湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書 (郵編：435200)

一個(gè)定值問題的解法推廣與類比

湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書 (郵編：435200)

1 試題呈現(xiàn)

2 解法展示

本題構(gòu)思巧妙，形式新穎，立意深遠(yuǎn)，考查向量運(yùn)算、拋物線的方程和定義等有關(guān)知識(shí)，題小清新是一道好題.解法1用對(duì)稱性巧取特殊點(diǎn)，突出向量運(yùn)算；解法2用拋物線方程和兩點(diǎn)間距離公式求解，彰顯代數(shù)運(yùn)算；解法3用拋物線定義求解，解法簡潔，突出定義在簡化運(yùn)算中的重要作用.做完本題后一個(gè)自然的想法是：能否將題目的條件和結(jié)論一般化？能否將結(jié)論類比推廣到橢圓和雙曲線？能否得出圓錐曲線一個(gè)統(tǒng)一的幾何性質(zhì)？

3 結(jié)論推廣

4 類比拓展

注 證法與性質(zhì)2基本相同，這里從略(實(shí)際上，只需將性質(zhì)2證明中b2的換成-b2).

5 歸納小結(jié)

性質(zhì)4 已知A1、A2、…、An(n∈N*,n≥2)是圓錐曲線E上不同的n個(gè)點(diǎn)，若焦點(diǎn)F是這n個(gè)點(diǎn)的重心，則這n個(gè)點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離之和為定值，其值為np，其中p為焦準(zhǔn)距.

2014-12-23)