足于學(xué)生的一種解題思路，也就是說(shuō)，目的只放在問(wèn)題本身得到解決上. 可事實(shí)上，如果本題能夠從抽象與概括的角度，通過(guò)一個(gè)問(wèn)題背后的多種解決思路，讓學(xué)生經(jīng)由不同的抽象過(guò)程，然后概括出此問(wèn)題的所有解題思路背后的解題思想，那就可以有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，自然，這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升，是以概括和抽象能力的培養(yǎng)為基礎(chǔ)的.

實(shí)際教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從多角度對(duì)本題進(jìn)行思考，即先進(jìn)行抽象. 如先從代數(shù)的思路去思考，便可以得出這樣的關(guān)系：a2+x2≥2ax，b2+y2≥2by，于是可以得出a2+x2 +b2+y2≥2（ax+by），從而得出ax+by≤1. 這種代數(shù)思路一般來(lái)說(shuō)學(xué)生比較熟悉，因此可以作為第一種教學(xué)思路，可以作為學(xué)生面對(duì)此問(wèn)題時(shí)的第一思維.endprint

此時(shí)可以先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，即引導(dǎo)學(xué)生思考這一解題思路是如何得出的. 在這個(gè)過(guò)程中，可以重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考從問(wèn)題到思路的抽象過(guò)程，即重在培養(yǎng)學(xué)生的抽象意識(shí)——因?yàn)橹耙呀?jīng)進(jìn)行過(guò)抽象，抽象能力已經(jīng)得到鍛煉，但學(xué)生未必會(huì)形成抽象意識(shí)，這種意識(shí)往往是通過(guò)反思得到強(qiáng)化的.

在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生從幾何的角度思考，結(jié)合單位圓的知識(shí)，將a，b，x，y看做是單位圓中分別對(duì)應(yīng)著直徑的兩條弦，這樣，a和b、x和y與各自對(duì)應(yīng)的直徑就組成了一個(gè)直角三角形（如圖1），此時(shí)借助ax+by=AB·CD（這個(gè)關(guān)系在數(shù)學(xué)上是一個(gè)基本規(guī)律，初中階段可能未有涉獵，但可以提供給學(xué)生，也算是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用陌生工具進(jìn)行探究的能力），顯然，CD≤AB，即CD≤1，因此原結(jié)論也就得到了證明.

如果學(xué)生此時(shí)的抽象能力和概括能力得到明顯體現(xiàn)，那還可以再向?qū)W生提問(wèn)：不是可以從其他角度進(jìn)行思考嗎？一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生此時(shí)難以想到其他方法，但如果教師結(jié)合題中a2+b2=1和x2+y2=1的特征，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行思考，就能讓學(xué)生的思維拓展到將a，b，x，y設(shè)成關(guān)于某兩個(gè)角的正弦與余弦函數(shù)，那就可以引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的關(guān)系使本題得到求解（具體過(guò)程略）.

這樣，在學(xué)生面前就出現(xiàn)了三種解題方法，這三種方法可以交由學(xué)生進(jìn)一步分析并概括，分析的結(jié)果顯然是這三種解題思路的角度完全不同，因而在學(xué)生面前解題視角就是多元的，而一旦學(xué)生概括出多元的解題思路，那對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)概括能力培養(yǎng)

的思考

課程改革至今已經(jīng)進(jìn)行了十多年，有效教學(xué)的討論也進(jìn)行了好幾年，最終其實(shí)都是為了培養(yǎng)學(xué)生的能力. 就初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，需要培養(yǎng)的自然就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力是一個(gè)宏觀的概念，其是由多種能力組成的，其中，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)概括能力是能力培養(yǎng)的基礎(chǔ).

研究表明，數(shù)學(xué)抽象能力決定著學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，而概括則是思維能力的根本，沒(méi)有概括就談不上思維能力的培養(yǎng). 筆者經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)不能是一句空話(huà)，尤其是抽象能力與概括能力的培養(yǎng)，一定要借助最為基本的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)進(jìn)行. 沒(méi)有內(nèi)容的教學(xué)，就沒(méi)有方法的運(yùn)用，也就沒(méi)有能力的培養(yǎng). 需要注意的是，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過(guò)程中，不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，更要關(guān)注學(xué)生在掌握知識(shí)的過(guò)程中，運(yùn)用到了哪些方法，可以培養(yǎng)什么樣的能力. 也就是說(shuō)，要將能力因素作為教學(xué)設(shè)計(jì)的一條主線(xiàn)，只有這樣，包括抽象能力與概括能力在內(nèi)的能力培養(yǎng)才能落到實(shí)處.endprint