中國科學技術大學附中 黃嚴生 (郵編：230051)

合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 李 茜 (郵編：230601)

教學參考

抓住聯(lián)系 突破思維障礙 實現(xiàn)有效轉(zhuǎn)化
——一道模考題賞析與思考

中國科學技術大學附中 黃嚴生 (郵編：230051)

合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 李 茜 (郵編：230601)

函數(shù)是高中數(shù)學主干知識，也是高考中重點考查的知識.利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和不等關系，不但是歷年高考重點考查內(nèi)容，而且常常在高考中作為壓軸題.今年合肥市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題，第20題是利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和證明不等式問題，筆者對此題做了深入的分析研究，并形成了以下的認識、思考，供各位同仁參考.

1 試題呈現(xiàn)與解析

設函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x，a∈R，

(Ⅰ) 求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ) 若y=f(x)的圖象與x軸相切于原點，當0

求證：x1+x2<8．

解 (Ⅰ)f′(x)=3x2-6ax+3(2-a)，

△=36(a2+a-2)=36(a+2)(a-1)，

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-);

(ⅱ)當-2≤a≤1時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+)．

(Ⅱ)f′(x)=3x2-6ax+3(2-a)，由f′(0)=0，得a=2.

f(x)=x3-6x2，f(0)=0，由(Ⅰ)知f(x)的在(-,0)，(4,+)上單調(diào)增，在(0,4)上單調(diào)減，所以a=2符合題設.

∵f(x1)=f(x2)，0

∴04，

則8-x2>4，而f(x2)-f(8-x2)=(2x2-8)(x2-4)2<0，

所以f(x2)

f(x)在(4,+)上單調(diào)增，故x1<8-x2，即x1+x2<8.

2 試題剖析

本題以三次多項式函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3(2-a)x(a∈R)為載體，第一問是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的單調(diào)性其實質(zhì)就是研究導函數(shù)的零點.由于函數(shù)f(x)導函數(shù)是含有參數(shù)的二次函數(shù)，所以，轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的零點，也就是研究二次方程的根存在性問題.從而，就參數(shù)a進行討論，即解不等式f′(x)=3x2-6ax+3(2-a)≥0和f′(x)=3x2-6ax+3(2-a)<0，求得相應的單調(diào)區(qū)間.

第二問進一步給出曲線y=f(x)與x軸相切于原點，其目的是求出參數(shù)a的值. 如何將曲線這一幾何特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)特征，是解決問題的關鍵.數(shù)學問題給出方式有兩種形式，一是代數(shù)表征，一是幾何表征.代數(shù)表征包括文字表征和符號表征，幾何表征有直接用圖形表征和文字表述的形式說明幾何表征. 曲線與x軸相切于原點的代數(shù)表征是f′(0)=0,f(0)=0，進而求出參數(shù)a的值.在由條件0

此題考查了函數(shù)、導數(shù)、不等式等數(shù)學知識，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究不等關系，對導數(shù)的考查比較深刻.重點考查了數(shù)形結合、函數(shù)方程、分類整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法.突出考查了學生分析問題、解決問題能力和創(chuàng)新能力.試題這樣設計，符合新課程標準的要求，既貼近高中數(shù)學教學和教材，又符合高考要求.課程標準明確指出，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)的一般性和有效性.新課標中還指出，在教學中應注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識遷移和應用等方式，使學生體會知識間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學的整體性，進一步理解數(shù)學的本質(zhì)，提高解決問題能力.

3 聯(lián)想與拓展

數(shù)學是聯(lián)系的，數(shù)學知識間的相互聯(lián)系，如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)列與函數(shù)、解析幾何與函數(shù)、解析幾何與平面幾何等等.對于一道數(shù)學題來說，與之聯(lián)系問題有很多，往往這種聯(lián)系沒有被發(fā)現(xiàn)，或者被發(fā)掘出來，尤其是一些數(shù)學素養(yǎng)不高的學生，是不能發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系的.一般總是孤立地看問題，也就不能將知識融會貫通，因此，這些學生做一道題，只是做了這道數(shù)學題，不能觸類旁通，舉一反三，只是量的積累，不能提升其思維能力和分析問題、解決問題能力.我們經(jīng)常聽到學生說，我做了很多題，還不能提高自己的成績.家長說我的孩子學習很刻苦，每天學習到深夜，做了很多的數(shù)學題，數(shù)學成績總是不理想等等.因此，教師的教學，應積極引導學生用聯(lián)系的觀點看問題，學會洞察知識間的關系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題之間相互聯(lián)系.下面是筆者通過對本題研究產(chǎn)生的感悟和聯(lián)想.

