浙江省象山中學(xué) 楊育池 (郵編：315700)

巧解幽隱無窮事 探源究本方順理
——對一道“獨(dú)立事件”問題的解法探究有感

浙江省象山中學(xué) 楊育池 (郵編：315700)

微課以視頻為表現(xiàn)方式，記錄教師在教學(xué)過程中，圍繞教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)與疑點(diǎn)知識(shí)或問題而開展的教與學(xué)的活動(dòng)過程，是數(shù)字化教與學(xué)資源中的一種.留心身邊，筆者發(fā)現(xiàn)我們平時(shí)的答疑解惑、輔導(dǎo)討論活動(dòng)也短小精干，雖不能通過網(wǎng)絡(luò)傳播，但更具生成性與互動(dòng)性，是極真實(shí)、極具可視可評性的“微課”.

1 同題不同構(gòu)，巧解幽隱無窮事

學(xué)科輔導(dǎo)時(shí)間，我校兩位青年教師差不多在同一時(shí)間、圍繞同一問題為學(xué)生展開教學(xué)答疑，向筆者展示了一次簡短而精彩、完整且精致的同題異構(gòu)“微課”.

例1 一名工人要看管三臺(tái)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要工人照顧的概率對于第一臺(tái)是0.9，第二臺(tái)是0.8，第三臺(tái)是0.85，求在一小時(shí)的過程中不需要工人照顧的機(jī)床臺(tái)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望(均值)．

1.1 析理不透難解惑

甲班一同學(xué)問L老師：您上課時(shí)講了這個(gè)題的解法，我發(fā)現(xiàn)有巧妙的算法：E(X)=0.9+0.8+0.85=2.55臺(tái).

L老師：嗯，不錯(cuò)，真巧，會(huì)不會(huì)是巧合呢？

學(xué)生：我用其它數(shù)據(jù)也驗(yàn)算了這種算法，所得期望值還是一樣.

L老師：看來這不是巧合了.我們來驗(yàn)證一下吧.

L老師用字母代替具體數(shù)字將問題“一般化”：一個(gè)工人看管三臺(tái)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)，這三臺(tái)機(jī)床需要工人照管的概率分別為p1,p2,p3，求在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照管的機(jī)床臺(tái)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.

師生共同驗(yàn)證：記“第一臺(tái)，第二臺(tái)，第三臺(tái)機(jī)床不需照顧”分別為事件A，B，C.又隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.由獨(dú)立事件的概率公式與對立事件的概率公式，得

P(X=3)=P(ABC)=p1p2p3.

因此，由離散型隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)期望公式，得E(X)=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)+3·P(X=3)=p1+p2+p3.

L老師：是正確的，看來你的數(shù)學(xué)感覺很好！你給出的這個(gè)結(jié)果應(yīng)該有很多的應(yīng)用.

L老師用幾個(gè)具體問題佐證自己的論斷，并與學(xué)生大談“二項(xiàng)分布”與此結(jié)果的關(guān)系，向?qū)W生指出：二項(xiàng)分布適用于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此結(jié)論適用于n次可重復(fù)或不重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn).并認(rèn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)只是獨(dú)立試驗(yàn)的一種特殊情形，因其特殊性，所以具有特殊的研究價(jià)值.而對于一般的n次獨(dú)立試驗(yàn)，有其統(tǒng)計(jì)方面的方法，但是因其過于靈動(dòng)，規(guī)律特征不明顯，我們才不予以系統(tǒng)研究.

靜心細(xì)聽了L老師的釋疑解惑，看著學(xué)生離開辦公室，筆者心中卻泛起更多的問號(hào)：教師是否為學(xué)生解釋清楚了疑問，解法為什么對？正確性根源在哪里？碰巧，過了一天，乙班的一名同學(xué)也向其任課教師G老師請教此題.于是筆者又留意起“師生對話”.

1.2 探源究本顯其理

學(xué)生：老師，這道題還可以按期望等于三臺(tái)機(jī)床不需要照顧的概率之和來計(jì)算.

G老師：你真善于動(dòng)腦筋！我想請你告訴我，這樣算的道理是什么呢？

學(xué)生：從概率的角度看，一小時(shí)內(nèi)第一臺(tái)機(jī)床平均0.9臺(tái)不需照顧，同理，第二臺(tái)與第三臺(tái)機(jī)床分別有0.8臺(tái)和0.85臺(tái)不需照顧.

G老師(贊賞)：這是對概率的直覺認(rèn)識(shí)，能否給出更科學(xué)合理的解釋？來，我們研究一下.

G老師：記“第一臺(tái)機(jī)床不需照顧”分別為事件A，“第二臺(tái)機(jī)床不需照顧”為事件B，第“三臺(tái)機(jī)床不需照顧”為事件C.則事件A、B、C有什么關(guān)系？

學(xué)生：它們?yōu)橄嗷オ?dú)立事件.

