安徽師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院 安徽省和縣第一中學(xué) 徐祝云 (郵編：636150)

復(fù)習(xí)考試

圍繞知識(shí)本質(zhì) 加強(qiáng)能力考查
——安徽近幾年高考數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)之我見

安徽師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院 安徽省和縣第一中學(xué) 徐祝云 (郵編：636150)

歷時(shí)九年，安徽省高考數(shù)學(xué)自主命題已經(jīng)日臻成熟．試題在邏輯性、探究性和應(yīng)用性等方面進(jìn)行了不斷的創(chuàng)新，所命制的試題注重考查知識(shí)的本質(zhì)，力求多層次、多角度考查考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．近幾年的安徽數(shù)學(xué)試卷在保持難度平穩(wěn)的同時(shí)，更加突出能力考查的意識(shí)，下面結(jié)合具體的試題，探討安徽卷在數(shù)學(xué)能力考查方面的幾個(gè)落腳點(diǎn).

1 從解決實(shí)際生產(chǎn)和社會(huì)生活中的問題出發(fā)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是要把所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到日常生活中，從源頭來尋找考查點(diǎn)也是充分體現(xiàn)我們教育的本質(zhì)．這類試題背景比較貼近學(xué)生的生活，根據(jù)實(shí)際問題自然而然引出數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其分析、求解．例如：

例1 (2012年理科第10題)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換, 任意兩位同學(xué)之間最多交換一次, 進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品. 已知6位同學(xué)之間進(jìn)行了13次交換, 則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為

(A)1或3 (B)1或4 (C)2或3 (D)2或4

該題具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，與學(xué)生的實(shí)際生活有直接的聯(lián)系，從而使學(xué)生易于感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，考查了考生建模能力.用圖示方法分析各種可能的情況，是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的策略和方法.

例2 (2013年理科第21題)某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)．已知該系共有n位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．

(I)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；

(II)求使P(X=m)取得最大值的整數(shù)m．

該題以考生熟悉的“心理測(cè)試活動(dòng)”、“信息通知的發(fā)送”為背景而設(shè)計(jì)的，主要考查古典概型，計(jì)數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查抽象概括能力，邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力．解答第(II)問，可根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理，用組合數(shù)表示事件{X=m}所含基本事件的個(gè)數(shù)并求出P(X=m)，將問題轉(zhuǎn)化為求不等式P(X=m)≤P(X=m+1)的解．給優(yōu)秀學(xué)生提供了展示創(chuàng)新思維的平臺(tái).

2 利用陳題作為素材，重新構(gòu)造新情境

陳題新作，不是僅僅在條件或結(jié)論中尋求一點(diǎn)點(diǎn)變化，而是抓住問題的實(shí)質(zhì)，重新構(gòu)造全新背景，不留一點(diǎn)痕跡，確保公平性．例如：

3 關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的交匯處，拓寬交匯視野

注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度．例如：

該題構(gòu)思獨(dú)特，巧妙地把平面幾何知識(shí)與數(shù)列結(jié)合起來，原創(chuàng)性較強(qiáng)，考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．試題有多種解法，考查學(xué)生優(yōu)化解題的能力．

4 合理構(gòu)造新概念，注重與高等數(shù)學(xué)銜接

這種類型的試題并沒有將高等數(shù)學(xué)的概念直接拿來用，而是從高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)出發(fā)重新定義，使考生易于理解，主要是考查其應(yīng)用能力．例如：

例5 (2011年理科第15題)在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn)，下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的編號(hào)).

①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)

②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)

③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)

④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線

本題是多選填空和信息給予題的有機(jī)結(jié)合，使試題的新穎性與創(chuàng)造性大為增強(qiáng)，對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的考查也更加全面深入，通過定義“整點(diǎn)”這一新概念，設(shè)置新穎的數(shù)學(xué)情境，要求考生能夠形成知識(shí)和能力的有效遷移．試題設(shè)置有較高的綜合度，要求考生有較強(qiáng)的思辨能力，著重考查考生理性思維的深度與廣度．

5 利用多選填空設(shè)計(jì)，全面考查多重?cái)?shù)學(xué)能力

安徽自主數(shù)學(xué)命題從2006年開始每年都設(shè)置了多選填空題，該種試題信息量大，考查考生的綜合推理能力，有效地降低隨機(jī)猜測(cè)的可能性，加強(qiáng)了試題的新穎性、探究性與創(chuàng)造性，對(duì)提高整卷的區(qū)分度起到很好的作用．例如：

例6 (2012年文科第15題)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，則下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的編號(hào))．

① 四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直

② 四面體ABCD每個(gè)面的面積相等

③ 從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°

④ 連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分

⑤ 從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)

本題取材于一個(gè)較為常見的四面體，三組對(duì)棱分別相等的四面體為一類特殊的四面體，這一類四面體具有自身獨(dú)特的性質(zhì).這些性質(zhì)的推導(dǎo)、論證可體現(xiàn)學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題的能力，較好的體現(xiàn)了多選填空題這種題型的考查功能.

例7 (2013年理科第15題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是____(寫出所有正確命題的編號(hào))．

本題以正方體為背景，考查正方體與平面的位置關(guān)系、空間線段長(zhǎng)度、平面圖形面積的計(jì)算，通過平面與正方體截面的動(dòng)態(tài)變化考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，構(gòu)思新穎，內(nèi)涵豐富．解答起來一氣呵成，耐人尋味.

總之，安徽高考數(shù)學(xué)試題非常注重問題情境的設(shè)計(jì)，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，在試題的背景、形式、內(nèi)容甚至解答方法等方面下功夫，使試題具有一定的新穎性和獨(dú)特性，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)有積極的導(dǎo)向作用，同時(shí)也利于高校人才的選拔．

2015-03-03)