聯(lián)想1 若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(-,0]上單調(diào)，且f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，則x1+x2=0.

我們知道函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，不妨設x1

聯(lián)想2 函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，且f(x)在(-,a]上單調(diào)，則x1+x2=2a.

由于函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，不妨設x1

聯(lián)想1和聯(lián)想2中函數(shù)圖象分別關于直線x=0和x=a對稱，而且分別在(-,0]和(-,a]上單調(diào)，分別在[0,+)和[a,+)也單調(diào)，不但在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，而且增長速度和衰減速度相同，即對稱點處的導數(shù)的絕對值相等.聯(lián)想1和聯(lián)想2中x=0和x=a也是函數(shù)的極值點，函數(shù)圖象關于極值點對稱.若函數(shù)圖象在極值點兩側不成對稱圖形，也就說在極值點兩側增長(衰減)的速度不同，問題又會怎樣呢？從而得到以下的拓展.

拓展 若將上面命題進行拓展，函數(shù)f(x)在x=a處取得極值，且函數(shù)f(x)在(-,a)單調(diào)增(減)，函數(shù)f(x)在(a,+)減(增)，若f(x1)=f(x2)，不妨設x1a，2a-x1>a，于是通過計算，判斷f(2a-x1)-f(x1)值的符號，即f(2a-x1)-f(x2)=f(2a-x1)-f(x1)>0(或<0)，從而f(2a-x1)>f(x2)(或f(2a-x1)2a).

一般地，函數(shù)f(x)在x=a處取得極值，且函數(shù)f(x)在(-,a)單調(diào)增(減)，函數(shù)f(x)在(a,+)減(增)，若f(x1)=f(x2)，f(2a-x2)>f(x2)=f(x1)(或f(2a-x2)2a).

數(shù)學不是孤立的，數(shù)學問題之間是相互聯(lián)系的，這種聯(lián)系實質(zhì)上揭示了數(shù)學的本質(zhì)屬性，只要抓住了，就能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，就能舉一反三，就能創(chuàng)造性的提出解決問題的方法.

4 幾點教學建議

4.1 注重知識梳理，發(fā)展學生的整體性思維和系統(tǒng)性思維

知識結構包含兩個基本要素：一是最基本的知識；二是其它知識與最基本知識的聯(lián)系.所謂掌握知識結構，實質(zhì)上就是掌握這兩個基本要素.真正的結構是以思維為基礎的，而思維是以追問事物之間的本質(zhì)性聯(lián)系為本質(zhì)特征. 數(shù)學理解就是指學生在已有數(shù)學知識和經(jīng)驗的基礎上，建立新知識的個人心理表征，并不斷完善和發(fā)展頭腦中的數(shù)學知識網(wǎng)絡，同時能將納入知識網(wǎng)絡中的新知識靈活地加以提取和應用.

從上表可以看出，函數(shù)中要素是自變量和因變量y，要素之間的聯(lián)系是對應關系，通過對自變量x取值的研究，函數(shù)值y的變化規(guī)律，從形成函數(shù)性質(zhì).如奇偶性、單調(diào)性、周期性，函數(shù)的值域等等，這些函數(shù)內(nèi)部的聯(lián)系.而外部聯(lián)系利用函數(shù)性質(zhì)的研究不等式和方程的根問題，研究直線與曲線位置關系問題，特別曲線的切線問題.為此，就有了更新函數(shù)知識系統(tǒng)的需要，就有了學習導數(shù)需要，利用導數(shù)的幾何意義解決函數(shù)的切線問題.而導數(shù)的引入，又為研究函數(shù)的單調(diào)性提供了一種工具.新知識導數(shù)的學習，不但使已有的知識系統(tǒng)得到豐富和擴充，而且使已有的函數(shù)知識系統(tǒng)賦予了新的意義.

4.2 強化轉(zhuǎn)化意識，提升學生思維品質(zhì)

數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是對某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點.它在認識活動中被反復運用，具有普遍的指導意義.從數(shù)學的角度提出問題、解決問題的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等就是常說的數(shù)學方法.數(shù)學解題的過程，就是將未知的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化已經(jīng)解決的問題，或者與已解決問題相類似的問題的過程，這就是我們通常所說的化歸.化歸的目的就是達到化難為易，化復雜為簡單，化隱含為明了，化陌生為熟悉.實際上是通過轉(zhuǎn)化，將問題的題設與目標之間，隱含的數(shù)學概念、法則、公式、定理、公理、性質(zhì)等明晰地梳理出來，根據(jù)其因果關系，將這些數(shù)學概念、法則、公式、定理、公理、性質(zhì)等有序的排列出來，并用數(shù)學符號和文字表征出來.這一過程實際上就是破譯解題密碼的過程，只有有效地破譯解題密碼，才能創(chuàng)造性地提出解決問題方法，學生的數(shù)學思維能力才得以提升.