G老師：在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要工人照管的試驗(yàn)可以看作一次隨機(jī)試驗(yàn)，這就是我們利用數(shù)學(xué)期望的定義解題的出發(fā)點(diǎn)；它也可以看作針對事件A、B、C分別作一次隨機(jī)試驗(yàn)，那么事件A、B、C有何性質(zhì)呢？

學(xué)生(恍然大悟)：哦，每一次試驗(yàn)中，“不需要照顧”要么發(fā)生，要么不發(fā)生，那就是它們對應(yīng)的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布.您的意思是，將一小時(shí)內(nèi)不需要工人照管的機(jī)床所對應(yīng)的隨機(jī)變量X分解成三個(gè)隨機(jī)變量，即X=aX1+bX2+cX3，根據(jù)隨機(jī)變量的均值的線性性質(zhì)E(X)=E(aX1+bX2+cX3)=aE(X1)+bE(X2)+cE(X3)求解.

G老師：你很聰明！對不具獨(dú)立性的幾個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)結(jié)論仍成立.這樣，把一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量分解成幾個(gè)背景簡單的隨機(jī)變量之和，通過數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求復(fù)雜隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的方法，它具有一定的普遍意義，是概率論中常用的一種方法.使用得當(dāng)，可使復(fù)雜問題簡單化.你解題時(shí)不自覺地在化繁為簡.

學(xué)生：懂了！因?yàn)槭录嗀、B、C所對應(yīng)的隨機(jī)變量X1、X2、X3均服從兩點(diǎn)分布，且P(X1)=p1、P(X2)=p2、P(X3)=p3，所以

E(X)=E(X1+X2+X3)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=p1+p2+p3=2.55臺(tái).

學(xué)生(追問)：這種方法真巧妙！不知道是否適用于復(fù)雜事件的數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算呢？

G老師：你的思考還比較深入嘛，還是試試吧.我們先看看特殊的分布.

故ξi～(0,1)分布，且A發(fā)生的次數(shù)ξ=ξ1+ξ2+…+ξn服從二項(xiàng)分布.由于ξ1、ξ2、…、ξn相互獨(dú)立且同分布，這樣二項(xiàng)分布B(n,p)可看作由n個(gè)服從(0—1)分布的隨機(jī)變量組成.因此，由數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)，有Eξ=Eξ1+Eξ2+…+Eξn=np.

學(xué)生：推導(dǎo)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望可以這樣啊！原來兩點(diǎn)分布既是二項(xiàng)分布的特殊情形，也是二項(xiàng)分布的有機(jī)構(gòu)成部分.

G老師：那你知道如何去求二項(xiàng)分布的方差了吧？

學(xué)生：讓我按照您剛才的思路來試試.隨機(jī)變量ξ的方差Dξ，反映的是ξ的取值偏離于均值的平均程度，實(shí)際也是隨機(jī)變量ξ的函數(shù)(ξ-Eξ)2的數(shù)學(xué)期望E(ξ-Eξ)2.

對于隨機(jī)變量ξ、η，當(dāng)Dξ、Dη存在時(shí)，有

D(ξ+η)=E(ξ+η)2-[E(ξ+η)]2

=E(ξ+η)2-(Eξ+Eη)2

=Eξ2+Eη2+2E(ξη)-(Eξ)2-(Eη)2-2Eξ·Eη=Dξ+Dη+2[E(ξη)-Eξ·Eη].方差好象不具有線性性質(zhì).

G老師：如果方差要具有線性性質(zhì)，必須滿足什么性質(zhì)呢？

學(xué)生：必須E(ξη)=Eξ·Eη，應(yīng)該是ξ、η為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量!

G老師：很好！請接著求二項(xiàng)分布的方差.

學(xué)生：我知道若隨機(jī)變量η服從兩點(diǎn)分布，則Dη=p(1-p)=pq.由此，若ξ～B(n,p)，且ξ=ξ1+ξ2+…+ξn，由于ξ1、ξ2、…、ξn為n個(gè)服從(0-1)分布的隨機(jī)變量，所以Dξ=D(ξ1+ξ2+…+ξn)=Dξ1+Dξ2+…+Dξn=npq.看來對于一般的獨(dú)立試驗(yàn)，也能利用這種方法處理.

G老師：太好了！你很善于思考，已經(jīng)較深刻理解兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布之間的內(nèi)在聯(lián)系.下面實(shí)踐來檢驗(yàn)?zāi)愕姆椒?

例3(2012年浙江理科第19題改編) 已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.求X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X).

學(xué)生(自言自語)：無放回取球？這是超幾何分布問題.前后的可能性會(huì)有影響啊，這樣ξi并不獨(dú)立了！如果是有放回取球，二項(xiàng)分布就好辦了.

學(xué)生：我就是這么想的，因?yàn)閿?shù)學(xué)期望對不相互獨(dú)立的隨機(jī)變量仍具有線性性質(zhì)，但……

G老師：在超幾何分布中，ξi同分布但不相互獨(dú)立，就應(yīng)回到方差的定義求D(ξ).