4.3 強化問題意識，培養(yǎng)學生提問題的能力

思維由問題開始，問題是思維的起點，又是思維的動力，好的問題能引起學生學習興趣，激發(fā)學生火熱的思考.美國教育家魯巴克認為：“最精湛的教學藝術，遵守的最高準則，就是學生自己提出問題.”愛因斯坦：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許只是一個數(shù)學上或?qū)嶒炆系募记蓡栴}.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正的進步”.如在研究直線與平面平行的性質(zhì)時(a，b是兩條不重合直線，α，β兩個不重合的平面)，我們把這平面和直線作為研究對象，以它們之間是否形成確定的關系為切入點，通過思考、作圖、觀察、類比、聯(lián)想、猜想等，發(fā)現(xiàn)眾多命題.以“a//α為大前提”，就可以提出下面的命題來研究：

(1)若b//a，則b//α;

(2)若b//α，則b//a;

(3)若b⊥a，則b⊥α;

(4)若b⊥α，則b⊥a;

(5)若β//a，則α//β;

(6)若α//β，則β//a;

(7)若β⊥a，則β⊥α;

(8)若β⊥α，則β⊥a.

以上的命題有的是真命題，有的是假命題，有的有意義，有的沒有什么實質(zhì)意義，可以使學生從中感悟提問題的切入點和策略，以及思維方向和路徑，對培養(yǎng)學生提問題能力大有裨益.正如著名數(shù)學家教育家波利亞所說“問題是數(shù)學的心臟”，所以，要積極倡導問題教學.所謂問題教學，就是以問題為載體，以提出問題、思考問題、解決問題為主線，使學生在設問和釋問的過程中萌生學習的興趣和欲望，進而逐漸養(yǎng)成自主探究和合作交流的學習習慣，并在實踐中不斷優(yōu)化學習方法，提高學習能力的一種教學模式.在提出問題、思考問題、解決問題的過程中，獲得知識和技能，掌握數(shù)學方法，培養(yǎng)探究與合作精神，提升數(shù)學素養(yǎng).

4.4 培養(yǎng)學生概括能力

荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾(h.freudenthal)認為：數(shù)學學習的唯一正確方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”，就是說，由學生本人把學習的東西實現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務是為學生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導探索.從教育心理角度講，所有的新知識、只有通過學生自身“再創(chuàng)造”，使其納入自己的認知結構中，才能成為有效的知識.數(shù)學知識的建構不是一蹴而就，數(shù)學教師在教學中不能急以求成，不能像給電腦安裝軟件一樣，將知識“安裝”到學生的腦中，或者像焊接工一樣將知識“焊接”到學生的腦中，這種方式教學只能讓學生機械模仿式的運用，是不能對知識進行提煉和創(chuàng)造性地運用知識，不能有效地對已有的知識系統(tǒng)進行重組和更新，不能提高學生的思維品質(zhì).因此，在教學中以問題為載體，通過問題揭示數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，為學生的概括活動搭建平臺，千方百計使學生學會概括.特別注意在概括的關鍵環(huán)節(jié)上放手讓學生自主活動.這種概括活動實際上就是學生數(shù)學思維的形成過程，也是數(shù)學思想方法的形成過程.數(shù)學思維能力是通過數(shù)學思想方法為媒介來制約數(shù)學思維活動的.所以，在獲取數(shù)學知識的過程中，注重培養(yǎng)學生的概括能力，實現(xiàn)數(shù)學思想方法的形成，以及發(fā)展數(shù)學思維能力.

1 章建躍.如何學生發(fā)現(xiàn)和提出有研究的問題[J].中學數(shù)學教學參考,2014(1 /2上)

2 黃嚴生.注重數(shù)學結合，發(fā)展學生的思維能力[J].中學數(shù)學,2014(8上)

3 [美]G·波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?2007新一版

4 [德]Rolf Biheler.數(shù)學教學理論是一門科學[M].上海： 上海教育出版社,1998

2015-04-06)