所以D(ξ)=Eξ2-(Eξ)2=

學(xué)生：好象有點(diǎn)明白了.老師，此題中由于X=(ξ1+1)+(ξ2+1)+(ξ3+1)，由您剛才的方法，有D(X)=E(X2)-[E(X)]2

將一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)變量分解為簡單的隨機(jī)變量之和是多么巧妙而富有藝術(shù)的一招！這類問題我真懂了！

2 課微情懷異，教者有道生受益

這是典型的“同題異構(gòu)”微課教學(xué)，網(wǎng)絡(luò)上錄制的教學(xué)視頻無論多么精彩，與筆者身居現(xiàn)場感受師生面對面教學(xué)的熱烈交流與對話互動(dòng)，還是有一定的距離感.兩位老師面對相同的教學(xué)資源，運(yùn)用的教學(xué)策略類似，“異構(gòu)”了問題研究與處理方式，凸顯的是教師個(gè)體專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)與教學(xué)理念的差異，而筆者則欣賞到思想碰撞和心靈交流的曼妙樂曲，不禁有些感慨.

數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)是教師自身數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系，顧泠沅教授指出，卓有成效的教學(xué)常?；诮處煂W(xué)科知識(shí)的通透理解.確定一個(gè)方法是否正確，能否推廣需要教師有良好的思維習(xí)慣與敏銳的數(shù)學(xué)洞察能力，更需要深厚的專業(yè)知識(shí)修養(yǎng).一個(gè)對知識(shí)本質(zhì)知之不多的教師，又怎么能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展和成長，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)與教育價(jià)值？

L老師在答疑過程中，以問題為“源頭”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑——一般化——理論總結(jié)等幾個(gè)思維環(huán)節(jié)，看似有利于學(xué)生形成一種連續(xù)的研究學(xué)習(xí)思路，但從數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性與聯(lián)系性角度看，由于教師缺乏從概率論的學(xué)科整體上把握知識(shí)的聯(lián)系的能力，學(xué)生仍未看到知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，無法形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，因而疑問仍舊存在.這樣計(jì)算雖是必然，但其必然性如何正確解釋？答疑的尾聲，L老師反而糾纏于此結(jié)論與二項(xiàng)分布的關(guān)系，看似非?！案叽笊稀钡幕卮?，恰恰說明教師未能理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，在“答非所問”.學(xué)生長期在這種“似是實(shí)非”的教學(xué)下學(xué)習(xí)，即使教師有再豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，能再嫻熟地運(yùn)用“產(chǎn)婆術(shù)”，最終學(xué)生增長的只是解題的“知識(shí)”，頭腦中“沒有清晰的數(shù)學(xué)概念，對定理不甚了了，只是做題的機(jī)器”；學(xué)生于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也只是在錯(cuò)誤的方向上堅(jiān)持、努力.

G教師在師生對話交流中，及時(shí)抓住知識(shí)的連接點(diǎn)、生長點(diǎn)，尋找問題“巧解”下隱藏著的知識(shí)聯(lián)系；引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)的多向與深層的聯(lián)系性，幫助學(xué)生將樸素直覺認(rèn)識(shí)上升為理論，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化；通過解法合理性的討論，有機(jī)融合合情推理與演繹推理，努力挖掘知識(shí)的相關(guān)性和相通性，使學(xué)生經(jīng)歷“問題—探究—發(fā)現(xiàn)—推廣”的思維過程，學(xué)生在這種淡墨無痕的教學(xué)浸潤中，對數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的運(yùn)用既“知其然”又“知其所以然”，思維能力一定能提高，學(xué)習(xí)興趣會(huì)激發(fā).這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才是我們應(yīng)當(dāng)追尋的，因?yàn)榫唧w的知識(shí)學(xué)習(xí)多年后會(huì)逐漸忘記，但是研究問題的方法和思路一旦領(lǐng)會(huì)就終身難忘，這就是數(shù)學(xué)教育給予學(xué)生的長遠(yuǎn)影響.

同時(shí)，筆者從兩位老師的答疑活動(dòng)中，深切感受到“教什么”比“怎么教”重要，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在邏輯與數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化價(jià)值.理解數(shù)學(xué)學(xué)科的研究方法和思路，掌握具體的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)比“怎么教”更重要.優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，能教給學(xué)生數(shù)學(xué)的“本質(zhì)”——把握數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)化和演繹化的統(tǒng)一；教給學(xué)生數(shù)學(xué)的“過程”——把數(shù)學(xué)知識(shí)“冰冷的美麗”恢復(fù)為“火熱的思考”；教給學(xué)生數(shù)學(xué)的“思想”與“結(jié)構(gòu)”——通過數(shù)學(xué)知識(shí)的探索，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法與理性精神，有助于“數(shù)學(xué)頭腦”的養(yǎng)成.

因而，一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)，把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、核心思想及教育價(jià)值，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的源與流，這樣在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上才能理解學(xué)生、理解教學(xué).

1 劉紹學(xué)主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(選修2-3，A版)[M].北京：人民教育出版社，2009年4月第3版

2 章建躍.編后漫談：課堂教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)的整體性[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版), 2013(5)

2014-12-25)